課例數(shù)軸資料

1、 課例：數(shù)軸第一步 出示課例教師：前面我們通過溫度計、海平面等（屏幕顯示溫度計，見圖2-7）引進(jìn)了負(fù)數(shù)的概念，從而將小學(xué)學(xué)過的數(shù)擴充到有理數(shù)，請問，什么叫做有理數(shù)？圖2-7學(xué)生1：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)教師：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)由于整數(shù)有正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)也有正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)，因而有理數(shù)又可以根據(jù)符號分成三類：正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)現(xiàn)在問，溫度計顯示零上20、零下5時，你如何用有理數(shù)來表示？學(xué)生1：零度以上我用正數(shù)表示，記為+20；零度以下我用負(fù)數(shù)表示，記為-5教師：很好，零上20我們用正整數(shù)來表示，“”號可以省略，零下5我們用負(fù)整數(shù)來表示下面，我們來看一道應(yīng)用題（屏幕顯示題目）例1 王明同

2、學(xué)的家向東走40米是學(xué)校，向西走60米是書店現(xiàn)在規(guī)定，王明向東走為正，向西走為負(fù)，那么，王明同學(xué)從家出發(fā)，走到學(xué)校應(yīng)記作什么？走到書店應(yīng)記作什么？學(xué)生2：走到學(xué)校記作+40米，走到書店記作-60米（屏幕顯示行程路線圖2-8)圖2-8教師：（對照著圖線）對，從家向東走到學(xué)校記作40米，從家向西走到書店記作-60米我這里增加了“從家向東”、“從家向西”是想作兩點強調(diào)，第一是強調(diào)計算的起點；第二是強調(diào)相反意義的量從而使意思表達(dá)更為規(guī)范（稍事停頓）不知大家注意到?jīng)]有，在我們的大屏幕上出現(xiàn)過2個圖形（大屏幕左邊顯示出圖2-7,右邊顯示出圖2-8),它們雖然形狀、位置、物質(zhì)的構(gòu)成等都很不相同，但卻有共同的

3、性質(zhì)，就是通過圖線從數(shù)量上表示事物，如表示溫度、路程等（屏幕同時顯示：）·用圖線表示事物的數(shù)量特征為了表示事物的數(shù)量特征，這些圖線應(yīng)該有便于表示數(shù)量的構(gòu)造，大家仔細(xì)觀察一下溫度計，其刻度線在結(jié)構(gòu)上都有些什么特點？（屏幕回到圖2-7,圖2- 8)學(xué)生3：為了計算，它們都有一個起點，溫度計的計算起點在0的地方；王明走路的計算起點在出發(fā)的地方學(xué)生4：為了表示相反意義的量，它們都有方向，溫度計是上正下負(fù)，有上下方向；王明走路是東正西負(fù)，有東西方向（討論稍事停頓，教師及時出來調(diào)控）教師：通過觀察，總結(jié)出來的兩個結(jié)構(gòu)特征非常好（屏幕顯示，在下繼續(xù)出現(xiàn)、）·有計算的起點（0；家）

4、3;有表示相反意義的方向（上、下；東、西）有了這兩條“表示事物的數(shù)量特征”是不是就夠了呢？換句話來說，還能不能繼續(xù)找出更多的特點來學(xué)生5：都標(biāo)有數(shù)字學(xué)生6：溫度計上有刻度學(xué)生7：刻度線是等距離分布的教師：怎樣才能把這些刻度的位置確定下來呢？學(xué)生8：確定好一格的位置就行了，余下的位置只須截取教師：對，一格就是一個測量溫度的單位，叫做度，有了起點，有了單位，就可以去測量了，用測量出來的數(shù)值就可以表示溫度了所以，用圖線表示事物的數(shù)量特征還要有一個單位長度（屏幕在、下方加上）·有計算的單位（度；米）同學(xué)們，屏幕上顯示的這4條性質(zhì)，與溫度計是否用玻璃做成無關(guān)，也與溫度計豎放、平放等具體位置無關(guān)

5、，抓住這些特點，我們可以在一條直線上畫出刻度，標(biāo)上讀數(shù)，來表示有理數(shù)（屏幕顯示：溫度計越變越窄，成為一條有刻度的線段，旋轉(zhuǎn)為水平位置，然后加以伸長，標(biāo)上刻度0,1,2,3,4,5及一1，-2，-3，-4，-5，再刪除其余部分，畫個箭頭，如圖2-9)圖2-9教師：這是一條水平放置的特殊直線，可以用來表示數(shù)，其上有溫度計或行程路線圖的那3個特征：(1)確定了原點有相當(dāng)于0或出發(fā)點的點，即圖2-9中的0點，叫做原點(2)規(guī)定了方向圖2-9中從原點向右為正方向，向左為負(fù)方向，相當(dāng)于溫度計中0以上為正，0以下為負(fù)(3)選取了適當(dāng)長度作為單位長度相當(dāng)于溫度計上每1占1小格的長度這樣的直線比原先多了原點、正

