高考數學二輪復習專題講座——解析幾何修改

1、解析幾何二輪復習思考一、考試說明與教學要求回顧1直線與圓內容要求ABC16平面解析幾何初步直線的斜率和傾斜角直線方程直線的平行關系與垂直關系兩條直線的交點兩點間的距離，點到直線的距離圓的標準方程與一般方程直線與圓、圓與圓的位置關系空間直角坐標系線性規(guī)劃（1）理解直線的斜率和傾斜角的概念；掌握過兩點的直線斜率的計算公式；了解直線的傾斜角的范圍；理解直線的斜率和傾斜角之間的關系，能根據直線的傾斜角求出直線的斜率（2）掌握直線方程的幾種形式（點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式）的特點與適用范圍；能根據問題的具體條件選擇恰當的形式求直線的方程；了解直線方程的斜截式與一次函數的關系（3）能根據斜率判

2、定兩條直線平行或垂直（4）了解二元一次方程組的解與兩直線的交點坐標之間的關系，體會數形結合思想；能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標（5）掌握兩點間的距離公式和點到直線的距離公式及其簡單應用；會求兩條平行直線間的距離（6）掌握圓的標準方程與一般方程，能根據問題的條件選擇恰當的形式求圓的方程；理解圓的標準方程與一般方程之間的關系，會進行互化（7）能根據直線與圓的方程判斷其位置關系（相交、相切、相離）；能根據圓的方程判斷圓與圓的位置關系（外離、外切、相交、內切、內含）能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題（8）了解空間直角坐標系；會用空間直角坐標系刻畫點的位置了解空間中兩點間的距離公式，并會簡單應用

3、（9）能從實際情境中抽象出二元一次不等式組；了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組；能從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決2圓錐曲線（必）內容要求ABC17圓錐曲線與方程中心在坐標原點的橢圓的標準方程和幾何性質中心在坐標原點的雙曲線的標準方程和幾何性質頂點在坐標原點拋物線的標準方程和幾何性質（1）掌握橢圓的標準方程，會求橢圓的標準方程；掌握橢圓的簡單幾何性質，能運用橢圓的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題；了解運用曲線的方程研究曲線的幾何性質的思想方法（2）了解雙曲線的標準方程，會求雙曲線的標準方程；了解雙曲線的簡單幾何性質（3）了解拋物線的

4、標準方程，會求拋物線的標準方程；了解拋物線的簡單幾何性質3圓錐曲線（加）內容要求ABC1圓錐曲線與方程曲線與方程頂點在坐標原點的拋物線的標準方程和幾何性質（1）了解曲線與方程的對應關系；了解求曲線方程的一般步驟，能求一些簡單曲線的方程；掌握求直線與圓錐曲線的交點坐標的方法；進一步體會數形結合的思想方法（2）掌握拋物線的標準方程，會求拋物線的標準方程；掌握拋物線的簡單性質，會用拋物線的標準方程和幾何性質處理一些簡單的實際問題4坐標系與參數方程內容要求ABC9坐標系與參數方程坐標系的有關概念簡單圖形的極坐標方程極坐標方程與直角坐標方程的互化參數方程直線、圓及橢圓的參數方程參數方程與普通方程的互化參

5、數方程的簡單應用（1）了解極坐標系；會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置；會進行極坐標和直角坐標的互化（2）了解曲線的極坐標方程的求法；了解簡單圖形（過極點的直線、過極點的圓、圓心在極點的圓）的極坐標方程（3）會進行曲線的極坐標方程與直角坐標方程的互化（4）理解直線的參數方程及其應用；理解圓和橢圓（橢圓的中心在原點）的參數方程及其簡單應用（5）會進行曲線的參數方程與普通方程的互化二、近三年高考題中考點分布情況對近三年的全國各省市的高考題按題目中出現的考點分類統(tǒng)計如下，其中數字表示該考點在30多份試卷中出現的次數內容考查點06070816平面解析幾何初步理文理文理文1直線的斜率和傾斜角2112直線

