數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

1、數(shù)學(xué)思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透 石柱師范附小 陳世林?jǐn)?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓，在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)學(xué)思想方法，能提高教學(xué)效果，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)有兩條線，一條是明線即數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，一條是暗線即數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。對(duì)于學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的過(guò)程就是感性認(rèn)識(shí)不斷積累的過(guò)程，當(dāng)這種積累達(dá)到一定程度就會(huì)產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學(xué)思想，一旦數(shù)學(xué)思想形成之后，便對(duì)數(shù)學(xué)方法起著指導(dǎo)作用。因此，人們通常將數(shù)學(xué)思想與方法看成一個(gè)整體概念數(shù)學(xué)思想方法。一 、什么是數(shù)學(xué)思想方法（可從兩方面認(rèn)識(shí)）1、數(shù)學(xué)思想日本著名數(shù)學(xué)教育家米山國(guó)藏說(shuō)過(guò)：“學(xué)生們所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)，在進(jìn)入社會(huì)后，幾乎沒(méi)有什么機(jī)會(huì)

2、應(yīng)用，因而這種作為知識(shí)的數(shù)學(xué)，通常在出校門(mén)后不到一兩年就忘掉了然而不管他們從事什么職業(yè)，那種銘刻于頭腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，卻長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮著作用，使他們受益終身”。數(shù)學(xué)思想對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和所使用的方法的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)。中小學(xué)數(shù)學(xué)教育、教學(xué)中傳授的數(shù)學(xué)思想，應(yīng)該都是基本數(shù)學(xué)思想?；緮?shù)學(xué)思想：指從某些具體數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉出的一些觀點(diǎn)，它在后繼認(rèn)識(shí)中被反復(fù)證實(shí)其正確性，帶有一般意義和相對(duì)穩(wěn)定的特征。包括符號(hào)化思想、分類思想、集合思想、對(duì)應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想，函數(shù)與方程思想，極限思想等。 2、數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想指導(dǎo)下的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題過(guò)程中所運(yùn)用

3、的具體手段（或途徑）。具體點(diǎn)說(shuō)是以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具進(jìn)行科學(xué)研究的方法。數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法既有區(qū)別又有密切的聯(lián)系。差異性：數(shù)學(xué)思想具有概括性和普遍性，而數(shù)學(xué)方法則具有操作性和具體性。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)方法實(shí)施的依據(jù)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想得以實(shí)現(xiàn)的手段。同一性：表現(xiàn)在“數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法同屬方法論的范疇”它們有時(shí)是等同的。人們一般將數(shù)學(xué)思想與數(shù)學(xué)方法統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)思想方法。二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透哪些基本數(shù)學(xué)思想方法。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中數(shù)學(xué)思想方法很多，每一種數(shù)學(xué)思想方法都閃爍著人類智慧的火花。但小學(xué)生的年齡特點(diǎn)決定有些數(shù)學(xué)思想方法他們不易接受，而且要想把那么多的數(shù)學(xué)思想方法都滲透給學(xué)生也不現(xiàn)實(shí)。因此，應(yīng)該有選擇地

4、滲透一些數(shù)學(xué)思想方法。（一）符號(hào)化思想西方較早地在數(shù)學(xué)研究中引進(jìn)了符號(hào)，十六世紀(jì)數(shù)學(xué)家韋達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)作了很多改進(jìn)，并且第一個(gè)有意識(shí)地系統(tǒng)地用字母表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來(lái)了代數(shù)研究的重大拓展，奠定了符號(hào)代數(shù)的基礎(chǔ)，后來(lái)大數(shù)學(xué)家笛卡兒對(duì)韋達(dá)使用的字母又作了改進(jìn)。什么是符號(hào)化思想呢？用符號(hào)化的語(yǔ)言（包括字母、數(shù)字、圖形和各種特定的符號(hào)）來(lái)描述數(shù)學(xué)的內(nèi)容，這就是符號(hào)化思想。1、符號(hào)化思想的含義人們有意識(shí)地、普遍地運(yùn)用符號(hào)去概括、表述、研究數(shù)學(xué)；研究符號(hào)能夠生存的條件，即反復(fù)選擇用怎樣的符號(hào)才能簡(jiǎn)潔、準(zhǔn)確地反映數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，有利于數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和發(fā)展，且方便于打字、印刷等等；數(shù)學(xué)符號(hào)經(jīng)過(guò)人工篩選與

