第三章機械構(gòu)件的強度與剛度

1、第三章機械構(gòu)件的強度與剛度第三章機械構(gòu)件的強度與剛度第一節(jié)準(zhǔn) 備 知 識第二節(jié)構(gòu)件軸向拉伸時的強度計算第三節(jié)構(gòu)件剪切與擠壓時的強度計算第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算第五節(jié)構(gòu)件彎曲變形時的強度計算與剛度計算第六節(jié)構(gòu)件彎曲組合變形時的強度計算第七節(jié)構(gòu)件的疲勞強度第一節(jié)準(zhǔn) 備 知 識一、內(nèi)力、截面法1.內(nèi)力 構(gòu)件在未受外力作用時，存在著維系其質(zhì)點間一定的相對位置，使構(gòu)件保持一定形狀的內(nèi)力內(nèi)力。這種內(nèi)力源于構(gòu)成物質(zhì)的原子間結(jié)合力，不在工程力學(xué)研究范圍之內(nèi)。 當(dāng)構(gòu)件受到外力作用時，構(gòu)件內(nèi)部相鄰質(zhì)點間的相對位置要發(fā)生變化，因此構(gòu)件在原有內(nèi)力的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生“附加內(nèi)力”，它力圖使各質(zhì)點恢復(fù)其原來的位置。

2、工程力學(xué)中所研究的內(nèi)力即此“附加內(nèi)力附加內(nèi)力”。圖3-1截面法2.截面法 通過截面，使構(gòu)件內(nèi)力顯示出來，以便計算其數(shù)值的方法，稱為截面法。如圖3-1a所示的桿，在外力Fp作用下處于平衡狀態(tài)，力Fp的作用線與桿的軸線重合，要求mn截面處的內(nèi)力，可用假想平面在該處將桿截開，分成左右兩段(圖3-1b)。右段對左段的作用用合力FN表示，左段對右段的作用，用合力FN表示，F(xiàn)N和FN就是該截面兩邊質(zhì)點相互作用內(nèi)力的合力。根據(jù)作用力與反作用力定律，它們大小相等，方向相反。因此，在計算內(nèi)力時，只需截取截面兩側(cè)的任一段來研究即可。二、桿件的基本變形 機器或結(jié)構(gòu)物中所采用的構(gòu)件形狀是多種多樣的，工程力學(xué)研究的對象

3、是桿件，即其縱向(長度方向)的尺寸比橫向尺寸要大得多的構(gòu)件。當(dāng)外力以不同的方式作用于構(gòu)件時，將使它產(chǎn)生不同形式的變形。具體變形形式雖各式各樣，但基本變形形式卻只有四種，即拉伸與壓縮、剪切、扭轉(zhuǎn)、彎曲。 以后各節(jié)先分別研究桿件四種基本變形的強度和剛度計算，然后再討論由幾種基本變形組合在一起的組合變形。第二節(jié)構(gòu)件軸向拉伸時的強度計算一、軸向拉伸與壓縮的概念 圖3-2拉伸與壓縮受力桿件工程實際中，承受拉伸與壓縮的桿件是很常見的。例如，緊固螺栓(圖3-2a)、起重機的吊索及其桁架中的桿(圖3-2c)是承受拉伸的桿件；油壓千斤頂?shù)幕钊麠U、如圖3-2c所示的支撐桿2是承受壓縮的桿件。這些桿件結(jié)構(gòu)各異，加載

4、方式不同，但它們的共同特點是，作用于桿件上外力的作用線都與桿件軸線重合，桿件的變形是沿軸線方向伸長或縮短。圖3-2拉伸與壓縮受力桿件二、軸向拉伸與壓縮時橫截面上的內(nèi)力和應(yīng)力1.軸力 為了對拉壓桿進行強度計算，首先分析內(nèi)力。設(shè)拉桿在外力Fp作用下處于平衡狀態(tài)(圖3-3a)。為了顯示拉桿橫截面上的內(nèi)力，運用截面法，將桿沿任一截面mm假想分為兩段(圖3-3b)。因拉桿的外力均與桿軸線重合，由內(nèi)、外力平衡條件可知，其任一截面上內(nèi)力的作用線也必與桿的軸線重合，即垂直于桿的橫截面，并通過截面形心。這種內(nèi)力稱為軸力，常用符號FN表示。圖3-3截面法軸力FN的大小由左段(或右段)的平衡方程2.橫截面上的應(yīng)力

