廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高二下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷附解析VIP

/廣東省廣州市2024-2025學(xué)年高二下冊3月月考數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，19小題，滿分150分.考試用時120分鐘.一、單擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只一項是符合題目要求.1.已知集合，，則有（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出集合，利用集合的包含關(guān)系和集合的運算可判斷各選項的正誤.【詳解】因為，，對于A選項，，A錯；對于B選項，，B錯；對于C選項，，C對；對于D選項，，D錯.故選：C.2.已知復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，則A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)對稱性求出，再利用復(fù)數(shù)除法的運算法則求解即可.【詳解】因為復(fù)數(shù)，且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱，，，故選B.復(fù)數(shù)是高考中的必考知識，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運算主要考查除法運算，通過分母實數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.3.函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo)且導(dǎo)函數(shù)為，且的圖象如圖所示，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】利用排除法，根據(jù)的符號判斷的單調(diào)性，可排除A，D；再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義排除C.【詳解】觀察導(dǎo)函數(shù)圖象可知在區(qū)間先正后負(fù)，在區(qū)間先負(fù)后正，故函數(shù)在區(qū)間內(nèi)先遞增后遞減，在區(qū)間內(nèi)先遞減后遞增，結(jié)合4個選項的圖象，可排除A，D；由導(dǎo)函數(shù)的函數(shù)值是變化的，即函數(shù)在遞減區(qū)間的斜率也是變化的，排除C，故選：B．4.在等差數(shù)列和等比數(shù)列中，有，且，則下列關(guān)系式中正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用基本不等式可判斷兩者的大小.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，故，因為為等差數(shù)列，故，因為為等差數(shù)列，故，故，結(jié)合題設(shè)條件有，由基本不等式可得，故，而，故，故選：B.5.已知均為鈍角，，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】首先根據(jù)三角函數(shù)恒等變形求得，再根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，以及兩角和的余弦公式，結(jié)合角的范圍，即可求解.【詳解】，即，得，由，且均為鈍角，所以，，，由，所以，所以.故選：C6.已知甲袋里只有紅球，乙袋里只有白球，丙袋里只有黑球，丁袋里這三種球都有.現(xiàn)從這四個袋子中隨機抽取一個袋子，設(shè)事件為“所抽袋子里有紅球”，事件為“所抽袋子里有白球”，事件為“所抽袋子里有黑球”，則下列說法正確的是（）A.事件與事件互斥 B.事件與事件相互獨立C.事件與事件相互對立 D.事件與事件相互獨立【正確答案】B【分析】根據(jù)要寫條件，利用互斥事件、對立事件和相互獨立的定義，逐一判斷選項即可.【詳解】對于A，事件和事件可以同時發(fā)生，即抽取丁袋，事件與事件不互斥，A錯誤；對于B，，，，事件與事件相互獨立，B正確；對于C，事件與事件可以同時發(fā)生，即抽取丁袋，事件與事件不對立，C錯誤；對于D，，，，事件與事件不獨立，D錯誤.故選：B7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，有成立，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可．【詳解】成立設(shè)，則，即時是增函數(shù)，當(dāng)時，，此時；時，，此時．又是奇函數(shù)，所以時，；時則不等式等價為或，可得或，則不等式的解集是，故選：．8.已知數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，在，之間插入1個數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，記公差為，在，之間插入2個數(shù)，使這4個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，…，在，之間插入個數(shù)，使這個數(shù)成等差數(shù)列，公差為，則（）A.當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減 B.當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增C.當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞減 D.當(dāng)時，數(shù)列單調(diào)遞增【正確答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項可得，可得，進(jìn)而得到，即可對討論,結(jié)合選項逐一求解.