6、方程1122223直線的平行關系與垂直關系1212164兩條直線的交點15兩點間的距離，點到直線的距離311216圓的標準方程與一般方程24711257直線與圓、圓與圓的位置關系128777118空間直角坐標系9線性規(guī)劃13121111131317圓錐曲線與方程1中心在坐標原點的橢圓的標準方程和幾何性質1614141614132中心在坐標原點的雙曲線的標準方程和幾何性質1316161312153頂點在坐標原點拋物線的標準方程和幾何性質9913131471圓錐曲線與方程1曲線與方程8534312頂點在坐標原點的拋物線的標準方程和幾何性質9坐標系與參數方程1坐標系的有關概念12簡單圖形的極坐標方程

7、1113極坐標方程與直角坐標方程的互化21114參數方程245直線、圓及橢圓的參數方程16參數方程與普通方程的互化7參數方程的簡單應用從上面可以看出，圓錐曲線考查的最多，其中排列順序為橢圓、雙曲線、拋物線，而與求軌跡有關問題都劃為曲線與方程直線與圓考查內容次之，其中排列順序為線性規(guī)劃、直線與圓的位置關系、圓的標準方程與一般方程而其余內容常以某題中的一個點出現，單獨考查的很少三、二輪復習建議按照問題類型設計專題，把相同問題、相同方法的內容歸到一起講，強化重點知識，突出思維訓練如選用如下專題：（一）求方程問題1回憶直線的點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式方程，圓的標準方程、一般方程，橢圓、雙曲

8、線、拋物線的標準方程，分析各自的基本量個數及相應的幾何意義2總結求方程的基本方法，直接法與待定系數法在用直接法求方程時，要注意條件的轉化方向和手段，在用待定系數法求方程時，要注意方程形式的選擇標準和一些常用的設方程的技巧例1已知直線l經過點P(1，1)，它被兩平行直線l1：x2y1=0及l(fā)2：x2y3=0所截得的線段M1M2的中點M在直線l3：xy1=0上，試求直線l的方程解法一：（1）當直線l斜率不存在時，直線l的方程是x1，與直線l1，l2的交點分別為M1(1，1)，M2(1，2)線段M1M2的中點(1，)不在直線l3上，不合（2）當直線l斜率存在時，設直線l的方程為y1k(x1)，分別與

9、l1，l2聯列解得M1(1，1)，M2(，），線段M1M2的中點為M(，），因為M在直線l3上，代入得，k代入得直線l的方程為2x7y50解法二：因為被兩平行直線l1，l2所截線段M1M2的中點在與l1，l2平行且與l1，l2等距離的直線上，而與l1，l2平行且與l1，l2等距離的直線方程為x2y20，又由已知線段M1M2的中點M在直線l3：xy1=0上，所以由方程組解得線段M1M2中點M的坐標為(，)從而直線l經過點P(1，1)和M(，)，代入兩點式得直線l的方程為2x7y50解法三：設直線l的參數方程為其中t為參數，代入直線l1的方程得M1對應參數t10，代入直線l2的方程得M2對應參數t

10、2，所以線段M1M2中點M對應參數t0(t1t2)，所以M點的坐標為(，)，代入直線l3得，1，7sina2cosa，直線l的斜率k代入得直線l的方程為2x7y50例2已知點A(2，2)，B(3，1)，C(5，3)，求ABC內切圓的方程.yABCx5O3221I解：代入兩點式得三邊的方程分別是AB：3xy80，BC：2xy70，CA：x3y40設ABC的內心坐標為I(a，b)，則由I到三邊的距離相等得，根據I的位置和線性規(guī)劃知識，可以去絕對值得，化簡得解得a62，b半徑r所以內切圓的方程為(x62)2(y)2()2例3已知橢圓的中心在原點，焦點在坐標軸上，長軸長與短軸長的比為，且過點(，)，則

11、該橢圓的方程是_解：根據條件可知橢圓為標準方程（1）當焦點在x軸上時，設橢圓的方程為1(ab0)由條件得解得所求的橢圓方程為1（2）當焦點在y軸上時，設橢圓的方程為1(ab0) 由條件得解得所求的橢圓方程為13理科復習時，還要注意求軌跡常用方法的復習，以直接法為主，強化曲線與方程的對應關系，掌握求曲線方程的一般步驟簡單的相關點法、參數法也可提一下，有利于拓展思考問題的思路ABDPO例4如圖，在以點O為圓心，AB4為直徑的半圓ADB中，ODAB，P是半圓弧上一點，POB60，曲線C是滿足MAMB為定值的動點M的軌跡，且曲線C過點P求曲線C的方程解：如圖建立平面直角坐標系，因為曲線C過點P，所以M