5、僅知道拉(壓)桿的軸力還無法判斷構(gòu)件的強度。因為力FN雖大，拉(壓)桿如果很粗，則不一定會被破壞；反之若FN雖不大，但拉(壓)桿很細，卻有被破壞的可能。因此，桿件是否破壞，不取決于橫截面上內(nèi)力的大小，而取決于單位面積上內(nèi)力的大小。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力，其單位為N/m2，稱為帕斯卡，符號為Pa。 之間所有縱向纖維的伸長變形是相同的。因此，可以推想它們的受力是相同的，所以在橫截面上各點的內(nèi)力也相同。若以A表示橫截面的面積，以表示橫截面上的應(yīng)力，則應(yīng)力的大小為三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能圖3-4拉伸試件 分析構(gòu)件的強度時，除計算構(gòu)件在外力作用下表現(xiàn)出來的應(yīng)力外，還應(yīng)了解材料的力學(xué)性能。所謂材

6、料的力學(xué)性能，圖3-4拉伸試件是指材料在外力作用下表現(xiàn)出來的變形和破壞方面的特性，需由實驗來確定。在室溫下，以緩慢平穩(wěn)的方式加載進行實驗，稱為室溫拉伸試驗，它是測定材料力學(xué)性能的基本實驗。為了便于比較不同材料的試驗結(jié)果，試件應(yīng)按國家標(biāo)準(zhǔn)(GB/T2281987)加工成標(biāo)準(zhǔn)試件(圖3-4)。三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能圖3-5低碳鋼拉伸試驗曲線(-曲線)(一) 低碳鋼在拉伸時的力學(xué)性能 低碳鋼是指碳的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在0.3%以下的碳素鋼，它在抗拉試驗中表現(xiàn)出來的力學(xué)性能最典型。1.彈性階段如圖3-5所示的Ob段為彈性階段。Oa段為直線段，它表明應(yīng)力與應(yīng)變成正比，即 Oa段的最高點a所對應(yīng)的應(yīng)力p稱

7、為比例極限。顯然，只有應(yīng)力低于比例極限時，應(yīng)力才與應(yīng)變成正比，材料才服從胡克定律。 由a點到b點，應(yīng)力和應(yīng)變不再是直線關(guān)系，但由于低碳鋼a、b兩點非常接近，一般可不作嚴(yán)格區(qū)分。在Ob段內(nèi)，若拉力解除，變形可全部消失，這種變形稱為彈性變形。若以=FN/A，=l/l代入式(3-1)，可得胡克定律的另一種表達形式2.屈服階段 如圖3-5所示的bc段為屈服階段。過b點材料出現(xiàn)塑性變形，-曲線上出現(xiàn)一段沿坐標(biāo)方向上、下微微波動的鋸齒形線段，這說明應(yīng)力變化不大，而變形卻迅速增長，材料好像失去了對變形的抵抗能力，這種現(xiàn)象稱為材料的屈服材料的屈服。3.強化階段 圖3-5所示ce段為強化階段。屈服階段過后，要增

8、加變形就必須增加拉力，材料又恢復(fù)了抵抗變形的能力，這種現(xiàn)象稱為材料的強化。強化階段中的最高點e所對應(yīng)的應(yīng)力b是材料承受的最高應(yīng)力，稱為抗拉強度。它是衡量材料強度的另一重要指標(biāo)。三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能圖3-6縮頸現(xiàn)象4.局部變形階段 圖3-6縮頸現(xiàn)象到達抗拉強度后，試件在某一局部范圍內(nèi)橫向尺寸突然縮小，形成縮頸現(xiàn)象(圖3-6)?？s頸部分的急劇變形引起試件迅速伸長；縮頸部位截面面積快速減小，試件承受的拉力明顯下降，到f點試件被拉斷。5.斷后伸長率和斷面收縮率材料的塑性可用試件斷裂后遺留下來的塑性變形來表示。一般有下面兩種表示方法：(1) 斷后伸長率式中l(wèi)試件標(biāo)距長度；l1試件拉斷后的標(biāo)距

9、長度。(2) 斷面收縮率式中A試驗前試件的橫截面面積；A1試件斷口處最小橫截面面積。 、大，說明材料斷裂時產(chǎn)生的塑性變形大，塑性好。工程上通常將5%的材料稱為塑性材料，如鋼、銅、鋁等；5%的材料稱為脆性材料，如鑄鐵、玻璃、陶瓷等。三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能圖3-7其他材料拉伸試驗曲線(-曲線)1.屈服強度 圖3-7a所示為幾種塑性材料拉伸時的-曲線，這些塑性材料沒有明顯屈服階段，工程上常采用條件屈服強度0.2作為其強度指標(biāo)。0.2是產(chǎn)生0.2%塑性應(yīng)變的應(yīng)力值(圖3-7b)。2.鑄鐵拉伸時的力學(xué)性能 鑄鐵是工程上廣泛應(yīng)用的脆性材料，它在拉伸時的-曲線是一段微彎的曲線(圖3-7c)，它表明