6、方向、單位長度，我們給它起個新名字，叫做數(shù)軸（屏幕顯示數(shù)軸的定義）·規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸教師：這就是我們今天要進(jìn)行的新課：數(shù)軸事實上，我們已經(jīng)研究了這個課題的兩個向題（教師在黑板上板書：22數(shù)軸1.數(shù)軸的體驗與提煉2.數(shù)軸的定義）有了數(shù)軸的名稱和定義之后，我們來介紹數(shù)軸怎么畫，然后說數(shù)軸有什么用（教師板書:3.數(shù)軸的畫法）在數(shù)軸的定義中出現(xiàn)了4個詞：原點、正方向、單位長度、直線，畫數(shù)軸主要就是落實這4個詞，大家先對照圖2-9畫一條數(shù)軸，然后總結(jié)步驟（教師巡視，學(xué)生畫完數(shù)軸）教師：第1步先畫什么好呢？學(xué)生（眾）：直線教師：因為我們是在直線上添原點、方向和單位的，所

7、以先畫直線順理成章學(xué)生9：老師，畫直線不也得從點開始吧？我看先取原點，然后過原點畫一條直線也可以教師：大膽的發(fā)言很有道理，我們就把“畫直線、定原點，”作為畫數(shù)軸的第1步好了第1步，畫直線，定原點直線通常畫在水平位置；原點可以任取，通常居中畫一豎短線，并在該位置的下方記上數(shù)字0(如圖2-10)圖2-10教師：第2步該畫什么呢？學(xué)生10：選方向，有了方向就可以確定是在原點右方或左方取單位長度了學(xué)生11：我認(rèn)為先取單位長度并無不可畫完原點之后，跟著畫單位并等距截取，可能還更順手一些教師：取多長一段線為單位長度確實與方向無關(guān)，但給單位長度的線段端點標(biāo)上數(shù)字時，就與方向有關(guān)了按照習(xí)慣，我們先選方向第2步

8、，選方向通常取原點向左的方向為正方向，畫一個小箭頭（如圖2-11）圖2-11第3步，取單位選取適當(dāng)?shù)拈L度為單位長度，置于原點的右方，記為1通常要考慮到所表示數(shù)的大小或范圍，當(dāng)數(shù)字較大時，單位長度就短一些（如圖2-12)圖2-12第4步，完成數(shù)軸，在原點右方（正方向）用單位長度等距離截取若干點，記為2，3，；在原點左方（負(fù)方向）用單位長度等距離截取若干點，記為一1，-2，-3，（這些數(shù)字通常寫在數(shù)軸的下方），得到圖2-9，這就是一條數(shù)軸教師：大家總結(jié)得不錯，下面做一個練習(xí)，判別所畫的各圖，哪個是數(shù)軸？哪個不是數(shù)軸？（屏幕顯示題目）例2 判斷下列各圖，哪個是數(shù)軸，哪個不是數(shù)軸圖2-13學(xué)生12：第

9、(1)個圖不是數(shù)軸，因為還缺少方向?qū)W生13：第(2)個圖不是數(shù)軸，因為原點兩邊的單位不一致學(xué)生14：第(3)個圖不是數(shù)軸，因為刻度下方?jīng)]有標(biāo)數(shù)字；學(xué)生15：第(4)個圖不是數(shù)軸，因為數(shù)字不是從左到右遞增排列，-1與-3交換位置就成為數(shù)軸了學(xué)生16：第(5)個圖不是數(shù)軸，因為還缺少原點教師：掌握了數(shù)軸之后，我們用數(shù)軸來表示數(shù)分兩步進(jìn)行：（板書：4用數(shù)軸表示數(shù)）第1步，表示整數(shù)如圖2-9，將整數(shù)放在數(shù)軸的刻度點上，0與原點對應(yīng)，正整數(shù)與原點右方的刻度點對應(yīng)，負(fù)整數(shù)與原點左方的刻度點對應(yīng)（即將整數(shù)分為主類放到數(shù)軸上）于是，每一個整數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個刻度點；反之，每一個刻度點都可以找到一個整數(shù)，

10、不同的整數(shù)對應(yīng)不同的刻度點，不同的刻度點對應(yīng)不同的整數(shù)第2步，表示分?jǐn)?shù)由午每一個分?jǐn)?shù)都一定在某兩個相鄰的整數(shù)之間，于是，我們就在這兩個相鄰的整數(shù)所對應(yīng)的相鄰刻度點之間表示分?jǐn)?shù)這樣，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示數(shù)與點的互相轉(zhuǎn)換，使得我們能夠把數(shù)的特性顯示在數(shù)軸上，反過來又可以在數(shù)軸上研究數(shù)的性質(zhì)比如，在數(shù)軸上看負(fù)數(shù)就非常直觀、非常具體、非常實在了數(shù)軸上，不僅原點的右邊有點，左邊也有點，左邊的點也（對應(yīng)負(fù)數(shù)）是具體的、實在的從下一節(jié)課開始，我們將借助于數(shù)軸來比較有理數(shù)的大小，并進(jìn)行有理數(shù)的運算現(xiàn)在，我們先來鞏固一下，如何使用數(shù)軸把數(shù)表示為點，又如何把點表示為數(shù)（屏幕顯示題目）（板書:5練習(xí)