5、改造，形成一種約定的、規(guī)范的、形式化的系統(tǒng)。運(yùn)用一套合適的符號(hào)，可以清晰、準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地表達(dá)數(shù)學(xué)思想、概念、方法和法則，避免日常語(yǔ)言的繁復(fù)、冗長(zhǎng)或含混不清，從而簡(jiǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算或推理過(guò)程，加快數(shù)學(xué)思維的速度，促進(jìn)數(shù)學(xué)思想的交流。如乘法分配律(ab)×ca×cb×c。這就把復(fù)雜的語(yǔ)言文字?jǐn)⑹鲇煤?jiǎn)潔明了的字母公式表示出來(lái)，便于記憶、便于運(yùn)用。正如華羅庚所說(shuō)的“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是抽象，正因?yàn)槿绱?，用符?hào)表示就更具有廣泛的應(yīng)用性與優(yōu)越性。”2小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的數(shù)學(xué)符號(hào)l 元素符號(hào)：表示數(shù)和幾何圖形的符號(hào)。如：阿拉伯?dāng)?shù)字；表示數(shù)的字母，表示常數(shù)的字母；“”表示角，“”表示三角形等。l 運(yùn)

6、算符號(hào)：如：、 ×、÷。l 關(guān)系符號(hào)：表示數(shù)、式、圖形或集合之間的關(guān)系的符號(hào)稱為關(guān)系符號(hào)。 如： =, , >, <等。l 性質(zhì)符號(hào)：表示數(shù)或形的性質(zhì)符號(hào)。如：正號(hào)“”負(fù)號(hào)“”。l 結(jié)合符號(hào)：如：( ) 等。3符號(hào)化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的體現(xiàn)。 l 在概念的形成過(guò)程中，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)符號(hào)對(duì)概念本質(zhì)反映的特點(diǎn)。l 在表示一些關(guān)系式時(shí)，滲透符號(hào)抽象、簡(jiǎn)明、易記的特點(diǎn)。a+b=b+a S=abl 教學(xué)用字母表示數(shù)，體現(xiàn)代數(shù)式的特點(diǎn)a÷2、5 (b+c)、m、-44在教學(xué)中滲透符號(hào)化思想。 從概念的本質(zhì)揭示符號(hào)的意義。 10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)。負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)。 適當(dāng)介紹符號(hào)

7、的形成過(guò)程。 采取適宜方式，幫助學(xué)生理解用代數(shù)式表示數(shù)量關(guān)系的概括性。（二） 方程思想1. 什么是方程思想？在解決問(wèn)題時(shí)，將已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)適當(dāng)設(shè)元建立方程，然后求解使問(wèn)題得到解決的思維方式。方程思想是解決問(wèn)題的重要思想方法2. 算術(shù)思維與方程思維的特點(diǎn)。算術(shù)思維 未知量、已知量地位不同。 思考過(guò)程往往是逆向的。 方程思維 未知量、已知量地位同等，便于分析數(shù)量關(guān)系。 具有形式化、一般化的特點(diǎn)。 思考過(guò)程往往是順向的。3.克服方程思維學(xué)習(xí)的障礙。(1)適當(dāng)加強(qiáng)文字語(yǔ)言與代數(shù)式“互譯”的訓(xùn)練。a列代數(shù)式。b說(shuō)出代數(shù)式表示的具體含義。c設(shè)定字母，列代數(shù)式。(2)采用多種方法引導(dǎo)學(xué)生

8、找出等量關(guān)系。a直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系。b半獨(dú)立寫(xiě)等量關(guān)系。c設(shè)定未知量，列方程。（三）化歸思想1. 什么是化歸思想？將待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為另一個(gè)已解決或較易解決的問(wèn)題的方法?；瘹w思想是數(shù)學(xué)家最擅長(zhǎng)的思想方法?；瘹w是數(shù)學(xué)中最普遍使用的一種思想方法。它的核心是以可變的觀點(diǎn)對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變形，就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行直接進(jìn)攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術(shù)，通過(guò)變形把要解決的問(wèn)題，化歸為某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題，從而求得原問(wèn)題的解決。其基本思想是：將待解決的問(wèn)題甲，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問(wèn)題乙，然后通過(guò)乙問(wèn)題的解答返回去求得原問(wèn)題甲的解答。這種化歸思想不