10、應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系不符合胡克定律，但在應(yīng)力較小時，-曲線很接近于直線，故可近似地認(rèn)為服從胡克定律。 由圖還可以看出，鑄鐵在較小的應(yīng)力下就被突然地拉斷，沒有屈服和縮頸現(xiàn)象，拉斷前變形很小，斷后伸長率通常只有0.5%0.6%。 鑄鐵沒有屈服現(xiàn)象，拉斷時的抗拉強度b是衡量強度的惟一指標(biāo)。一般說，脆性材料的抗拉強度都比較低。三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能圖3-8低碳鋼壓縮時的-曲線 低碳鋼壓縮時的-曲線(圖3-8)與其拉伸的-曲線(圖3-8虛線所示)相比，在屈服階段以前，兩曲線基本重合。這說明壓縮時的比例極限p、彈性模量E以及屈服強度與拉伸時基本相同。屈服階段以后，試件越壓越扁，曲線不斷上升，無法測出

11、強度極限。因此，對于低碳鋼一般不做壓縮實驗。三、材料在拉伸與壓縮時的力學(xué)性能圖3-9鑄鐵壓縮時的-曲線 鑄鐵壓縮時的-曲線如圖3-9所示。試件在較小的變形下突然破壞，破壞斷面的法線與軸線的夾角大致成4555。比較圖3-7c與圖3-9可知，鑄鐵的抗壓強度比抗拉強度要高出45倍。其他脆性材料也具有這樣的性質(zhì)。四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算(一) 許用應(yīng)力 由前文所述已經(jīng)知道，機器或工程結(jié)構(gòu)中的每一構(gòu)件，都必須保證安全可靠的工作，如果構(gòu)件發(fā)生了過大的塑性變形或斷裂，則將失去它正常工作的能力，這些現(xiàn)象可統(tǒng)稱為失效失效。材料失效時的應(yīng)力稱為極限應(yīng)力極限應(yīng)力。 對于塑性材料，在材料屈服時就要發(fā)生過大的塑性

12、變形而失效，所以屈服強度是它的極限應(yīng)力；對于脆性材料，它在變形很小時就發(fā)生斷裂而失效，所以抗拉強度是它的極限應(yīng)。 塑性材料在拉伸、壓縮時的屈服強度相同，故拉、壓許用應(yīng)力同為式中s塑性材料的屈服強度，單位為MPa；S安全因數(shù)。(二) 強度條件 為了保證拉、壓構(gòu)件具有足夠的強度，必須使其最大工作應(yīng)力max小于或等于材料在拉伸(壓縮)時的許用應(yīng)力，即 (3-3)稱為拉(壓)構(gòu)件的強度條件，是拉(壓)構(gòu)件強度計算的依據(jù)。產(chǎn)生max的截面稱為危險截面，式中FN和A分別為危險截面的軸力和橫截面面積。根據(jù)強度條件，可以解決三個方面的問題： 1) 強度校核。若已知構(gòu)件所承擔(dān)的載荷、構(gòu)件的尺寸及材料的許用應(yīng)力，

13、可按式(3-3)檢查構(gòu)件是否滿足強度要求。若式(3-3)成立，說明構(gòu)件強度足夠，否則強度不夠。 2) 設(shè)計截面。若已知構(gòu)件所承擔(dān)的載荷及材料的許用應(yīng)力，可將式(3-3)改寫成AFN/，由此確定構(gòu)件所需要的橫截面面積，然后根據(jù)所需截面形狀設(shè)計截面尺寸。 3) 確定許可載荷。若已知構(gòu)件的尺寸和材料的許用應(yīng)力，可將式(3-3)改寫成FNA，由此確定構(gòu)件所能承受的最大軸力，再根據(jù)內(nèi)外力的靜力關(guān)系，確定結(jié)構(gòu)所能承受的許可載荷。四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算圖3-10例3-1圖例3-1一臺總重Fp=1.2kN的電動機，采用M8吊環(huán)螺釘(外徑為8mm，螺紋根部直徑為6.4mm)，如圖3-10所示。其材料為Q