11、）例3 在所給數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點：解 數(shù)1在原點右方第1個刻度處，我們在該刻度上畫一實心黑點，并在黑點的上方記上1數(shù)5在原點左方第5個刻度處，我們在該刻度上畫一實心黑點，并在黑點上方記上5.數(shù)2.5在原點左方第2與第3個刻度之間，我們?nèi)?與2的中點畫一實心黑點，并在黑點上方記上2.5.下面請個同學(xué)來完成后面兩個數(shù)學(xué)生17：數(shù)在原點右邊第4格與第5格之間，取4與5的中點畫一實心黑點，并在黑點上方記上數(shù)在原點處，將原點畫成實心黑點，并在黑點上方記上0(圖2-15）圖2-15教師：說得很規(guī)范，操作得也很準(zhǔn)確，這里再對規(guī)范性作4點強調(diào)：刻度線畫在直線上方，刻度點的編號寫在直線下方，表示數(shù)時用實

12、心黑點，該數(shù)字寫在黑點的上方現(xiàn)在我們回到例1，建立數(shù)軸，以王明家為原點，由西向東為正方向，單位長度為10米，則學(xué)校的位置用什么數(shù)來表示？學(xué)生（眾）：4教師：請把4畫在數(shù)軸上（停頓）再回答書店的位置用什么數(shù)表示？學(xué)生（眾）：6教師：請把6畫在同一數(shù)軸上下面，我們來做一個游戲，請第3排同學(xué)站起來（有8個學(xué)生站起來，教師給他們一條細(xì)繩子、拉直），把你們的位置調(diào)整為等距離，規(guī)定第4個同學(xué)為原點，由西向東為正方向，每個同學(xué)都有一個整數(shù)編號，請大家記住現(xiàn)在請第一排的同學(xué)依次發(fā)出口令，口令為數(shù)字時，該同學(xué)要回答“到”；口令為該同學(xué)的名字時，該同學(xué)要報出他所在的“數(shù)字”（游戲在興趣盎然的氣氛中進(jìn)行，下課前2分

13、鐘，教師做總結(jié)、布置作業(yè)）教師：今天學(xué)習(xí)的內(nèi)容可以概括為兩句話：(1)一個概念三個要素；(2)三個操作一個思想這一個概念是：數(shù)軸構(gòu)成數(shù)軸有三個要素，即原點、正方向、單位長度這三個操作是：怎樣畫數(shù)軸，怎樣把數(shù)畫在數(shù)軸上，怎樣把數(shù)軸上的點用數(shù)表示出來這三者的共同思想是構(gòu)成數(shù)與點的對應(yīng)，也叫數(shù)形結(jié)合其中，掌握概念、學(xué)會操作是重點，理解思想是難點，所有這些都還要通過后續(xù)內(nèi)容來鞏固翻開第56頁，習(xí)題2.2第1題做在書上，第2、3題寫在作業(yè)本上重點思考題(1)這節(jié)課的主要內(nèi)容是什么（包括對重點、難點的認(rèn)識）？對于接受這節(jié)課而言，學(xué)生原有哪些知識？教師怎樣根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律來組織學(xué)習(xí)？(2）分析這堂課的教學(xué)

14、性質(zhì)，分析這堂課的教學(xué)過程如何體現(xiàn)教學(xué)性質(zhì)？(3)從常規(guī)教學(xué)的角度分析這堂課的優(yōu)點、缺點附：課本原文2.2數(shù)軸1能將已知數(shù)在數(shù)軸上表示出來，能說出數(shù)軸上已知點所表示的數(shù)2知道數(shù)軸有原點、正方向和單位長度，能畫出數(shù)軸3會比較數(shù)軸上的數(shù)的大小利用溫度計可以測量溫度，在溫度計上有刻度(圖2-5)，刻度上標(biāo)有讀數(shù)，根據(jù)溫度計的液面的不同位置就可以讀出不同的數(shù)，從而得到所測的溫度在0上20個刻度，表示20；在0下5個刻度，表示5；等等圖2-5與溫度計類似，可以在一條直線上畫出刻度，標(biāo)上讀數(shù)，用直線上的點表示正數(shù)、負(fù)數(shù)和0，具體方法如下畫一條水平的直線，在這條直線上任取一點作為原點（圖2-6），用這點表示