9、同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”、“轉(zhuǎn)換”，它具有不可逆轉(zhuǎn)的單向性。它的基本形式有：化難為易，化生為熟，化繁為簡(jiǎn)，化整為零，化曲為直等。在小學(xué)數(shù)學(xué)中蘊(yùn)藏著各種可運(yùn)用化歸的方法進(jìn)行解答的內(nèi)容，讓學(xué)生初步學(xué)會(huì)化歸的思想方法。2. 化歸思想常用的幾種方法。（1） 分割法：把要解決的問(wèn)題分成若干個(gè)小問(wèn)題，然后逐一求解，達(dá)到整個(gè)問(wèn)題解決的方法。（2）變形法：對(duì)不易直接解決的問(wèn)題，加以適當(dāng)變形，實(shí)現(xiàn)由難到易的化歸，達(dá)到問(wèn)題解決。（3）映射法：是指在兩類數(shù)學(xué)對(duì)象或兩個(gè)數(shù)學(xué)集合的元素之間建立某種“對(duì)應(yīng)關(guān)系”，通過(guò)映射將原來(lái)的問(wèn)題化歸為新問(wèn)題，在解決新問(wèn)題的同時(shí)，原問(wèn)題也得以解決。3. 在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透化歸思想。&#

10、216; 明確滲透化歸思想的教材因素。 Ø 數(shù)與代數(shù)Ø 幾何圖形面積公式的推導(dǎo)注意在教學(xué)中滲透化歸思想。 注意應(yīng)用化歸思想解決教學(xué)中的問(wèn)題。如：教學(xué)圓面積的計(jì)算方法，這里要推導(dǎo)出圓面積公式，在推導(dǎo)過(guò)程中，采用把圓分成若干等份，然后拼成一個(gè)近似長(zhǎng)方形，從而推導(dǎo)出圓的面積公式。這里把圓剪拼成近似長(zhǎng)方形的過(guò)程，就是把曲線形化歸為直線形的過(guò)程。再如平面圖形面積的計(jì)算都是利用的化歸思想來(lái)解決問(wèn)題的。（四）分類思想分類是根據(jù)教學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的異同按某種標(biāo)準(zhǔn)，將其劃分為不同種類，即根據(jù)教學(xué)對(duì)象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類進(jìn)行分析研究。分類是數(shù)學(xué)

11、發(fā)現(xiàn)的重要手段，在教學(xué)中，如果對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類，就可以使大量紛繁的知識(shí)具有條理性。1、滲透分類思想，培養(yǎng)分類的意識(shí) 每個(gè)學(xué)生在日常中都具有一定的分類知識(shí)，如人群的分類、書(shū)籍的分類等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的分類遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)分類思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如在五年級(jí)“方程的意義”教學(xué)中，學(xué)生對(duì)方程意義的理解就是通過(guò)式的二次分類建構(gòu)對(duì)“相等關(guān)系” 、“含有未知數(shù)”的理解，從而把握方程的特質(zhì)的。 教學(xué)時(shí)首先出示各種各樣的“式”，按照式子中有無(wú)等號(hào)可分為：有等號(hào)的式子和不含有等號(hào)的式子；按照式子中是否含有未知數(shù)又可分為：含有未知數(shù)和不含有

12、未知數(shù)的等式。進(jìn)一步分別對(duì)每種情況中的第一類進(jìn)行觀察，將他們分類，該如何進(jìn)行？將有等號(hào)的式子按照式子中是否含有未知數(shù)，分成兩類：含有未知數(shù)的式子和不含有未知數(shù)的式子。將含有未知數(shù)的式子按照式子中是否有等號(hào)，分成兩類：有等號(hào)的式子和沒(méi)有等號(hào)的式子。此時(shí)，滿足方程的二要素便很清楚了：含有未知數(shù)、等式。 又如，數(shù)的整除中對(duì)自然數(shù)的分類：按自然數(shù)能否被2整除可分為奇數(shù)和偶數(shù)；根據(jù)自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)又可分為質(zhì)數(shù)、1和合數(shù)；而這正是本階段需要學(xué)生掌握的重點(diǎn)之一。通過(guò)分類，建構(gòu)了知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，又突出了學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。 結(jié)合式的分類、數(shù)的分類等教學(xué)內(nèi)容，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)分類思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的分類的意識(shí)