14、215鋼，許用應(yīng)力=40MPa。試校核吊環(huán)螺桿的強度。解吊環(huán)螺桿部分的軸力FN=Fp=1.2103N，螺桿橫截面上的應(yīng)力是四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算圖3-11例3-2圖例3-2三角架由AB與BC兩桿鉸鏈連接而成(圖3-11a)，兩桿的截面均為圓形，材料為鋼，許用應(yīng)力=58MPa。設(shè)作用于節(jié)點B的載荷Fp=20kN，試確定兩桿的直四、構(gòu)件拉伸與壓縮時的強度計算圖3-12例3-3圖例3-3剛性板AB由桿AC和BD吊起(圖3-12a)，已知AC桿的橫截面面積A1=10cm2，=160MPa，BD桿的橫截面面積A2=20cm2，=60MPa，試確定該結(jié)構(gòu)的許可載荷Fp。第三節(jié)構(gòu)件剪切與擠壓時的強度

15、計算一、剪切與擠壓的概念及受力分析二、剪切與擠壓的實用計算一、剪切與擠壓的概念及受力分析圖3-13鉸制孔用螺栓的擠壓與剪切受載 用鉸制孔用螺栓聯(lián)接鋼板如圖3-13a所示，在外力Fp的作用下，螺栓將沿截面mm發(fā)生相對錯動。如外力Fp不斷增大，將使螺栓沿mm處剪斷(圖3-13b)。產(chǎn)生相對錯動的截面(mm)稱為剪切面。二、剪切與擠壓的實用計算(一) 剪切強度計算 以如圖3-13a所示螺栓為例，運用截面法假想地將螺栓沿剪切面mm切開，任取一段為研究對象(圖3-13c)，由平衡條件可知，剪切面上必作用有與Fp平行且大小相等、方向相反的切向內(nèi)力，此內(nèi)力稱為剪力，常用符號FQ表示。 剪力FQ在剪切面mm上

16、的分布是比較復(fù)雜的，在工程計算中，常用簡化的計算方法，稱為實用計算法。這種方法認(rèn)為，剪力FQ是均勻地分布在剪切面A上的，其應(yīng)力(單位面積上的內(nèi)力)用字母“”表示，“”稱為切應(yīng)力，單位是Pa。為了保證剪切變形構(gòu)件安全可靠的工作，剪切強度條件為(二) 擠壓強度計算 如圖3-13d所示，從理論上講，擠壓面上擠壓力的分布是不均勻的，最大值在中間。為了簡化計算，假定擠壓力是均勻分布在擠壓面上的。 圖3-14鍵的擠壓受載設(shè)擠壓力為Fpjy，擠壓面面積為Ajy，以jy表示擠壓應(yīng)力(擠壓面上單位面積受力)，則擠壓強度條件為二、剪切與擠壓的實用計算圖3-14鍵的擠壓受載(三) 擠壓面面積的計算 若擠壓面為平面，

17、則擠壓面面積為接觸面面積。例如，鍵聯(lián)接(圖3-14)，Ajy=hl/2。若接觸面為半圓柱面，例如，鉚釘、螺栓、銷等圓柱形聯(lián)接件，其擠壓面面積為半圓柱面的正投影面(圖3-13e)，Ajy=dt，d為直徑，t為螺釘與孔的接觸長度。二、剪切與擠壓的實用計算例3-4某車床電動機軸與帶輪用平鍵聯(lián)接(圖3-15a)，已知軸的直徑d=35mm，鍵的尺寸bhl=10mm8mm60mm(圖3-15b)，傳遞的轉(zhuǎn)矩T=42N m。鍵的材料為45鋼，許用切應(yīng)力=60MPa，許用擠壓應(yīng)力jy=100MPa，帶輪材料為鑄鐵，許用擠壓應(yīng)力jy=53MPa。試校核鍵聯(lián)接的強度。圖3-15鍵的剪切受載二、剪切與擠壓的實用計算

18、圖3-16鉸制孔用螺栓的受載例3-5兩塊鋼板用螺栓聯(lián)接(圖3-16a)，每塊鋼板厚度t=10mm，螺栓直徑d=16mm，許用切應(yīng)力=60MPa，鋼板與螺栓的許用擠壓應(yīng)力jy=180MPa，求螺栓所能承受的許可載荷F第四節(jié)圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算一、扭轉(zhuǎn)的概念二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形五、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算一、扭轉(zhuǎn)的概念圖3-17構(gòu)件受扭轉(zhuǎn)的實例 在工程實際中，有很多構(gòu)件是承受扭轉(zhuǎn)作用而傳遞動力的。例如，鉆床鉆孔用的鉆頭(圖3-17a)、汽車轉(zhuǎn)向盤(圖3-17b)，以及傳動軸AB(圖3-17c)等。由這些實例可知，欲使構(gòu)件產(chǎn)