15、0（相當(dāng)于溫度計上的0）規(guī)定直線上從原點向右為正方向（圖2-7中箭頭所指的方向），那么相反的方向，即從原點向左為負(fù)方向（相當(dāng)于溫度計上0以上為正，0以下為負(fù)）圖2-6圖2-7選取適當(dāng)?shù)拈L度作為單位長度（相當(dāng)于溫度計上每1占一小格的長度），在直線上，從原點向右，每隔一個單位長度取一點，依次表示1,2,3，；從原點向左，每隔一個單位長度取一點，依次表示-1，-2，-3，（圖2-8)圖2-8我們也可以在直線上找出表示分?jǐn)?shù)或小數(shù)的點如圖2-9，從原點向右1.4個單位長度的A點表示1.4，從原點向左 個單位長度的B點表示，等等圖2-9像上面這樣規(guī)定了原點·正方向和單位長度的直線叫做數(shù)軸所有的有

16、理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示例1 在所給數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點：解：練習(xí)1.在所給數(shù)軸上畫出表示下列各數(shù)的點：2.指出數(shù)軸上A，B,C,D,E各點分別表示什么數(shù)3.先閱讀課文，然后依照下列步驟畫數(shù)軸：第一，畫直線，定原點第二，取原點向右的方向為正方向第三，選取適當(dāng)長度（例知lcm）為單位長度第四，在數(shù)軸上標(biāo)出1,2,3，-1，-2，-3各點（參見：中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2001年第1-2期）第二步 學(xué)員討論學(xué)員1：我從三個方面來發(fā)言（一）教學(xué)內(nèi)容上的分析1本節(jié)課的內(nèi)容主要有：(1)數(shù)軸的概念概念；(2)數(shù)軸的畫法技能；(3)數(shù)軸上點與數(shù)的對應(yīng)數(shù)形結(jié)合的思想這種思想第一次進(jìn)人學(xué)生的頭腦，應(yīng)該說這是

17、數(shù)學(xué)思想方法上的一次飛躍、一次革命所以本節(jié)課非常重要，今后的很多知識都將建立在數(shù)軸上2.本節(jié)課融概念、技能、思想方法的教學(xué)于一體，我認(rèn)為其教學(xué)組織是：概念的體驗概念的提煉概念的形成概念的鞏固概念的應(yīng)用3本節(jié)課的認(rèn)知基礎(chǔ)有：(1)有理數(shù)的概念；(2)用有理數(shù)表示具有相反意義的量；(3)畫行程圖，并用有理數(shù)表示行程等；(4)實際生活體會上有溫度計及其讀法這些都是構(gòu)建新知識的基礎(chǔ)4.本節(jié)課的重點是理解數(shù)軸的概念，會畫數(shù)軸，會由數(shù)描點、由點讀數(shù)，以體會數(shù)形結(jié)合思想難點有2個：(1)將實際問題提煉為數(shù)學(xué)問題；(2）數(shù)形結(jié)合思想的體驗（二）教學(xué)設(shè)計上的分析1優(yōu)點(1)整個設(shè)計條理清楚，層次分明，以“概念的

18、體驗概念的提煉概念的形成概念的鞏固概念的應(yīng)用”為線索來設(shè)計(2）設(shè)計體現(xiàn)了建構(gòu)主義的現(xiàn)代教學(xué)思想，重視學(xué)生能力的培養(yǎng)，較好地暴露了知識的發(fā)生過程，而不是重結(jié)果的傳輸(3）本設(shè)計突出地體現(xiàn)了教學(xué)服務(wù)于學(xué)生的宗旨，設(shè)計符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重視新舊知識之間的作用，新認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生從已有的舊知識基礎(chǔ)上產(chǎn)生的，不是老師硬灌的(4）重點突出，突破難點有力度，用了相當(dāng)?shù)钠鶃碜寣W(xué)生體驗如何形成概念，并以各種形式（包括游戲）突破數(shù)形結(jié)合思想(5)學(xué)生的參與程度高，僅個人回答就有10多個，還有游戲就更多了2缺點(1)有的問題較大，學(xué)生會不知所問，茫然不知所答如問溫度計的刻度線“在結(jié)構(gòu)上有什么特點？”(2)學(xué)生回

19、答問題多，動手較少(3)有的語言過于專業(yè)化，初中生接受起來會有困難如“用圖線來表示事物的數(shù)量特征”（三）建議1.關(guān)于對數(shù)軸的提煉過程，可以先請同學(xué)們將溫度計用一個最簡易的圖形表示出來，然后觀察簡易溫度計與行程路線圖的共同性質(zhì)，對于“有表示相反意義的方向”，立即說用箭頭“”表示正方向，并請同學(xué)們將箭頭標(biāo)在直線上，去掉實際意義將使兩個圖變?yōu)橐粋€圖一條特殊直線，得出數(shù)軸2.對于例2，可以請同學(xué)們畫一個像數(shù)軸而又不是數(shù)軸的圖形，并說明為什么不是數(shù)軸這可能比直接給出例2好教師：發(fā)言有理論、有分析、有建議，比較系統(tǒng)，接下來的發(fā)言可就某一側(cè)面作深層次的分析學(xué)員2：有的老師做一個大的溫度計模型，然后去掉一些構(gòu)