【詳解】對于A，數(shù)列是各項為正數(shù)的等比數(shù)列，則公比為，由題意，得，，時，，有，，數(shù)列單調(diào)遞增，A選項錯誤；對于B，時，，，若數(shù)列單調(diào)遞增，則，即，由，需要，故B選項錯誤；對于C，時，，解得，時，，由，若數(shù)列單調(diào)遞減，則，即，而不能滿足（）恒成立，C選項錯誤；對于D，時，，解得或，由AB選項的解析可知，數(shù)列單調(diào)遞增，D選項正確.故選：D.關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是由題設(shè)結(jié)合等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而得到，從而一一分析各選項即可求解.二、多項選擇題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知等差數(shù)列的前項和為，公差，且，則下列說法正確的是（）A. B.C.當(dāng)取得最小值時，的值為22 D.當(dāng)時，的最小值為44【正確答案】ABD【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)逐個分析選項即可.【詳解】因為，所以，所以，又，所以，故A正確；，故B正確；因為，所以該等差數(shù)列是遞增數(shù)列，又，所以當(dāng)，或時，取得最小值，故C錯誤；，又，所以，因此的最小值為44，故D正確.故選：ABD.10.如圖，某工藝品是一個多面體，點兩兩互相垂直，且位于平面的異側(cè)，則下列命題正確的有（）A.異面直線與所成角余弦值為B.當(dāng)點為的中點時，線段的最小值為C.工藝品的體積為D.工藝品可以完全內(nèi)置于表面積為的球內(nèi)【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意可以構(gòu)造長寬高分別為的長方體，對于A：根據(jù)長方體的性質(zhì)結(jié)合異面直線夾角分析求解；對于B：根據(jù)長方體的性質(zhì)結(jié)合線面垂直分析判斷；對于C：利用割補法結(jié)合體積公式運算求解；對于D：可知的外接球即為長方體的外接球，結(jié)合長方體的結(jié)果特征分析求解.【詳解】根據(jù)題意可以構(gòu)造長寬高分別為的長方體，對于A，因為，且，則為平行四邊形，可得，可知異面直線與所成的角為（或其補角），在中，可知，由余弦定理可得，所以異面直線與所成角的余弦值為，故A錯誤：對于B，當(dāng)為的中點時，可知，且BM垂直于長方體的上下底面，所以垂直于長方體的上下底面，此時線段的最小值為，故B正確：對于C，工藝品的體積，故C正確；對于D，由于的頂點都在長方體的頂點處，可知的外接球即為長方體的外接球，設(shè)的外接球半徑為，則，所以外接球的表面積為，且，所以不可以完全內(nèi)置于表面積為的球內(nèi)，故D錯誤.故選：BC.關(guān)鍵點睛：本題關(guān)鍵是把幾何體轉(zhuǎn)化為長方體，結(jié)合長方體的性質(zhì)分析求解.11.對于三次函數(shù)，給出定義：是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點”.某同學(xué)經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的極大值為B.有且僅有2個零點C.點是的對稱中心D.【正確答案】ACD【分析】求得，得出函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值的概念，可判定A正確；根據(jù)極大值為，極小值，進(jìn)而得到函數(shù)有3個零點，可判定B錯誤；求得，令，求得，得出，可判定C正確；根據(jù)對稱性，得到，結(jié)合倒序相加法，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或；令，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時，取得極大值，極大值為，所以A正確；又由極小值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)有3個零點，所以B錯誤；由，可得，令，可得，又由，所以點是函數(shù)的對稱中心，所以C正確；因為是函數(shù)的對稱中心，所以，令，可得，所以，所以，即，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知直線是曲線和的公切線，則實數(shù)a=______．【正確答案】3【分析】先設(shè)在上切點，然后求出切點和切線，然后再設(shè)在上的切點，即可求出a的值.【詳解】設(shè)直線l與曲線相切于點，由，得，因為l與曲線相切，所以消去，得，解得．設(shè)l與曲線相切于點，由，得，即，因為是l與曲線的公共點，所以消去，得，即，解得．故3.13.已知雙曲線的左頂點為是雙曲線的右焦點，點在直線上，且的最大值是，則雙曲線的離心率是______．【正確答案】##【分析】設(shè)，由，得到，結(jié)合基本不等式，得出離心率的方程，即可求解.【詳解】如圖所示，直線與軸交于點，設(shè)，則，因為，所以，又因為，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，整理得，則，解得，所以雙曲線的離心率為．故．14.對于，函數(shù)有且僅有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是______.【正確答案】【分析】分離常數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)題意可得的值域為，且為單調(diào)函數(shù)，即可求導(dǎo)，結(jié)合或恒成立求解.