江蘇省2014年高三百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（純word版）

1、江蘇省2014年高三百校大聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷參考答案與評分標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)參考公式：樣本數(shù)據(jù)的方差，其中一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計70分請把答案填寫在答題卡相應(yīng)的位置上1已知集合，則滿足的集合的個數(shù)是 【答案】4【解析】本題考查集合的概念與運(yùn)算由題意，集合的個數(shù)即的子集個數(shù)，共個2. 已知，其中i為虛數(shù)單位，則 【答案】3【解析】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算因為，所以，a1，b2，所以33 從中隨機(jī)取出兩個不同的數(shù)，則其和為奇數(shù)的概率為 【答案】【解析】本題考查古典概型基本事件總數(shù)為6，符合要求的事件數(shù)為4，故所求概率為4已知單位向量滿足，則的夾角為 4【答案】【解析】本題考查平面向量的垂直和

2、數(shù)量積的計算因為，所以，即0，所以， ，即，則的夾角為5. 設(shè)五個數(shù)值31，37，33，35的平均數(shù)是34，則這組數(shù)據(jù)的方差是 【答案】4【解析】由，可得，所以方差6已知實數(shù)，滿足，則的最大值是 【答案】【解析】本題考查線性規(guī)劃可行域為三角形區(qū)域，最優(yōu)解為7執(zhí)行如圖所示的流程圖，則輸出S的值為 開始？YN輸出結(jié)束k 1（第6題）【答案】420【解析】本題考查流程圖和循環(huán)結(jié)構(gòu)8已知直線、與平面、，則下列命題中正確的是 （填寫正確命題對應(yīng)的序號）若，則 若，則若，則 若，則【答案】【解析】本題考查線面及面面位置關(guān)系的判斷由面面垂直的判定定理可得答案為9已知，則 【答案】【解析】本題考查同角三角函數(shù)

3、的基本關(guān)系和兩角和（差）的正弦、余弦根據(jù)題意，所以，故，因此10在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C與x軸交于A(1,0)，B(3,0)兩點(diǎn)，且與直線xy30相切，則圓C的半徑為 解析：可設(shè)圓心為(2，b)，半徑r，則，解得b1故r答案：11已知橢圓方程為，、分別是橢圓長軸的兩個端點(diǎn)，、是橢圓上關(guān)于x軸對稱的兩點(diǎn)，直線的斜率分別為，若，則橢圓的離心率為 11【答案】【解析】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)設(shè)，則，可得，從而12若，且，則 的最大值是 12【答案】【解析】由得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號13已知數(shù)列為等差數(shù)列，首項，公差，若成等比數(shù)列，且，則數(shù)列的通項公式 【答案】【解析】本題考查等

4、差數(shù)列和等比數(shù)列由題意，得，即，所以又等比數(shù)列的公比為3，所以根據(jù)可得14若函數(shù)不存在零點(diǎn)，則實數(shù)的取值范圍是 14【答案】【解析】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與方程思想及數(shù)形結(jié)合思想解法一：由題意可知，可設(shè)，函數(shù)圖象(圖1)與直線沒有交點(diǎn)，則解法二：如圖(2)，在同一坐標(biāo)系中畫出和的圖象顯然當(dāng)時直線與拋物線相切，所以當(dāng)時，沒有交點(diǎn)故圖1圖2二、解答題：本大題共6小題，共計90分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明或演算步驟15（本小題滿分14分）在中，的對邊分別是，已知平面向量，且（1）求的值；（2）若，求邊的值15【解析】（1）由題意， 2分得 4分 由于中，5分 6分（2）由得

5、7分即，9分得，平方得12分（第16題）所以為正三角形， 14分16（本小題滿分14分）如圖，四棱錐EABCD中，EAEB，ABCD，ABBC，AB2CD（1）求證：ABED；（2）線段EA上是否存在點(diǎn)F，使得DF平面BCE？請說明你的理由解析：（1）證明：如圖，取AB中點(diǎn)O，連結(jié)EO，DO.因為EAEB，所以EOAB. 1分因為ABCD，AB2CD，所以BOCD，BOCD.又因為ABBC，所以四邊形OBCD為矩形，所以ABDO. 4分因為EODOO，所以AB平面EOD. 5分又因為ED平面EOD，所以ABED. 6分（2）當(dāng)點(diǎn)F為EA中點(diǎn)時，有DF平面BCE.證明如下：取EB中點(diǎn)G，連結(jié)CG

6、，F(xiàn)G.因為F為EA中點(diǎn)，所以FGAB，F(xiàn)GAB. 8分因為ABCD，CDAB，9分所以FGCD，F(xiàn)GCD. 10分所以四邊形CDFG是平行四邊形， 11分所以DFCG. 12分因為DF平面BCE，CG平面BCE，所以DF平面BCE. 14分17（本小題滿分14分）如圖，ABCD是邊長為1百米的正方形區(qū)域，現(xiàn)規(guī)劃建造一塊景觀帶ECF，其中動點(diǎn)E、F分別在CD、BC上，且ECF的周長為常數(shù)a（單位：百米）（1）求景觀帶面積的最大值；（第17題）（2）當(dāng)a=2時，請計算出從A點(diǎn)欣賞此景觀帶的視角（即EAF）17解析：（1）設(shè)，則（） 由基本不等式， 3分 所以，ECF的面積 5分 當(dāng)且僅當(dāng)時等號成

