矩陣相似的性質

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1 矩陣的相似1.1 定義 1.2性質 1.3定理（證明） 1.4 相似矩陣與若爾當標準形 2 相似的條件3 相似矩陣的應用（相似矩陣與特征矩陣 相似矩陣與矩陣的對角化 相似矩陣在微分方程中的應用 【1 】） 矩陣的相似及其應用1.1 矩陣的相似定義1.1：設為數(shù)域上兩個級矩陣，如果可以找到數(shù)域上的級可逆矩陣，使得，就說相似于記作1.2 相似的性質（1）反身性：；這是因為.（2）對稱性：如果，那么；如果,那么有，使，令，就有，所以。（3）傳遞性：如果，那么。已知有使，。令，就有，因此，。1.3 相似矩陣的性質若，則：（1）；引理：是一個矩陣，如果是一個可逆矩陣，是可逆

2、矩陣，那么秩（）=秩（）=秩（）證明：設相似，即存在數(shù)域上的可逆矩陣，使得,由引理2可知，秩（）=秩（）=秩（）=秩（）（2）設相似于，是任意多項式，則相似于，即證明：設 于是， 由于相似于，則相似與，（為任意正整數(shù)），即存在可逆矩陣,使得，因此 所以相似于。（3）相似矩陣有相同的行列式，即；證明：設相似，即存在數(shù)域上的可逆矩陣，使得，兩邊取行列式得：，從而相似矩陣有相同的行列式。又由性質（2）知，有相同的特征多項式，因而有相同的特征值，而的跡，的跡，從而，即相似矩陣有相同的跡（4）與有相同的標準形；（5）相似矩陣同時可逆或同時不可逆。證明：設相似，由性質2可知，若可逆，即，從而，故可逆；若不

3、可逆，即，從而,故不可逆。（6）若與相似，相似，則相似。證明：與相似，即存在可逆矩陣,使得,相似，即存在可逆矩陣,使得，由于 顯然是可逆矩陣。由此可見，則相似。定理1.1：線性變換在不同基下所對應的矩陣是相似的；反過來，如果兩個矩陣相似，那么它們可以看作同一個線性變換在兩組基下所對應的矩陣。證明：先證前一部分。設線性空間中線性變換 在兩組基： （1） （2）下的矩陣分別為和,從基到基的過渡矩陣為，則：， 于是 由此可得 現(xiàn)在證后一部分。設級矩陣和相似，那么它們可以看作是維線性空間中一個線性變換 在基下的矩陣。因為，令：,顯然， 也是一組基，在這組基下的矩陣就是。例一：證明與相似，其中是的一個排

4、列。證明：設：，則，因為和是線性變換在不同基下的矩陣，故它們相似。定理2.1：設是數(shù)域上的兩個級矩陣，與相似的充要條件是它們的特征矩陣和等價。例一：設是實數(shù)，,證明與相似。證明：故和等價，從而3，矩陣相似的應用3.1相似矩陣與特征矩陣定義3.1.1：把矩陣（或線性變換 ）的每個次數(shù)大于零的不變因子分解成互相同的一次因式方冪的乘積，所有這些一次因式方冪（相同的必須按出現(xiàn)的次數(shù)計算）稱為矩陣（或線性變換 ）的初等因子。定理3.1.1：數(shù)域上的方陣相似的充要條件是和有相同的列式因子。定理3.1.2：兩個同級復數(shù)矩陣相似充要條件是它們有相同的初等因子。例1：證明：任何方陣與其轉置方陣 相似。證明：因為

5、與 互為轉置矩陣，它們對應階子式互為轉置行列式，故相等。從而兩者有完全相同的各階行列式因子，于是兩者有完全相同的不變因子。故與 等價，從而與 相似。例2：證明：相似方陣有相同的最小的多項式。證法一：設相似，即可存在可逆矩陣，使，又設的最小多項式分別為，于是：,但是，的最小多項式整除任何以為根的多項式，故證法二：設相似，則和等價，從而有完全相同的不變因子，但最后一個不變因子就是最小多項式，故有相同的最小的多項式。4 相似矩陣與矩陣的對角化 矩陣的對角化問題的解法及其應用都有其明顯特色，因而線性代數(shù)中通常被單獨處理，盡管矩陣相似是完全獨立的另一概念，但是卻與對角化問題有重要的關聯(lián)。定義3.1.2：

6、數(shù)域上方陣，如果與一個上的對角方陣相似，則稱在上可對角化。定理3.2.3：復數(shù)矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是的初等因子全是一次的。定理3.2.4：復數(shù)矩陣與對角陣相似的充分必要條件是的不變因子都沒有重根。定理3.2.5：復數(shù)域上方陣與一個對角矩陣相似的充分必要條件是的最小多項式沒有重根。定理3.2.6：設是階方陣，則以下條件是等價的：（1）相似于對角矩陣；（2）屬于的不同特征值的特征向量線性無關；（3）有個線性無關的特征向量；（4）的每一特征值的代數(shù)重數(shù)都等于它的幾何重數(shù)。例4：設復矩陣的最小多項式，證明：與對角陣相似。證明： ，即的最小多項式無重根，所以的初等因子都是一次的，所以相似于對

7、角陣。例5：設為階方陣， 是的特征多項式，并令：，證明：與一個對角矩陣相似的充分必要條件是。證明：設，其中 互不相等，且，則：。如果與一個對角矩陣相似，則的初等因子都是一次的，其中全部不同的初等因子是 ，它們的乘積就是最后一個不變因子，亦即。但 就 是的 最 小 多 項 式 ， 所 以。反之，若，則的最小多項式整除，因而沒有重根，故與對角矩陣相似。例7：設 ，試證明：（1）在復數(shù)域上可對角化；（2）在有理數(shù)域上不可對角化。證明： ,用輾轉相除法可證得，故在復數(shù)域上相似于對角矩陣。（2）若在有理數(shù)域上可對角化，那么的特征值必須都是有理數(shù)，從而有有理根，而的首項系數(shù)為1，從而的有理根必為整數(shù)根。由于的常數(shù)項為-8，如果有整數(shù)根必為，用綜合除法驗算它們都不是的根，因此無有理根，從而得證在有理數(shù)域上不可對角化。注：兩個