19、生扭轉(zhuǎn)，在構(gòu)件的兩端所受的力應(yīng)構(gòu)成力偶，這對力偶的大小相等、轉(zhuǎn)向相反，并在垂直于構(gòu)件軸線的平面內(nèi)。構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形時，構(gòu)件任意兩橫截面皆繞軸線產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)動，這種相對轉(zhuǎn)動形成的角位移稱為扭轉(zhuǎn)角，并以符號表示(圖3-17d)。二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖圖3-18扭矩圖(一) 外力偶矩的計算 計算軸的內(nèi)力，必須已知作用于軸上的外力偶矩。但工程實際中往往不能直接知道外力偶矩的大小，而是知道軸傳遞的功率P和軸的轉(zhuǎn)速n，這時外力偶矩可按下列公式計算式中Me外力偶矩，單位為Nm；P軸傳遞的功率，單位為kW；n軸的轉(zhuǎn)速，單位為r/min。(二) 扭矩 如圖3-18a所示，圓軸在一對大小相等、轉(zhuǎn)向相反的外

20、力偶矩Me的作用下產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)變形，此時橫截面上就產(chǎn)生了抵抗變形和破壞的內(nèi)力。用截面法可以把它顯示出來，即用假想截面nn將軸截開，取左段為研究對象(圖3-18b)。從平衡關(guān)系不難看出，扭轉(zhuǎn)時橫截面上內(nèi)力合成的結(jié)果必定是一個力偶，這個內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用T表示。由靜力平衡條件可求出截面上的扭矩二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖圖3-19扭矩正負號確定 如取右段為研究對象(圖3-18c)，同樣也可求得T。由于截面兩邊的力偶互為作用和反作用關(guān)系，因此，取截面左段或右段為研究對象所求的扭矩，在數(shù)值上是相等的，而轉(zhuǎn)向是相反的。為了使從左段和右段所求得的扭矩在符號上一致，規(guī)定采用右手螺旋法則來判定扭矩的正負

21、號。如圖3-19所示，如果以右手四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，則拇指的指向離開截面時扭矩為正，反之為負。(三) 扭矩圖 為了形象地表示各截面扭矩的大小和正負，以便分析危險截面，常需畫出扭矩隨截面位置變化的函數(shù)圖像，這種圖像稱為扭矩圖。其畫法與軸力圖類同，取平行于軸線的橫坐標(biāo)x表示各截面位置，垂直于軸線的縱坐標(biāo)T表示相應(yīng)截面上的扭矩，正扭矩畫在x軸的上方，負扭矩畫在x軸的下方(圖3-18d)。二、扭轉(zhuǎn)時橫截面上的內(nèi)力扭矩、扭矩圖圖3-20傳動軸的扭矩例3-6傳動軸(圖3-20a)的轉(zhuǎn)速n=200r/min，功率由A輪輸入，B、C兩輪輸出。已知PA=40kW，PB=25kW，PC=15kW。要求：畫出傳動軸

22、的扭矩圖；確定最大扭矩Tmax的值；若將A輪與B輪的位置對調(diào)(圖3-20b)，試分析扭矩圖是否有變化?如何變化?最大扭矩Tmax值為多少?兩種不同的載荷分布形式哪一種較為合理?三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力圖3-21圓軸的扭轉(zhuǎn)變形(一) 圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上應(yīng)力分布規(guī)律 為了研究應(yīng)力，先來觀察扭轉(zhuǎn)實驗的現(xiàn)象。取如圖3-21a所示的圓軸，在其表面上畫出圓周線和縱向線，形成矩形網(wǎng)格。在扭轉(zhuǎn)小變形的情況下(圖3-21b)，可以觀察到：1) 各縱向線條傾斜了同一角度R，表面上的矩形網(wǎng)格變成了菱形(圖3-21b)。2) 各圓周線均繞軸線轉(zhuǎn)過一個角度，而圓周線的形狀、大小以及圓周線間的距離均未改變(圖3-21b)

23、。三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力圖3-22圓軸扭轉(zhuǎn)的切應(yīng)力 切應(yīng)力在橫截面上究竟是怎樣分布的呢?如圖3-22所示，圓軸在扭轉(zhuǎn)時轉(zhuǎn)過了角，截面上的C點和K點分別轉(zhuǎn)到了C點和K點，由圖3-22可得：CC=max，=l，KK=l，所以 式中，為圓軸扭轉(zhuǎn)時單位長度內(nèi)的角變形，稱為切應(yīng)變，即相對角位移。max和分別為C點和K點的半徑。三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力圖3-23實心圓軸受扭時切應(yīng)力的分布 式(3-8)稱為剪切胡克定律，式中G稱為切變模量，其單位為Pa，常用單位為GPa。將max=G和=G代入式(a)，得 式(b)說明了圓軸扭轉(zhuǎn)時截面上切應(yīng)力的分布規(guī)律：截面上各點切應(yīng)力的大小與該點到圓心的距離成正比，軸圓