13、。并能在分類的時(shí)候注意一些基本原則，如分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，如若不然，對(duì)象混雜，標(biāo)準(zhǔn)不一，就會(huì)出現(xiàn)遺漏、重復(fù)等錯(cuò)誤。如把自然數(shù)分為：合數(shù)、零和奇數(shù)，就是犯分類標(biāo)準(zhǔn)不一的錯(cuò)誤。在確定對(duì)象和標(biāo)準(zhǔn)之后，還要注意分清層次，不越級(jí)討論。 2、學(xué)習(xí)分類方法，增強(qiáng)思維的縝密性在教學(xué)中滲透分類思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂分類就是選取適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，滿足互斥、無(wú)遺漏、最簡(jiǎn)便的原則。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)不同的分類標(biāo)準(zhǔn)會(huì)有不同的分類結(jié)果，從而產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)。掌握合理的分類方法，能夠幫助我們理清教學(xué)知識(shí)中許多“并聯(lián)”的問(wèn)題。分類的方法常有以下幾種： （1）根據(jù)數(shù)學(xué)的概念進(jìn)行分類有些數(shù)學(xué)概

14、念是分類給出的。因此在整理時(shí)也要分類復(fù)習(xí)。如：?jiǎn)蚊麛?shù)和復(fù)名數(shù) ，這是按所帶計(jì)量單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類的，牢記分類的標(biāo)準(zhǔn)可以幫助我們掌握它們各自的特點(diǎn)。 （2）根據(jù)圖形的特征或相互間的關(guān)系進(jìn)行分類如三角形按角分類，有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。如果以邊的長(zhǎng)短關(guān)系，三角形可分為不等邊三角形和等邊三角形；等邊三角形又可分為正三角形和等腰三角形。 （3）根據(jù)探索的方向進(jìn)行分類如：直線行程問(wèn)題和環(huán)行行程問(wèn)題，可以看出來(lái)他們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的方法上有相似性。（五）集合思想集合是近代數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要概念。集合思想是現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想向小學(xué)數(shù)學(xué)滲透的重要標(biāo)志，在解決某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，若是運(yùn)用集合思想，可以使問(wèn)題解決得更

15、簡(jiǎn)單明了。集合論的創(chuàng)始人是德國(guó)的數(shù)學(xué)家康托，其主要思想方法可歸結(jié)為三個(gè)原則，即概括原則、外延原則、一一對(duì)應(yīng)原則。英國(guó)數(shù)學(xué)家維恩最早使用了一種圖即可以用于表示任意的幾個(gè)集合，稱為“維恩圖”，用維恩圖表示集合，有助于探索某些數(shù)學(xué)題的解決思路。集合思想包括概念、子集思想、交集思想、并集思想、差集思想、空集思想、一一對(duì)應(yīng)思想等，作為數(shù)學(xué)思想方法的一種，在教學(xué)中是具有很大的指導(dǎo)意義。 1、集合概念在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用集合思想的概念在教學(xué)中是不必向?qū)W生作解釋的，教師主要指導(dǎo)學(xué)生看懂集合圖的意思，會(huì)根據(jù)集合圖來(lái)解題或者幫助解題。圖形本身直觀地應(yīng)用了集合的表示方法圖示法，因此在小學(xué)低年級(jí)中運(yùn)用這個(gè)方法對(duì)于教