7、立 故景觀帶面積的最大值為 6分（2）記，, 則 故 由（）可得，即 10分代入上式可得，=1 所以 故當(dāng)時，視角為定值 14分18（本小題滿分16分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為，A、B是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓C上異于A、B的動點(diǎn)，且APB面積的最大值為（1）求橢圓C的方程；（2）直線AP與直線交于點(diǎn)D，證明：以BD為直徑的圓與直線PF相切18解析：（1）由題意可設(shè)橢圓的方程為由題意知解得 故橢圓的方程為6分（2）由題意，設(shè)直線的方程為.則點(diǎn)坐標(biāo)為，中點(diǎn)的坐標(biāo)為由得設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則所以，10分因為點(diǎn)坐標(biāo)為，當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為.直線軸，此時以為直徑的圓與直線相切11分當(dāng)

8、時，則直線的斜率.所以直線的方程為 13分點(diǎn)到直線的距離15分又因為 ，所以故以為直徑的圓與直線相切綜上得，以為直徑的圓與直線相切 16分19（本小題滿分16分）若數(shù)列的前項和為，且滿足等式.（1）求數(shù)列的通項；（2）能否在數(shù)列中找到這樣的三項，它們按原來的順序構(gòu)成等差數(shù)列？說明理由；（3）令，記函數(shù)的圖象在軸上截得的線段長為，設(shè)，求，并證明：【解析】（1）當(dāng)時，則. 又，所以，兩式相減得， 即 是首項為1，公比為的等比數(shù)列， 所以 4分（2） 假設(shè)存在三項按原來順序成等差數(shù)列，記為 則，即，所以，即，即 又，所以 所以 假設(shè)不成立，所以不存在三項按原來順序成等差數(shù)列9分（3）設(shè)與軸交點(diǎn)為 ，

9、當(dāng)=0時有 又， 14分16分20（本小題滿分16分）已知函數(shù)，（1）若的極大值為，求實數(shù)的值；（2）若對任意，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時，設(shè)，對任意給定的正實數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上？請說明理由20解析：（1）由，得，令，得或當(dāng)變化時，及的變化如下表：-+-極小值極大值所以的極大值為=，4分（2）由，得，且等號不能同時取，即 恒成立，即6分令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，從而，在上為增函數(shù)，8分（3）由條件，假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，滿足題意，則，只能在軸兩側(cè)，9分不妨設(shè)，則，且是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形， （*），是否存在，等

10、價于方程在且時是否有解11分若時，方程為，化簡得，此方程無解；12分若時，方程為，即，設(shè)，則，顯然，當(dāng)時，即在上為增函數(shù)，的值域為，即，當(dāng)時，方程（*）總有解對任意給定的正實數(shù)，曲線 上總存在兩點(diǎn)，使得是以（為坐標(biāo)原點(diǎn)）為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上16分?jǐn)?shù)學(xué)（附加題）21【選做題】在A、B、C、D四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟A選修：幾何證明選講（第21(A)題）如圖，O的直徑AB的延長線與弦CD的延長線相交于點(diǎn)P，E為O上一點(diǎn)，AEAC，求證：PDEPOC.【解析】因AEAC，AB為直徑，故

11、OACOAE. 2分所以POCOACOCAOAEOACEAC. 6分又EACPDE， 8分所以PDEPOC. 10分B選修：矩陣與變換已知矩陣A，向量求向量，使得A2【解析】A，A23分設(shè)，則A2.即8分解得 10分C選修：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標(biāo)系xOy的O點(diǎn)為極點(diǎn)，Ox為極軸，且長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，得曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長度【解析】直線l的直角坐標(biāo)方程為yx，3分2cos的直角坐標(biāo)方程為221，6分圓心到直線l的距離d，8分AB10分D選修：不等式選講若正數(shù)a，b，c滿足a

12、bc1，求的最小值【解析】因為正數(shù)a，b，c滿足abc1，所以(3a2)(3b2)(3c2) (111)2，6分即1，8分當(dāng)且僅當(dāng)3a23b23c2，即abc時，原式取最小值1. 10分【必做題】第22題、第23題，每題10分，共計20分請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟22（本小題滿分10分）甲、乙、丙三人商量周末自駕游，甲提議去六朝古都南京，乙提議去江南水鄉(xiāng)無錫，丙表示隨意最終，商定以拋硬幣的方式?jīng)Q定結(jié)果規(guī)則是：由丙拋擲硬幣若干次，若正面朝上，則甲得一分、乙得零分；若反面朝上，則乙得一分、甲得零分，先得4分者獲勝三人均執(zhí)行勝者的提議記所需拋擲硬幣的次數(shù)為X（1）求的概率；（2）求X的分布列和數(shù)學(xué)期望【解析】（1）4分（2）分布列為:X4567P8分10分23（本小題滿分10分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF平面ABCD， EF / AB，BAF=90， AD= 2，AB=AF=2EF =1，點(diǎn)P在棱DF上（1）若P是DF的中點(diǎn)， 求異面直線BE與CP所成角的余弦值； （2）若二面角D-AP-C的余弦值為，求PF的長度23. 解析：（1）因為BAF=90，所以AFAB， 因為 平面ABEF平面A