24、周邊緣的切應(yīng)力最大，圓心處的切應(yīng)力為零，如圖3-23、圖3-24所示。圖3-24空心圓軸受扭時切應(yīng)力的分布(二) 扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力的計算1.應(yīng)力公式 當(dāng)圓軸某橫截面上的扭矩為T、截面半徑為R時，截面上距中心(軸心)為處的切應(yīng)力的計算公式為 式中，Ip是截面的極慣性矩(截面二次極矩)，是只與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，其單位為m4或mm4。 式中Wn稱為圓軸的抗扭截面系數(shù)，也是與截面形狀和尺寸有關(guān)的幾何量，其單位為m3或mm3。 式(3-11)為圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面的最大切應(yīng)力計算公式，是式(3-9)的特殊形式。三、圓軸橫截面上的切應(yīng)力圖3-25圓軸的截面2.圓軸截面的極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wn 工程

25、中承受扭轉(zhuǎn)的圓軸常采用實心圓軸和空心圓軸兩種形式，其橫截面如圖3-25所示。它們的極慣性矩Ip和抗扭截面系數(shù)Wn的計算公式分別為(1) 實心圓軸式中D軸的直徑，單位為m或mm。式中D外徑；d孔徑；=d/D。四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 扭轉(zhuǎn)變形以兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角來度量。通過圓軸扭轉(zhuǎn)試驗發(fā)現(xiàn)，當(dāng)最大扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力max不超過材料的剪切比例極限p時，圓軸的扭轉(zhuǎn)角(單位為rad)總是正比于扭矩T和軸的長度l，反比于截面的極慣性矩Ip及材料的切變模量G，即1) GIp越大，則越小，它反映了截面抗扭轉(zhuǎn)變形的能力，稱為抗扭剛度。2) 扭轉(zhuǎn)角的大小與軸長l有關(guān)。為了消除l影響，將式(3-16)兩端除以l，得單位長

26、度扭轉(zhuǎn)角，并以符號表示，其單位為rad/m。但在工程中常用(/m)表示，故用1rad=180/代入運算得五、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算圖3-26傳動軸 為了保證扭轉(zhuǎn)圓軸安全的工作，應(yīng)限制軸上危險截面的最大工作切應(yīng)力不超過材料的許用切應(yīng)力，即例3-7傳動軸如圖3-26所示。已知齒輪1和3的輸出功率分別為0.76kW和2.9kW，軸的轉(zhuǎn)速為180r/min，材料為45鋼，G=80GPa，=40MPa，=0.25/m，試確定該傳動軸的直徑d。五、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算與剛度計算例3-8汽車傳動軸AB(圖3-27)由無縫鋼管制成，管的外徑D=90mm，內(nèi)徑d=85mm，傳遞的最大轉(zhuǎn)矩為1500Nm，

27、=60MPa。試校核軸的強度。若保持最大切應(yīng)力不變，將傳動軸改用實心軸，試比較兩者的重圖3-27汽車傳動軸第五節(jié)構(gòu)件彎曲變形時的強度計算與剛度計算一、平面彎曲的概念二、梁的計算簡圖三、梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩四、彎矩圖五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力六、彎曲強度計算七、彎曲剛度簡介一、平面彎曲的概念圖3-28構(gòu)件的彎曲 工程實際中經(jīng)常會遇到像火車輪軸(圖3-28a)、軋鋼機軋輥(圖3-28c)這樣的構(gòu)件，它們的受力特點和變形特點是：作用在桿件上的外力垂直于桿件軸線，使原為直線的軸線變形后成為曲線，這種形式的變形稱為彎曲變形。以彎曲變形為主的桿件習(xí)慣上稱為梁。一、平面彎曲的概念圖3-29有對稱軸

28、的梁 工程中多數(shù)的梁其橫截面皆有一對稱軸，通過對稱軸和梁的軸線可作一縱向?qū)ΨQ面(圖3-29)。若梁上的所有載荷都作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁變形時軸線x也在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)彎成一曲線，這種彎曲稱為平面彎曲。本節(jié)只討論平面彎曲問題。二、梁的計算簡圖圖3-30鉸鏈支座 梁的支座情況與載荷的作用形式是復(fù)雜多樣的，為了便于分析計算，必須進行簡化。簡化時，首先將梁用其軸線表示(圖3-28d、e、f)，然后對支座和載荷進行簡化。(一) 梁支座的簡化按照支座對梁的約束情況，通常將支座簡化為下列幾種形式：1.鉸鏈支座 若支座處梁的橫截面可稍稍偏轉(zhuǎn)(繞垂直于載荷作用面的軸偏轉(zhuǎn))，則在載荷作用面內(nèi)該支座可簡化為鉸鏈支座。二