20、件，得出一條帶刻度的直線，這有利于提煉出數(shù)軸學(xué)員3：1本課例的優(yōu)點有：(1)通過揭示“數(shù)軸”概念的形成過程，使學(xué)生經(jīng)歷了“溫度計（實物）圖線表示事物的數(shù)量特征（數(shù)學(xué)屬性）數(shù)軸（數(shù)學(xué)概念）”的過程，符合建構(gòu)主義的基本原則，即知識的建構(gòu)是在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，經(jīng)過順應(yīng)或同化，建立起新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)(2)在數(shù)軸的畫法中，進(jìn)行了秩序化的教學(xué)，同時也體現(xiàn)了屬加種差定義概念的邏輯知識，學(xué)生先畫正例，后判斷反例，能使學(xué)生更加準(zhǔn)確地理解數(shù)軸的概念及其畫法(3)游戲是有趣，學(xué)生參與度很高，還可以訓(xùn)練學(xué)生的反應(yīng)能力(4)總結(jié)非常精彩，并提出了要求：掌握概念，學(xué)會操作是重點2缺點(1)在例1中“原點”的提煉不夠，加問

21、一句“家在圖線上該怎么說呢？”就可把原點凸現(xiàn)出來(2)學(xué)生會覺得很奇怪，明明是數(shù)軸上的點，怎么會又是數(shù)呢？課例缺少解決此問題的設(shè)計(3)練習(xí)中應(yīng)該加上、，的描點或由點找數(shù) (4）提問是否太多了？教師：由溫度計到數(shù)軸的過程也是一個數(shù)學(xué)建模的過程，中間經(jīng)歷了一個“感知、表象、抽象”的思維過程，這也是第1位學(xué)員說的思想方法教學(xué)中的一個內(nèi)容，現(xiàn)在的問題是，有助于初一學(xué)生參與的游戲設(shè)計，體現(xiàn)著什么樣的課型？學(xué)員4：這是活動課對于活動之后的總結(jié)，我認(rèn)為教學(xué)中一般不向?qū)W生提“重點”、“難點”，這是教師掌握的問題，弄不好會誤導(dǎo)學(xué)生只要掌握“重點就行了”，我建議改為讓學(xué)生提出不明白的問題，既體現(xiàn)教學(xué)的反饋環(huán)節(jié)，

22、又體現(xiàn)教學(xué)民主教師：讓學(xué)生提問題是個好主意，帶著問號進(jìn)來，帶著更多的問號出去，是認(rèn)識的提高學(xué)員5：這個課例有活動性、完整性、趣味性和簡捷美(1)活動性讓學(xué)生從實際問題的體驗中提煉出概念，思維活動的空間很大；小游戲，畫圖操作都有活動(2)完整性，教學(xué)過程的設(shè)計完整（圖2-16)(3)趣味性用游戲讓學(xué)生把所學(xué)知識應(yīng)用于實際，同時可激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，具有趣味性(4）簡捷美小結(jié)簡練、簡單、明確缺點提3條：（1)有幾個地方語言太專業(yè)化；(2）有的地方語言啰嗦；(3）數(shù)軸的定義應(yīng)板書，做得更規(guī)范些教師：關(guān)于完整性的闡述，已經(jīng)提煉出了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程學(xué)員6：課例設(shè)計的引人與收尾都很有特點，引人來源于生活

23、，例1選取的角度比較好，家、學(xué)校、書店都是學(xué)生最熟悉的地方收尾在游戲中結(jié)束，總結(jié)方式非常精練學(xué)員7：數(shù)軸的三要素缺一不可，例2起了很好的強調(diào)作用，這是教材中沒有的但題目問了“哪個是數(shù)軸？哪個不是數(shù)軸？”是不是要加上“是數(shù)軸”的圖呢？請考慮教師：這是一個有益的建議學(xué)員8：創(chuàng)設(shè)情景，讓學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)的過程，我贊成，但是，一節(jié)很簡單的數(shù)軸課被上難了，對于初一的學(xué)生，是否需要這么專業(yè)化的思考？學(xué)員9：這樣的設(shè)計看起來似乎有些繁瑣，但這些正是有意展示知識的發(fā)生過程、發(fā)展過程，展示教師的思維過程，它有助于學(xué)生“學(xué)會學(xué)習(xí)”，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，這些恰好是我們在實際教學(xué)中欠缺的建議加上一個與例1類似的應(yīng)用題