12、AMB為定值就是PAPB，根據條件求得PAPB2(1)，所以MAMB2(1)AB根據橢圓定義可知，點M的軌跡是以A，B為焦點，且長軸長為2(1)ABDPOxy的橢圓，在所建的坐標系中，方程形式為1(ab0)根據條件得a1，c2，b2a2c212，所以曲線C的方程為1（二）求幾何量問題1直線的幾何量主要是斜率、傾斜角、截距，圓的幾何量主要是圓心、半徑，這些量主要通過兩直線的平行與垂直、線性規(guī)劃、直線與圓的位置關系等進行綜合，作為題中的一個點出現2圓錐曲線的幾何量主要包括軸、軸長、頂點、焦距、焦點、準線、漸近線、離心率在已知方程求有關量時，首先是把方程化為標準方程，找準a，b，c，p的值，二是記準

13、相應量的計算公式在已知圖形中求有關量時，要明確各個量的幾何意義和圖形中的特征求方程或不等式求幾何量例5直線l：xym0與圓C：x2y22x20相切，則直線l在x軸上的截距_解：因為C方程可化為(x1)2y2()2，所以圓心C(1，0)，半徑r，因為直線l與圓C相切，直線C到l的距離等于r，即，解得m3或當m時，直線l方程為xy0，在x軸上的截距為1；當m3，直線l方程為xy30，在x軸上的截距為3例6(08天津理5）設橢圓1(m1)上一點P到其左焦點的距離為3，到右焦點的距離為1，則P到右準線的距離為_解：根據橢圓定義得2a13，a2，即m2，b，c1，e，根據第二定義得P到右準線距離為2xy

14、F2OF1BA例7（07安徽理11）如圖，F1和F2分別是雙曲線1(a0，b0)的兩個焦點，A和B是以O為圓心，以|OF1|為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個交點，且F2AB是等邊三角形，則雙曲線的離心率為_解法一：不妨設OF21，因為OF1OF2OA，所以AF1F2為直角三角形所以AF11所以2aAF2AF11,又2c2，所以e1解法二：連接OA，由ABF2為等邊三角形，可得A點的坐標為(c，c)因為A在雙曲線上，所以1，即e21，去分母整理得e48e240，解得e242，e1因為e1，所以e1xyOFKAHl例8（08四川卷12）已知拋物線C：y28x的焦點為F，準線與x軸的交點為K，點A在C

15、上且AKAF，則AFK的面積為_解：如圖，過A作AHl，垂足為H，由拋物線的定義可知，AFAH，又AKAF，所以AKAH，因為AHK90，所以AKH45，所以KHAHyA所以AFyA即AFx軸所以AFFK4，SAFK8（三）幾類典型問題1求值問題：基本解題思路是找方程，通過解方程得出要求的值在解析幾何中，過點、距離、平行、垂直、相切等一般都可以轉化為方程例9已知C1：x2y26x12y190和C2：x2y26x4yk0相切，則k的值是_解：因為C1：(x3)2(y6)264，C2：(x3)2(y2)213k，所以C1(3，6)，r18，C2(3，2)，r2當C1與C2外切時，810，解得k9；

16、當C1與C2內切時，8|10，解得k311所以k9或k3112最值問題：解決最值問題主要通過兩類方法，一是代數法，合理選擇變量，把求最值的量表示為所選量的函數，利用研究函數、方程、不等式的方法求最值二幾何法，根據圖形特征，利用幾何不等式，求出最值一般在小題中可能用幾何法簡單方便，易得結果，但過程可能不完整，在大題中應用代數法，過程規(guī)范完整，易抓住得分點DFByxAOE例10（08全國二21）設橢圓中心在坐標原點，A(2，0)，B(0，1)是它的兩個頂點，直線ykx(k0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點（1）若6，求k的值；（2）求四邊形AEBF面積的最大值解：（1）依題設得橢圓的方程