29、、梁的計算簡圖圖3-31固定端2.固定端 凡是使梁的某截面既不能轉(zhuǎn)動又不能移動的支座，均可簡化為固定端。如(l/d)3的長軸承(圖3-31a)、夾緊工件的三爪自定心卡盤(圖3-31b)、車刀桿(圖3-28b)均可簡化為固定端。固定端的簡化形式與約束力如圖3-31c、d二、梁的計算簡圖圖3-32集中力 作用在梁上的載荷，通?？珊喕癁橄铝腥N形式：1.集中力 當(dāng)力的作用范圍相對梁的長度很小時，可簡化為作用于一點的集中力。譬如，齒輪的徑向力Fr與軸承反力F(圖3-32a)，均沿齒寬、軸承寬分布作用于軸上(圖3-32b)。當(dāng)它們的作用寬度相對于軸的長度較小時，可簡化為作用于輪寬(軸承寬)中點的集中力(

30、圖3-32c)。二、梁的計算簡圖圖3-33集中力偶2.集中力偶 圖3-33集中力偶當(dāng)力偶作用的范圍遠遠小于梁的長度時，可簡化為集中作用于某一截面的集中力偶。例如，齒輪軸向力Fa(圖3-33a)傳到軸上而產(chǎn)生的力偶，分布在齒輪寬度CD上(圖3-33b)，因CD較短，可簡化為作用于CD中點截面上的集中力偶(圖3-33c)，其力偶矩為MC=FaD/2。3.分布載荷 載荷連續(xù)分布在梁的全長或部分長度上的“分散力”，稱為分布載荷。分布載荷的大小與分布情況，用單位長度上的力q表示(圖3-28f)，稱為載荷集度，其單位為N/m或kN/m。均質(zhì)等截面梁的自重，是均勻分布的分布載荷。均勻分布的分布載荷簡稱為均布

31、載荷。三、梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩圖3-34梁截面上的內(nèi)力 分析梁橫截面上的內(nèi)力仍用截面法。設(shè)AB梁(圖3-34a)跨度為l，在C點作用集中力Fp，取A點為坐標(biāo)原點，坐標(biāo)軸x、y，其方向如圖3-34a所示。 根據(jù)靜力平衡方程，求出支座反力FA=Fpb/l和FB=Fpa/l。為了分析距原點為x的橫截面nn上的內(nèi)力，用截面法沿橫截面nn將梁分為左、右兩段(圖3-34b、c)。由于整個梁是平衡的，它的任一部分也應(yīng)處于平衡狀態(tài)。若以左段為研究對象，由于外力FA有使左段上移和順時針轉(zhuǎn)動的作用，因此，在橫截面nn上必有垂直向下的內(nèi)力FQ和逆時針轉(zhuǎn)動的內(nèi)力偶矩M與之平衡，如圖3-34b所示。由靜力平衡方程

32、即可求出FQ與M之值三、梁橫截面上的內(nèi)力剪力和彎矩圖3-35梁受彎時彎矩的符號 為了使同一截面兩邊的彎矩在正負符號上統(tǒng)一起來，按它的變形情況作如下規(guī)定：梁變形后，若凹面向上，截面上的彎矩為正；反之，若凹面向下，截面上的彎矩為負，如圖3-35所示。四、彎矩圖圖3-36受集中力作用梁的彎矩圖 在進行梁的強度計算時，為了確定危險截面(往往是最大彎矩值所在的位置)，需要求出梁各橫截面上的彎矩沿軸線變化的規(guī)律。由式(b)可知，當(dāng)表示截面位置的x改變時，彎矩將隨之改變，因此彎矩是x的函數(shù)，其一般表達式為例3-9橋式起重機橫梁長l，起吊量為Fp(圖3-36a)，不計梁的自重，試畫其彎矩圖。例3-10齒輪軸受

33、集中力偶作用(圖3-37a)，已知MC、a、b、l，試畫其彎矩圖。四、彎矩圖圖3-38受均布載荷梁的彎矩圖例3-11簡支梁自重為均布載荷，載荷集度為q，梁長l(圖3-38a)，試畫其彎矩圖。四、彎矩圖圖3-38受均布載荷梁的彎矩圖四、彎矩圖圖3-39受集中力和集中力偶作用簡支梁的彎矩圖例3-12試作簡支梁(圖3-39a)受集中力Fp和集中力偶M=Fpl作用時的彎矩圖。五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力圖3-40梁彎曲時的中性層假設(shè)一) 平面彎曲時梁橫截面上的正應(yīng)力的分布規(guī)律 圖3-40梁彎曲時的中性層假設(shè)在一般情況下，梁橫截面上既有彎矩又有剪力，這樣的彎曲稱為橫力彎曲。如果梁橫截面上只有彎矩而無剪