16、學(xué)是很有幫助的。在認(rèn)數(shù)教學(xué)中，教師要結(jié)合各種集合圖，可以是選用書(shū)本上的，也可以是選用一些生活中常見(jiàn)的事物自己畫(huà)。同時(shí)還可以反過(guò)來(lái)給學(xué)生一個(gè)數(shù)字，讓學(xué)生畫(huà)集合圖，這樣既可以讓學(xué)生開(kāi)動(dòng)腦筋發(fā)揮自己的想象，也可以讓學(xué)生更了解集合中的元素與基數(shù)概念的聯(lián)系。在日常教學(xué)中，教師還要讓學(xué)生理解一些用來(lái)描述集合的常用術(shù)語(yǔ)，如“一些”、“一堆”、“一組”、“一群”等。比如說(shuō)，在小學(xué)數(shù)學(xué)教材分類中，就出現(xiàn)了這么一張圖，讓學(xué)生觀察，要求把玩具放一堆，文具放一堆，服裝鞋帽放一堆，這種把具有同一種屬性的東西放在一起，這就是集合的整體概念。在認(rèn)識(shí)0-10的十一個(gè)數(shù)字中，每個(gè)數(shù)字都有一張相應(yīng)的集合圖，也就是告訴學(xué)生，一個(gè)集

17、合中有幾個(gè)元素就用“幾”來(lái)表示。這就很形象的把集合中的元素與基數(shù)的概念有機(jī)的聯(lián)系起來(lái)。2、子集、交集、并集、差集、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用（1）子集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用教學(xué)數(shù)的大小這一問(wèn)題時(shí)，就可以應(yīng)用子集思想。試一試中,給出一些數(shù)，組成一個(gè)數(shù)的集合，元素有387、99、809、 345、1725、4300等。同時(shí)給出要求，先把給出的數(shù)分類，再比較大小。這把數(shù)分類就相當(dāng)于是把整個(gè)數(shù)的集合中的元素，按要求分別把他們放入三個(gè)子集合中。對(duì)于這類問(wèn)題，應(yīng)用集合思想就能讓學(xué)生非常直觀、容易地理解。（2）交集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用如有這么一道應(yīng)用題：一個(gè)班有48人。班主任在班會(huì)上問(wèn)：“誰(shuí)做

18、完了數(shù)學(xué)作業(yè)？”這時(shí)有42人舉手。又問(wèn)：“誰(shuí)做完了語(yǔ)文作業(yè)？”這時(shí)有37人舉手。最后又問(wèn)：“誰(shuí)語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒(méi)有做完？”沒(méi)有人舉手。請(qǐng)問(wèn)：這個(gè)班語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有幾人？再如教學(xué)公約數(shù)、公倍數(shù)這一內(nèi)容時(shí)，也通常應(yīng)用交集思想，（3）并集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用在小學(xué)一年級(jí)的教材中，并集被用于說(shuō)明加法的意義，如解決這個(gè)問(wèn)題，一幅圖中小朋友左手里拿了兩只鉛筆，右手里拿了三只鉛筆，另一幅中小朋友把兩只手合在一起，就是把左手和右手中的鉛筆并在一起。235（只）還有1120各數(shù)的認(rèn)識(shí)中，對(duì)于“11”,先把10根小棒捆成一捆，組成十位上的“1”，然后再數(shù)1根組成“11”了。同理在教學(xué)12、13、14

19、、15等數(shù)時(shí)，也都應(yīng)該采用并集思想。又如，95? 教材中顯示把5根小棒分成1根和4根,把1根和9根結(jié)合在一起，組成十根捆在一起，作為十位上的“1”，這也運(yùn)用了并集思想。4、差集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用在小學(xué)一年級(jí)的教材中，差集被用于說(shuō)明減法的意義。如樹(shù)上原有5個(gè)蘋(píng)果，被小朋友摘走2個(gè)，就剩下樹(shù)上（集合）的3個(gè)蘋(píng)果（元素）：523（個(gè)）又比如說(shuō)還是本頁(yè)的“做一做”：圖中總共有5個(gè)圓圈，其中4個(gè)圓圈用線劃去，表示去掉的，就剩下541（個(gè)）了。在教材中一般用線劃去或虛線圈起來(lái)的都是要剪掉的部分.5、空集思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用空集表示這個(gè)集合沒(méi)有元素?？占枷氲膽?yīng)用主要出現(xiàn)在教學(xué)“0”的時(shí)候，如

