構(gòu)造全等三角形種常用方法

1、構(gòu)造全等三角形種常用方法在證明兩個三角形全等時，選擇三角形全等的五種方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一組相等的邊，因此在應(yīng)用時要養(yǎng)成先找邊的習(xí)慣。假如選擇找到了一組對應(yīng)邊，再找其次組條件，若找到一組對應(yīng)邊則再找這兩邊的夾角用“SAS”或再找第三組對應(yīng)邊用“SSS”；若找到一組角則需找另一組角（可能用“ASA”或“AAS”）或夾這個角的另一組對應(yīng)邊用“SAS”；若是判定兩個直角三角形全等則優(yōu)先考慮“HL”。上述可歸納為：ABCDFEG圖（1）搞清了全等三角形的證題思路后，還要留意一些較難的一些證明問題，只要構(gòu)造合適的全等三角形，把條件相對集中起來，再進(jìn)行

2、等量代換，就可以化難為易了下面舉例說明幾種常見的構(gòu)造方法，供同學(xué)們參考 1截長補短法例1如圖（1）已知：正方形ABCD中，BAC的平分線交BC于E，求證：AB+BE=AC解法（一）（補短法或補全法）延長AB至F使AF=AC，由已知AEFAEC，F(xiàn)=ACE=45º，BF=BE，AB+BE=AB+BF=AF=AC解法（二）（截長法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 ABEAGE，EG=BE, AGE=ABE,ACE=45º, CG=EG,AB+BE=AG+CG=AC 2平行線法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點可以試過中點作平行線或中位線，對Rt,有時可作出斜邊的中線ABCP

3、QDO 例2ABC中，BAC=60°，C=40°AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQ證明：如圖（1），過O作ODBC交AB于D，ADO=ABC=180°60°40°=80°，又AQO=C+QBC=80°，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB，又PBO=DBO，DBO=DOB，BD=OD，AB+BP=AD+DB+BPOABCPQD圖（2）ABCPQDE圖（3）O=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 說明：本題也可以

4、在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長補短法” 本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（2），過O作ODBC交AC于D，則ADOABO來解決 如圖（3），過O作DEBC交AB于D，交AC于E，則ADOAQO，ABOAEO來解決ABCPQ圖（5）DO 如圖（4），過P作PDBQ交AB的延長線于D，ABCPQ圖（4）DO則APDAPC來解決 如圖（5），過P作PDBQ交AC于D，則ABPADP來解決（本題作平行線的方法還很多，感愛好的同學(xué)自己爭辯） 3旋轉(zhuǎn)法對題目中消滅有一個公共端點的相等線段時，可試用旋轉(zhuǎn)方法構(gòu)造全等三角形。圖 3例3如圖3所示，已知點、分別在正方形的邊與

5、上，并且平分，求證：。分析：本題要證的和不在同一條直線上，因而要設(shè)法將它們“組合”到一起。可將繞點旋轉(zhuǎn)到，則，=，從而將轉(zhuǎn)化為線段，再進(jìn)一步證明即可。證明略。 4倍長中線法題中條件若有中線，可延長一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個三角形內(nèi)。EABCDFH 例4如圖（7）AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=BE求證：AC=BF證明：延長AD至H使DH=AD，連BH，BD=CD，BDH=ADC，DH=DA，BDHCDA，BH=CA，H=DAC，又AE=EF，DAC=AFE，AFE=BFD，AFE= 圖（7）BFD=DAC=H，BF=BH，AC=BF 5翻折法 若題

6、設(shè)中含有垂線、角的平分線等條件的，可以試用軸對稱性質(zhì)，沿軸翻轉(zhuǎn)圖形來構(gòu)造全等三角形例5如圖（8）已知：在ABC中，A=45º, ADBC，若BD=3，DC=2， 求：ABC的面積ABCDEGF解：以AB為軸將ABD翻轉(zhuǎn)180º，得到與它全等的ABE，以AC為軸將ADC翻轉(zhuǎn)180º，得到與它全等的AFC，EB、FC延長線交于G，易證四邊形AEGF是正方形，設(shè)它的邊長為x，則BG=x3，CG=x2，在RtBGC中，（x-3）+（x-2）=5 解得x=6，則AD=6，SABC=×5×6=15 圖（8） ABCPD練習(xí)：例3已知：如圖（6），P為ABC

7、內(nèi)一點，且PA=3，PB=4，PC=5，求APB的度數(shù)分析：直接求APB的度數(shù)，不易求，由PA=3，PB=4，PC=5，聯(lián)想到構(gòu)造直角三角形略解：將BAP繞A點逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°至ACD，連接PD，則BAPADC，DC=BP=4，AP=AD，PAD=60°，又PC=5，PD+DC=PC 圖（6）PDC為Rt, PDC=90ºAPB=ADC=ADP+PDC=60°+90º=150º、平移法構(gòu)造全等三角形例如圖所示，四邊形中，平分，若，求證：。分析：利用角平分線構(gòu)造三角形，將轉(zhuǎn)移到，而與互補，從而證得。主要方法是：“線、角進(jìn)行轉(zhuǎn)移”。圖

8、證明：在上截取，在與中， （SAS） , , ， , , .、翻折法構(gòu)造全等三角形例如圖所示，已知中，平分，求證：。證明： 平分，將沿翻折后，點圖 2落在上的點，則有，在與中， （SAS） , 已知中， , , , 。3、旋轉(zhuǎn)法構(gòu)造全等三角形圖 3例3如圖3所示，已知點、分別在正方形的邊與上，并且平分，求證：。分析：本題要證的和不在同一條直線上，因而要設(shè)法將它們“組合”到一起。可將繞點旋轉(zhuǎn)到，則，=，從而將轉(zhuǎn)化為線段，再進(jìn)一步證明即可。證明略。4、延長法構(gòu)造全等三角形圖 4例4如圖4所示，在中，求證：。分析：證明一條線段等于另兩條線段之和，常用的方法是延長一條短線段使其等于長線段，再證明延長部分與另一短線段相等即可；或者在長線段上截取一條線段等于短線段，再證明余下部分等于另一條短線段。