34、力，則稱為純彎曲。試驗發(fā)現(xiàn)，具有縱向?qū)ΨQ平面的梁作平面純彎曲時，表面上畫出的各橫向線仍保持直線并處處與縱向線正交，但發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動。 綜上所述，平面彎曲時，梁橫截面上的正應(yīng)力分布規(guī)律是：橫截面上各點的正應(yīng)力與該點到中性軸z的距離y成正比(圖3-41)，沿截面寬度方向(離中性軸距離相同的各點)正應(yīng)力相同；沿截面高度方向正應(yīng)力按直線規(guī)律變化，中性軸上各點(y=0處)正應(yīng)力為零，離中性軸最遠的點正應(yīng)力最大，故有五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力圖3-41梁截面上的彎曲應(yīng)力(二) 彎曲正應(yīng)力的計算1.應(yīng)力公式 當(dāng)梁橫截面上的彎矩為M時(圖3-41)，該截面距中性軸z距離為y的點的正應(yīng)力計算公式為式中，Iz

35、是橫截面對z軸的慣性矩，是只與截面的形狀、尺寸有關(guān)的幾何量，其單位為m4或mm4。五、平面彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力表3-1常用截面的I、W計算公式2.梁橫截面的慣性矩I和抗彎截面系數(shù)W常用截面的I、W計算公式見表3-1。六、彎曲強度計算圖3-42集中力作用下簡支梁的彎曲應(yīng)力 梁的彎曲強度條件是：梁內(nèi)危險截面上的最大彎曲正應(yīng)力max不超過材料的許用應(yīng)力，即例3-13簡支梁如圖3-42a所示，已知Fr=6kN，=60MPa，l=60cm，a=25cm，b=35cm，試設(shè)計實心軸的直徑d。六、彎曲強度計算圖3-43均布載荷作用下簡支梁的彎曲應(yīng)力圖3-43均布載荷作用下簡支梁的彎曲應(yīng)力例3-14管磨機筒

36、體如圖3-43a所示，已知筒體支承間跨距l(xiāng)=14.5m，筒體承受均布載荷q=92.4kN/m，筒體內(nèi)徑d=2.2m，壁厚=26mm，筒體材料為Q235鋼板，許用應(yīng)力為=3240MPa。七、彎曲剛度簡介圖3-45梁的撓曲變形 對于梁的設(shè)計來說，不但應(yīng)有足夠的強度，以保證安全，而且應(yīng)有足夠的剛度，以保證正常工作。例如，齒輪軸在工作時變形過大，要影響齒輪的嚙合(圖3-44);又如吊車梁若變形過大，在行駛時會發(fā)生激烈的振動，影響正常工作，甚至脫軌。七、彎曲剛度簡介圖3-45梁的撓曲變形工程中對受彎構(gòu)件的最大撓度和最大轉(zhuǎn)角有一定的限制，這種對變形大小的限制，稱為剛度條件，即 式中y和分別是梁的許用撓度和

37、許用轉(zhuǎn)角，其值在各工程類設(shè)計里都有詳細規(guī)定。如機械工程中，轉(zhuǎn)軸的許用撓度一般規(guī)定為y=(0.00010.0005)l，l為軸的跨度；許用轉(zhuǎn)角一般規(guī)定為0.001rad。梁的許用撓度和許用轉(zhuǎn)角可查有關(guān)手冊。第六節(jié)構(gòu)件彎曲組合變形時的強度計算例3-15如圖3-47所示的帶傳動，已知帶輪直徑D=50cm，軸的直徑d=9cm，跨度l=100cm，帶的緊邊拉力F1=8000N，松邊拉力F2=4000N，軸的材料為35鋼，其許用應(yīng)力=60MPa，試用第三強度理論校核此軸的強度。解由前面分析，可以知道截面C為危險截面，該截面上的彎矩與扭矩值分別為第六節(jié)構(gòu)件彎曲組合變形時的強度計算圖3-46組合彎形實例 由彎矩圖和扭矩圖可知，跨度中點C處為危險截面。在水平力FC(F1+F2)作用下，軸在水平面內(nèi)彎曲，其最大彎曲正應(yīng)力在軸直徑的兩端(如圖3-48的C1、C2處)；在扭矩TA=TC作用下，AC段的切