24、為好學(xué)員10：例1的設(shè)置對于形成數(shù)軸概念很有必要，但又增加了學(xué)生在抽象出數(shù)軸第4個特征“有計算單位”的難度可否在圖2-8中添上刻度教師：大家的發(fā)言已經(jīng)體現(xiàn)了教學(xué)風(fēng)格的多樣性和教學(xué)設(shè)計的完善，也體現(xiàn)了大家豐富的教學(xué)積累學(xué)員11：總體上說，這是一個比較成功的課例，改變了傳統(tǒng)中灌輸式的教學(xué)方式，這對實施素質(zhì)教育是非常有益的提兩點意見：一是在數(shù)軸概念的形成過程中，更多地體現(xiàn)了教師的意見，而學(xué)生的主動成分較少；二是教學(xué)中抽象語言出現(xiàn)的略多，如“數(shù)量特征”，這會增加學(xué)生學(xué)習(xí)的困難第三步：總結(jié)評議本總結(jié)發(fā)言包括三個部分，首先是對課例的教學(xué)過程進(jìn)行分析和提煉；然后是對學(xué)習(xí)過程進(jìn)行分析與總結(jié)；最后是綜合大家對課

25、例優(yōu)缺點的看法，其中也有教師個人的看法（一）課例的教學(xué)過程分析1數(shù)軸概念的教學(xué)過程本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容可以從知識、技能、素質(zhì)三個維度上去認(rèn)識，但都圍繞著一個中心內(nèi)容：數(shù)軸因此，這節(jié)課的教學(xué)性質(zhì)屬于“概念教學(xué)”，具體采用了“概念形成”的方式從學(xué)習(xí)論的角度我們將其概括為4個階段（圖2-17的左邊）(1)第1階段，從開頭到例1的處理結(jié)束，主要是通過復(fù)習(xí)提問的方式，呈現(xiàn)建立數(shù)軸的相關(guān)知識，數(shù)軸要溝通有理數(shù)（數(shù)）與直線（形）之間的聯(lián)系，這涉及兩個知識“直線”作為原始概念沒有提問，但暗中出現(xiàn)在例1的路線圖中或溫度計中對“有理數(shù)”進(jìn)行了提問，一方面是上節(jié)課的自然復(fù)習(xí)，另方面是本節(jié)課的有意鋪墊教師還特別作補充，整

26、數(shù)分為正整數(shù),0,負(fù)整數(shù)，以備后面將“有理數(shù)對應(yīng)到直線上”使用為了建立數(shù)軸的概念，本課例提供了兩個知識基礎(chǔ)，其一是日常生活中的“數(shù)軸”實物溫度計；其二是數(shù)學(xué)中非形式化的“數(shù)軸”知識行程路線圖，它們都是通過復(fù)習(xí)有理數(shù)而自然地提出來的，其中例1是參照上節(jié)課例2的結(jié)構(gòu)而設(shè)置的、新添的這些生活實物與數(shù)學(xué)實例的共同特點是：具有數(shù)軸的必要因素與必要形式這主要是指具有第二階段要提煉的幾何結(jié)構(gòu)由于溫度計是等距量表而不是比率量表，沒有絕對的零點，不能乘除（2×3沒有意義），因而只是“必要”的因素而已建立在學(xué)法需要的基礎(chǔ)上，能激發(fā)學(xué)生從中產(chǎn)生問題解決的必要性與啟發(fā)性從溫度計、行程路線圖中提煉出數(shù)軸，具有

27、接受性、障礙性、探究性，這正是問題解決中所要求的問題的基本特征有利于教學(xué)活動的展開與學(xué)習(xí)目標(biāo)的完成(2)第2階段，從教師說“不知大家注意到?jīng)]有”開始，以“引入新課”的形式，提煉出溫度計與行程路線圖的4個共同屬性：用圖線來表示事物的數(shù)量特征；有計算的起點；有表示相反意義的方向；有計算的單位把這些特征逐一落實就形成數(shù)軸的畫法事實上，完全可以將共同特征與幾何圖示并列陳述（見圖2-17）(3)第3階段，從共同屬性中提煉出數(shù)軸的定義，包括課例中的兩塊內(nèi)容，其一是從“同學(xué)們，屏幕上顯示的這4條性質(zhì)”，到寫出本課題的板書之間；其二是教師對“我們用數(shù)軸來表示數(shù)”的兩步陳述前者是從幾何結(jié)構(gòu)的外形上描述數(shù)軸，后者

28、是從兩個無窮集合之間建立對應(yīng)的實質(zhì)來描述數(shù)軸學(xué)習(xí)概念通常要掌握4個要素：名稱、定義、示例、屬性此處概念的名稱是“數(shù)軸”；概念的定義是“規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線”，概念的示例首先有圖2-9的正例，后面還有圖2-13的反例；概念的屬性就是第2階段提煉出來的4條共同屬性，簡單說就是直線、原點、方向、單位(4)第4階段通過例2、例3、小游戲，以及對例1的前后照應(yīng)等來鞏固概念，并體現(xiàn)數(shù)軸的初步使用把數(shù)表示為點，把點表示為數(shù)至于數(shù)軸的應(yīng)用，將是非常廣泛的如：鞏固相反意義的量：原點的兩個對稱點加深對負(fù)數(shù)的理解：原點左邊的點可借助于數(shù)軸學(xué)習(xí)相反數(shù)，學(xué)習(xí)絕對值，比較有理數(shù)的大小，建立有理數(shù)的運算，表示