17、為y21，直線AB，EF的方程分別為x2y2，ykx(k0)如圖，設D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2且x1，x2滿足方程(14k2)x24，故x2x1由6知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x0)x2，由D在AB上知x02kx02，得x0所以，化簡得24k225k60，解得k或k（2）解法一：根據點到直線的距離公式和式知，點E，F到AB的距離分別為h1，h2又AB，所以四邊形AEBF的面積為SAB(h1h2)22當2k1，即當k時，上式取等號所以S的最大值為2解法二：由題設，|BO|1，|AO|2設F(2cosq，sinq)，q(0，)，則E(2co

18、sq，sinq)，故四邊形AEBF的面積為SSBEFSAEFBO2cosq(2cosq)AOsinq(sinq)2cosq2sinq2sin(q)，當q時，S有最大值23定值問題：解決定值問題主要通過兩類方法，一是通過特殊位置得出定值，然后通過證明在一般位置也成立二是通過把所要證明為定值的量表示為另外一個或兩個引起變化的量的函數或方程，然后通過化簡變形，證明結果與引起變化的量無關例11已知圓C的方程為x2y26x2y50，過點P(2，0)的動直線l與圓C交于P1，P2兩點，過點P1，P2分別作圓C的切線l1，l2，設l1與l2交于為M，求證：點M在一條定直線上，并求出這條定直線的方程解法一：因

19、為C：(x3)2(y1)25，所以圓心C為(3，1)設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，M(x0，y0)，因為P1MCP1，所以0所以(x1x0)(x13)(y1y0)(y11)0，即(x13)2(3x0)(x13)(y11)2(1y0)(y11)0，因為(x13)2(y11)25，所以(x03)(x13)(y01)(y11)5，同理(x03)(x23)(y01)(y21)5所以過點P1，P2的直線方程為(x3)(x03)(y1)(y01)5因直線P1P2過點(2，0)所以代入得(23)(x03)(01)(y01)5，即x0y010所以點M恒在直線xy10上解法二：設M(x0，y0)，則

20、以MC為直徑的圓C1的方程為(xx0)(x3)(yy0)(y1)0，即x2y2(x03)x(y01)y3x0y00，由平面幾何知識可得，過M作C的兩條切線的切點分別為P1，P2，直線P1P2的方程即為C與C1公共弦所在直線方程，從而由C與C1方程相減得直線P1P2的方程為（x03)x(y01)y53x0y00，因為直線P1P2過點P(2，0)，代入得x0y010，即點M恒在直線xy10上4范圍問題：主要通過尋找所求量的不等式或不等式組，然后解不等式或不等式組得到范圍或通過構造所求量的函數，然后研究此函數的定義域或值域等求出范圍例12已知F1，F2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，P為雙

21、曲線左支上的任意一點，若的最小值為8a，求雙曲線離心率e的取值范圍解：因為點P在雙曲線左支上，所以PF2PF12a，即PF22aPF1所以PF14a8a，當且僅當PF12a時取等號因此的最小值為8a，當且僅當PF12a因為PFca，因此PF12a，當且僅當2aca，所以3ac，即e3，又因為e1，所以e的范圍為(1，3（四）數學思想方法問題1運動變化的思想例13滿足條件AB2，ACBC的三角形ABC的面積的最大值是_解法一：條件化為c2，bacosC，sinC，SABC2解法二：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，設C(x，y)，因為A(1，0)，B(1，0)，代入化簡得(x3)2y2(2)2，所以C到AB的最大距離為2，SABC的最大面積為22從特殊到一般的思想例14（08浙江理科卷17）若a0，b0，且當時，恒有axby1，則以a，b為坐標點P(a，b)所形成的平面區(qū)域的面積等于_解：(a，b)滿足的條件為其中(xy)為表示的區(qū)域內任意一點（1）當(x，y)取(0，0)時，區(qū)域為：abO11abO1abO1abO（2）當(x，y)取(1，0)時，區(qū)域為：（3）當(x，y)取(0，1)時，區(qū)域為這三個區(qū)域的公共部分為對于上面區(qū)域