二元一次不等式組及簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題

1、一、選擇題1已知變量x，y滿(mǎn)足則z3xy的最大值為()A4B5C6 D7解析：在坐標(biāo)平面內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線3xy0，平移該直線，當(dāng)平移到經(jīng)過(guò)該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)B(2,1)時(shí)，相應(yīng)直線在x軸上的截距達(dá)到最大，此時(shí)z3xy取得最大值，最大值是7.答案：D2(2011山東高考)設(shè)變量x，y滿(mǎn)足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z2x3y1的最大值為()A11 B10C9 D8.5解析：作出不等式組表示的可行域，如圖陰影部分所示又z2x3y1可化為yx，結(jié)合圖形可知z2x3y1在點(diǎn)A處取得最大值由得故A(3,1)此時(shí)z2331110.答案：B3若zmxy在平面區(qū)域上取得最小值時(shí)的最優(yōu)解有無(wú)窮多個(gè)，

2、則z的最小值是()A1 B1C0 D0或1解析：畫(huà)出平面區(qū)域，可以判斷出z的幾何意義是直線mxyz0在y軸上的截距，只有直線mxyz0與直線x2y0重合時(shí)，才符合題意，此時(shí)，相應(yīng)z的最小值為0.答案：C4(2012海淀模擬)P(2，t)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，則點(diǎn)P(2，t)到直線3x4y100距離的最大值為()A2 B4C6 D8解析：如圖所示，結(jié)合圖形可知點(diǎn)A(2,1)到已知直線距離最大，則最大值為4.答案：B5(2012鄭州模擬)設(shè)雙曲線4x2y21的兩條漸近線與直線x圍成的三角形區(qū)域(包含邊界)為D，P(x，y)為D內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為()A2 BC0 D解析：

3、雙曲線4x2y21的兩條漸近線方程為2xy0,2xy0，與直線x圍成的三角形區(qū)域如圖中的陰影部分所示，所以目標(biāo)函數(shù)zxy在點(diǎn)P(，2)處取得最小值為z2.答案：B二、填空題6如圖，點(diǎn)(x，y)在四邊形ABCD內(nèi)部和邊界上運(yùn)動(dòng)，那么2xy的最小值為_(kāi)解析：令b2xy，則y2xb，如圖所示，作斜率為2的平行線y2xb，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，為b，此時(shí)b2xy取得最小值，為b2111.答案：17(2012西安模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域內(nèi)的面積等于2，則a的值為_(kāi)解析：不等式組表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分又因?yàn)閍xy10恒過(guò)定點(diǎn)(0,1)，當(dāng)a0時(shí)，不

4、等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，不合題意；當(dāng)a0，此時(shí)所圍成的區(qū)域?yàn)槿切?，其面積為S1(a1)2，解之得a3.答案：3三、解答題8若點(diǎn)P在區(qū)域內(nèi)，求點(diǎn)P到直線3x4y120距離的最大值解：不等式組所表示的可行域如圖所示，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z3x4y所表示的平行直線系過(guò)點(diǎn)A(0,2)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線方程為3x4y80，其與直線3x4y120的距離為d4，即得點(diǎn)P到直線3x4y120距離的最大值為4.9變量x、y滿(mǎn)足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍解：由約束條件，作出(x，y)的可行域如圖所示由解得A(1，)由解得C(1,1)由解得B(5,2)(1)z.

5、z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率. 觀察圖形可知zminkOB.(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|. 2z29.10(2012泰安模擬)某營(yíng)養(yǎng)師要為某個(gè)兒童預(yù)訂午餐和晚餐已知一個(gè)單位的午餐含12個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和6個(gè)單位的維生素C；一個(gè)單位的晚餐含8個(gè)單位的碳水化合物，6個(gè)單位的蛋白質(zhì)和10個(gè)單位的維生素C.另外，該兒童這兩餐需要的營(yíng)養(yǎng)中至少含64個(gè)單位的碳水化合物，42個(gè)單位的蛋白質(zhì)和54個(gè)單位的維生素C.如果一個(gè)單位的午餐、晚餐的費(fèi)用分別是2.5元和4元那么要滿(mǎn)足上述的營(yíng)養(yǎng)要求，并且花費(fèi)最少，應(yīng)當(dāng)為該兒童分別預(yù)訂多少個(gè)單位的午餐和晚餐？解：設(shè)需要預(yù)訂滿(mǎn)足要求的午餐和晚餐分別為x個(gè)單位和y個(gè)單位，所花的費(fèi)用為z元，則依題意得：z2.5x4y，且x，y滿(mǎn)