29、方程或不等式的解集等進(jìn)一步建立坐標(biāo)系，研究函數(shù)，創(chuàng)立解析幾何由這個過程可以提煉出數(shù)軸學(xué)習(xí)的結(jié)構(gòu)圖示（圖2-18）圖2-182.由數(shù)軸的教學(xué)過程到概念教學(xué)的一般過程對應(yīng)著數(shù)軸概念教學(xué)過程的四個階段，可以得出概念學(xué)習(xí)的一般過程（如圖2-17的右邊）(1)第一階段，感性認(rèn)識階段：提供感性材料或具體實例等思維材料，以形成對概念的感性認(rèn)識，通過辨認(rèn)，對其各種屬性加以分化(2）第二階段，分化本質(zhì)屬性階段：從各個不同的角度和側(cè)面去分析比較，舍棄非本質(zhì)屬性，分化出概念的本質(zhì)屬性，形成對概念的理性認(rèn)識(3）第三階段，概括形成定義階段：給概念下定義，明確概念的內(nèi)涵和外延(4)第四階段，應(yīng)用和強化階段：運用概念，使

30、概念具體化，并把概念納人概念系統(tǒng)，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，達(dá)到概念的掌握至于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一般過程，已如圖2-16所示，分成四個段段：輸入相互作用操作階段輸出（二）課例的學(xué)習(xí)觀分析由課例的閱讀和上面對教學(xué)過程的4個階段的分析可以感受到，教師沒有滿足于“從書本上力圖準(zhǔn)確無誤地搬運知識”，而是千方百計地將教學(xué)組織為學(xué)生的學(xué)習(xí)過程教師創(chuàng)設(shè)情景、啟發(fā)思維、組織討論、指導(dǎo)游戲等等，都是為了學(xué)生的學(xué)，為了學(xué)生能在已有知識經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，主動建構(gòu)出新的知識來下面的觀點是鮮明的1學(xué)習(xí)是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的變化在小學(xué)的時候，已有這樣的知識基礎(chǔ)：溫度計、行程路線圖，直線和非負(fù)有理數(shù)進(jìn)人中學(xué)之后非負(fù)有理數(shù)擴充為有理數(shù)（如圖2-19左邊）

31、這時候4個知識（溫度計、行程路線圖、直線、有理數(shù)）是彼此無關(guān)的，特別是在有理數(shù)與直線之間，差異非常顯著數(shù)軸學(xué)習(xí)的過程，就是溝通有理數(shù)與直線的聯(lián)系的過程首先由溫度計、行程路線圖提煉出數(shù)軸的幾何結(jié)構(gòu)，然后建立有理數(shù)與直線上點的對應(yīng)，這就得出數(shù)軸而這個數(shù)軸作為橋梁就把看上去無關(guān)的兩個無窮集合建立起聯(lián)系，一方面數(shù)的性質(zhì)可以直觀地表示在圖形上，另一方面在圖形上又可以形象而具體地研究數(shù)的性質(zhì)（如圖2-19右邊）圖2-19這時候，在原先各自孤立而空曠的畫面上，既增加了內(nèi)容，又增加了聯(lián)系，產(chǎn)生出新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，一方面是知識量的增加，另一方面是結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，表現(xiàn)在三個維度上：(1)在知識維度上，表現(xiàn)為

32、增加了數(shù)軸的知識(2）在技能的維度上，表現(xiàn)為：學(xué)會了畫數(shù)軸；會把數(shù)描到數(shù)軸上；會由數(shù)軸上的點找出相應(yīng)的數(shù)(3)在素質(zhì)的維度上，表現(xiàn)為：經(jīng)歷了一個由觀察到抽象的數(shù)學(xué)活動過程，這是一個數(shù)學(xué)建模的過程，一個問題解決的過程，在這個過程中，積累了數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗；初步體驗了數(shù)形結(jié)合的思想；初步體驗了對應(yīng)的思想在對應(yīng)的觀點之下，有理數(shù)與直線已渾然一體了2.要努力幫助學(xué)生提取出必要的經(jīng)驗和預(yù)備知識本課例沒有直接從溫度計飛躍到數(shù)軸，而是設(shè)計了一個“概念形成”的提煉過程，這是教材留給教師的創(chuàng)造空間，教師也在這個空間中進(jìn)行了創(chuàng)造教師在深入鉆研教材的基礎(chǔ)上，為學(xué)生主動建構(gòu)“數(shù)軸”概念提供了4個必要的認(rèn)識基礎(chǔ)（學(xué)員1已