20、“小貓釣魚(yú)”，每只小貓的袋子表示集合，袋子里的魚(yú)表示元素。第一幅圖里，袋子里有三條魚(yú)，該集合里有3個(gè)元素；第二幅圖里，袋子里有兩條魚(yú)，該集合里有2個(gè)元素；第三幅圖里，袋子里有一條魚(yú)，該集合里有1個(gè)元素；第四幅圖里，袋子沒(méi)有魚(yú)，該集合中沒(méi)有元素，也就是空集。3、一一對(duì)應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用一一對(duì)應(yīng)思想在教材中體現(xiàn)的較多，在比較兩個(gè)集合所包含的元素的多少時(shí)就一定得用建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的方法來(lái)解決，同時(shí)，“一一對(duì)應(yīng)”思想也是現(xiàn)代函數(shù)思想的基礎(chǔ)。一一對(duì)應(yīng)思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中主要以兩種形式呈現(xiàn)：第一種是比多少，第二種是由一個(gè)集合經(jīng)過(guò)對(duì)應(yīng)法則得到另一個(gè)集合。（六）數(shù)形結(jié)合思想所謂數(shù)形結(jié)合就是根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)

21、題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系分析其代數(shù)含義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)系與空間形式和諧結(jié)合在一起的方法。數(shù)形結(jié)合方法的實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái)。這里的“數(shù)”指數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)、數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式及用語(yǔ)言文字表現(xiàn)的數(shù)量信息和呈現(xiàn)方式；“形”不僅僅指幾何圖形，還包括各類圖像、實(shí)物類教學(xué)資源等形象材料，以及用這些材料呈現(xiàn)數(shù)學(xué)信息的方式。 數(shù)形結(jié)合的方法具有雙向性：借助“形”的生動(dòng)和直觀性認(rèn)識(shí)“數(shù)”，即以“形”為手段，“數(shù)”為目的；或借助于“數(shù)”精確和規(guī)范地闡明“形”的屬性，此時(shí)，“數(shù)”是手段。 以“形”助“數(shù)”?！靶巍钡膹V義性以及小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中直觀形象思維的主導(dǎo)地位決定了大部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)學(xué)

22、習(xí)需要“形”的支撐。 數(shù)學(xué)概念的建立借助“形”的直觀。由于概念的抽象與概括性，教學(xué)時(shí)要向?qū)W生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數(shù)小棒、搭多邊形中認(rèn)識(shí)整數(shù)，在等分圖形中認(rèn)識(shí)分（?。?shù)；利用交集圖理解公因數(shù)與公倍數(shù)等等。同樣，運(yùn)算的概念（如“除法”、“余數(shù)”）、數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)（如“平均分”、“大于”）等等都需要“形”的參與。 數(shù)學(xué)性質(zhì)的探索依賴“形”的操作。數(shù)學(xué)性質(zhì)是關(guān)于規(guī)律性的知識(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生自主探索發(fā)現(xiàn)，而形的操作有助于發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如教學(xué)“3的倍數(shù)的特征”可作如下設(shè)計(jì)：讓學(xué)生用9根小棒擺出三位數(shù)，判斷是否是3的倍數(shù)；8根、6根呢？操作中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，組成的三位數(shù)是否是3的倍數(shù)只與小棒的根數(shù)有關(guān)，而與擺的方式無(wú)關(guān)，根數(shù)就是各數(shù)位上數(shù)的和。又如，“分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)”、“小數(shù)的性質(zhì)”可以讓學(xué)生在對(duì)圖形的等分中理解。 數(shù)學(xué)規(guī)則的形成需要“形”作材料。數(shù)學(xué)規(guī)則在小學(xué)主要是有關(guān)演算過(guò)程的具體實(shí)施方法。規(guī)則學(xué)習(xí)是學(xué)生技能形成的先導(dǎo)。讓學(xué)生明確規(guī)則的合理性、理解其推導(dǎo)過(guò)程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)過(guò)程性目標(biāo)。而數(shù)形結(jié)合能降低思維難度，讓學(xué)生有信心和能力歸納出法則。如“20以內(nèi)進(jìn)位加法”是通過(guò)實(shí)物操作體會(huì)“湊十”的過(guò)程；分?jǐn)?shù)乘法（如1