【詳解】依題意，任意的均使得有且僅有一個零點，令0，得，記函數(shù)，即與直線有且僅有一個交點，若的值域不是，設(shè)的值域為，則，使得，矛盾，所以的值域為，且為單調(diào)函數(shù)（否則與直線存在至少兩個交點），所以恒有或，易得，當(dāng)且時，有，所以恒有，得恒成立，記，則，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以的最大值為，故實數(shù)的取值范圍是.故已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟、15.如圖，已知平面四邊形存在外接圓，且，，．（1）求的面積；（2）求的周長的最大值．【正確答案】（1）3（2）【分析】（1）根據(jù)四邊形存在外接圓的幾何性質(zhì)可得，利用平方關(guān)系可得，再根據(jù)面積公式可得的面積；（2）根據(jù)余弦定理求解的長，再由余弦定理與基本不等式可得的最值，從而得的周長的最大值．【小問1詳解】因為平面四邊形存在外接圓，所以，，又，所以，所以的面積．【小問2詳解】在中，由余弦定理得，解得．在中，由余弦定理得，即．由此得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，故的周長．16.數(shù)列的首項，（1）證明：是等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）設(shè)，當(dāng)數(shù)列的項取得最大值時，求的值．【正確答案】（1）證明見解析，（2）第8項和第9項取得最大【分析】（1）通過對的表達(dá)式進(jìn)行變形，推導(dǎo)出與的關(guān)系，從而證明是等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求出的表達(dá)式，進(jìn)而得到的通項公式.（2）根據(jù)的通項公式求出的表達(dá)式，然后通過比較與、的大小關(guān)系借助函數(shù)單調(diào)性，來確定取得最大值時的值.【小問1詳解】由，可得，所以，即又由，可得，所以是以2為首項，1為公差等差數(shù)列，所以，則，即數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）知，可得，當(dāng)時，所以不是最大項，設(shè)第項最大，則，可得，解得，所以數(shù)列第8項和第9項取得最大.17.已知橢圓上任意一點到兩焦點距離之和為，離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線的斜率為，直線與橢圓交于兩點，點為橢圓上一點，求的面積的最大值．【正確答案】（1），（2）【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程組，求得的值，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用弦長公式求得，根據(jù)點到直線的距離公式和三角形的面積公式，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由題意，可得，解得，所以橢圓的方程為.（2）設(shè)的方程為，點聯(lián)立方程組消去得，令，解得，且，則由弦長公式得．又點到直線的距離，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得最大值．所以面積的最大值為．18.設(shè)函數(shù).（1）若是的極值點，求a的值，并求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論的單調(diào)性；（3）若，求的取值范圍.【正確答案】（1）6，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）答案見解析（3）【分析】（1）先求導(dǎo)，令，檢驗即得解；代入，分別令，得到單增區(qū)間和單減區(qū)間；（2）根據(jù)二次函數(shù)及二次不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)定義域，分類討論即可求解；（3）轉(zhuǎn)化為，分，兩種情況討論即可.【小問1詳解】，，解得，此時，令，有或，令，有，所以是的極值點，滿足題意，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)即時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)即時，由得或，由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)即時，由得或，由得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)即時，由得，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，無遞減區(qū)間，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問3詳解】由題意當(dāng)時，令，有，令，有，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即當(dāng)時，不成立.綜上，.19.已知函數(shù)是區(qū)間上的可導(dǎo)函數(shù)，數(shù)列滿足，若點與所在直線的斜率存在，且與的圖象在處的切線斜率相等，則稱為的“—和諧數(shù)列”.（1）若，，是的“1—和諧數(shù)列＂，且，求；（2）若，.①判斷在上的單調(diào)性；②若是的“—和諧數(shù)列”，且，求證.【正確答案】（1）（2）①單調(diào)遞增；②證明見解析【分析】(1)根據(jù)兩點求斜率和求導(dǎo)求斜率，列出等式求出，根據(jù)等比數(shù)列定義和通項公式求；(2)①對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性即可；②通過和諧數(shù)列定義得出，設(shè)