33、提到過）：(1)現(xiàn)實具體模型：溫度計（還有刻度尺、稱秤、水位標(biāo)桿等）(2）非形式化的“數(shù)軸”知識：行程路線圖(3)有理數(shù)：用復(fù)習(xí)提問的方式呈現(xiàn)(4）直線：作為原始概念已存在于學(xué)生的頭腦中，也在溫度計、行程路線圖中體現(xiàn)著如此清楚地認(rèn)識間題，說明教師是非常清醒的，學(xué)習(xí)觀也是比較新的在這種觀點的指導(dǎo)下，“數(shù)軸的畫法”（師生共同討論）還體現(xiàn)了學(xué)習(xí)是一種組織化了的社會行為3.要善于引起學(xué)生觀念上的不平衡在復(fù)習(xí)引進(jìn)中，提問了“有理數(shù)”、“溫度表示”、“例1行程圖”之后，學(xué)生滿以為這一階段已經(jīng)結(jié)束，殊不知這才是新問題的開始教師關(guān)于分析“溫度計”、“行程路線圖”中共同幾何結(jié)構(gòu)的問題一提出來，就打破了學(xué)生心理中

34、潛在的平衡，引起了認(rèn)知沖突在這背后，還有一個更大的觀念沖突以前，學(xué)生心目中的數(shù)與形是截然不同的兩碼事，當(dāng)教師提出“用數(shù)軸來表示數(shù)”時（直觀上就是把無窮個有理數(shù)放到數(shù)軸上），這無論是對應(yīng)的思想還是對應(yīng)的操作，對學(xué)生的觀念都是一個重大的挑戰(zhàn)通過圖2-9總結(jié)出畫數(shù)軸的4個步驟，也是在學(xué)生得到圖2-9,自認(rèn)“平衡”的時候提出來的由這些沖突可以看到，數(shù)軸學(xué)習(xí)主要是一個“順應(yīng)”的過程知識結(jié)構(gòu)上不僅有量的變化，而且有質(zhì)的優(yōu)化當(dāng)有理數(shù)與直線溝通之后，數(shù)的比較大小、有理數(shù)的運算、方程或不等式解集的表示，進(jìn)一步建立坐標(biāo)系，創(chuàng)建解析幾何等都有了直觀、先進(jìn)的物質(zhì)基礎(chǔ)當(dāng)然，在數(shù)軸上還留下了一些“空”，隱含著引進(jìn)新數(shù)的必

35、要性（無理數(shù)）（三）從常規(guī)教學(xué)的角度分析優(yōu)點、缺點1優(yōu)點表現(xiàn)在3個方面(1)教學(xué)過程完整，突出學(xué)習(xí)過程教的方面有完整的過程：復(fù)習(xí)提問引入新課學(xué)習(xí)新課課堂練習(xí)課堂小結(jié)課后作業(yè)這些環(huán)節(jié)不是平均用力的，重點放在幫助學(xué)生構(gòu)建新知識的相應(yīng)環(huán)節(jié)上學(xué)的方面有概念學(xué)習(xí)的完整的4個階段（如圖2-17），即從實例出發(fā)，以學(xué)生原有的知識經(jīng)驗為基礎(chǔ)，讓學(xué)生主動建構(gòu)出新知識來這遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律從認(rèn)識論上看，由生活實例中提煉出數(shù)學(xué)模式，再應(yīng)用于數(shù)學(xué)或?qū)嶋H生活，這個過程也是完整的，而不僅僅是“燒中段”(2)教學(xué)內(nèi)容熟悉，教學(xué)目的明確教學(xué)性質(zhì)清楚認(rèn)定為概念教學(xué)，采用了“概念形成”的方式基本內(nèi)容清楚學(xué)生原有哪些知識？這節(jié)課

36、要建立什么新知識？它們之間有什么關(guān)系？還要補充什么必要的基礎(chǔ)？等等，教師是一清二楚的，因而能從容不迫地發(fā)揮出深謀遠(yuǎn)慮的設(shè)計者、組織者、參與者的作用（參見圖2-17，圖2-19），并用兩句話作了精練的總結(jié)重點、難點清楚如同教師在最后總結(jié)中所說的，重點是掌握數(shù)軸的概念及畫法，難點是體現(xiàn)在素質(zhì)維度上的兩方面內(nèi)容：其一是從生活原型中提煉出“數(shù)軸”的幾何結(jié)構(gòu)；其二是把無窮個有理數(shù)對應(yīng)到數(shù)軸上思想方法清楚課例不僅對知識、技能及其脈絡(luò)很清楚，而且對思想方法的滲透也很清楚，其著力滲透的有“感知、表象、抽象”的思維方法，有數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，有對應(yīng)的數(shù)學(xué)思想(3)教學(xué)組織靈活，課堂氣氛活躍對教材進(jìn)行了靈活的組織，表現(xiàn)在：1）參照上節(jié)課例2的結(jié)構(gòu)編擬了個本課的例1，充實了學(xué)生建構(gòu)數(shù)軸的認(rèn)知基礎(chǔ)，并在得出數(shù)軸之后，再一次與例1前后照應(yīng)，處理得很必要也很藝術(shù)，討論中大家提出給圖2-8加刻度，是有好處的，2)把“畫數(shù)軸”從課堂練習(xí)移到了正課來講，但不是作為純技能的訓(xùn)