計(jì)數(shù)原理教材分析

1、選修2-3第一章計(jì)數(shù)原理教材分析計(jì)數(shù)原理是數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)原理問(wèn)題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問(wèn)題提供了思想和工具.本章在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中占有重要地位以計(jì)數(shù)問(wèn)題為主要內(nèi)容的排列與組合，屬于現(xiàn)在發(fā)展很快且在計(jì)算機(jī)領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用的組合數(shù)學(xué)的最初步知識(shí)，它不僅有著許多直接應(yīng)用，是學(xué)習(xí)概率理論的準(zhǔn)備知識(shí)，而且由于其思維方法的新穎性與獨(dú)特性，它也是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的不可多得的好素材.作為初中一種多項(xiàng)式乘法公式推廣二項(xiàng)式定理，不僅使前面組合等知識(shí)的學(xué)習(xí)得到強(qiáng)化，而且與后面概率中的二項(xiàng)分布有著密切聯(lián)系 一、內(nèi)容分析 1本章從學(xué)

2、習(xí)加法原理和乘法原理開始，應(yīng)該說(shuō)，這兩個(gè)基本原理在本章的學(xué)習(xí)中占有重要地位；其作用并不限于用來(lái)推導(dǎo)排列數(shù)、組合數(shù)公式，實(shí)際上其解決問(wèn)題的思想方法貫穿在整個(gè)學(xué)習(xí)的始終：當(dāng)將一個(gè)較復(fù)雜的問(wèn)題通過(guò)分類進(jìn)行分解時(shí)，用的是加法原理；當(dāng)將它通過(guò)分步進(jìn)行分解時(shí)，用的是乘法原理在此基礎(chǔ)上，研究排列與組合，運(yùn)用歸納法導(dǎo)出排列數(shù)公式與組合數(shù)公式，并提出組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)，以簡(jiǎn)化組合數(shù)的計(jì)算和為推導(dǎo)二項(xiàng)式定理作好鋪墊隨后研究的二項(xiàng)式定理，在本章中起著承上啟下的作用：它不僅將前面的組合的學(xué)習(xí)深化一步，而且為學(xué)習(xí)后面的獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二項(xiàng)分布作了準(zhǔn)備 2排列、組合是兩類特殊而重要的計(jì)數(shù)原理，而解決它們的基本思想和工具就是兩

3、個(gè)計(jì)數(shù)原理.教材從簡(jiǎn)化運(yùn)算的角度提出排列和組合的學(xué)習(xí)任務(wù)，通過(guò)具體的實(shí)例得出排列和組合的概念、排列數(shù)公式、組合數(shù)公式及其在解決問(wèn)題中的應(yīng)用.3二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)過(guò)程是應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的典型過(guò)程，教材主要是運(yùn)用組合數(shù)兩個(gè)性質(zhì)推導(dǎo)出二項(xiàng)式定理，同時(shí)通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)的學(xué)習(xí)，深化對(duì)組合數(shù)的認(rèn)識(shí).二、教學(xué)要求 1掌握加法原理與乘法原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題 2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題 3.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題 三、考點(diǎn)詮釋（1）兩個(gè)原理（分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理）分類

4、和分步的區(qū)別，關(guān)鍵是看事件能否完成，事件完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用加法原理將種數(shù)相加；分步要用乘法原理，分步后再將種數(shù)相乘.（2）兩個(gè)概念（排列、組合）排列與組合是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩類問(wèn)題，它們都是從n個(gè)不同元素中任取m個(gè)不同元素.但是前者要求將元素排成一個(gè)順序，后者對(duì)此不做要求.若不理解排列問(wèn)題和組合問(wèn)題的區(qū)別，在分析實(shí)際問(wèn)題時(shí)就會(huì)犯錯(cuò)誤.（3）兩類基本公式排列數(shù)公式 規(guī)定：0！=1組合數(shù)公式 特別地：（4）兩類基本性質(zhì)排列性質(zhì)：組合性質(zhì)：性質(zhì)1., 性質(zhì)2.在解決排列組合的計(jì)算或證明以及解方程，解不等式等問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的兩

5、個(gè)性質(zhì).解這類題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確、熟練地運(yùn)用這些公式及性質(zhì)，但是在使用公式時(shí)要注意：計(jì)算題與證明題的類型不同，要求選擇公式的形式就不同.排列數(shù)公式與組合數(shù)公式都有兩種形式：乘積形式和階乘形式前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于證明恒等式，同時(shí)要注意公式的倒用，即由寫出.排列數(shù)與組合數(shù)里的m、n的關(guān)系是 牢記：0！=1；（5）排列組合的綜合應(yīng)用排列與順序有關(guān)，或者說(shuō)與所有順序有關(guān).組合與順序無(wú)關(guān)，或者說(shuō)與一種順序有關(guān).例如：從1、2、3、4四個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)不同的數(shù)字，可組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？這是排列問(wèn)題，有個(gè)，而組成的三位數(shù)中個(gè)位、十位、百位上的數(shù)字遞增的三位數(shù)有多少個(gè)？這是一種確定的順序，是組合問(wèn)題

6、有個(gè)不同的三位數(shù).按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過(guò)程分步，是處理排列組合問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)思想方法，要注意題設(shè)中“至少”、“至多”等限制詞的意義.處理排列組合的綜合性問(wèn)題，一般的思想方法是對(duì)于要取出的元素不是一次完成的排列問(wèn)題，要注意先選取元素，直到把應(yīng)取的元素都取出來(lái)后，再進(jìn)行排列在排列問(wèn)題中，某幾個(gè)元素必須在某幾個(gè)固定位置，某幾個(gè)元素不能在某幾個(gè)位置，某幾個(gè)元素必須在一起，某幾個(gè)元素互不相鄰等，是排列中的幾種基本類型.在組合問(wèn)題中，某些元素必須在內(nèi)，某些元素都不在內(nèi)，某些元素恰有一個(gè)在內(nèi)，某些元素至少有一個(gè)在內(nèi)，某些元素至多有一個(gè)在內(nèi)等，是組合的幾種基本類型.（6）二項(xiàng)式定理的有關(guān)概念第一

7、、對(duì)通項(xiàng)要注意以下幾點(diǎn):它表示二項(xiàng)展開式中的任意項(xiàng)，只要n與r確定，該項(xiàng)也隨之確定. 公式表示的是第r+1項(xiàng)，而不是第r項(xiàng). 公式中a、b的位置不能顛倒，它們的指數(shù)和一定為n.第二、要注意區(qū)分，展開式的第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第r+1項(xiàng)的系數(shù)是兩個(gè)不同的概念，千萬(wàn)不能混在一起.（7）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)展開式中與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.若二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則展開式的中間一項(xiàng)即第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；若二項(xiàng)式系數(shù)的冪指數(shù)是奇數(shù)，則展開式的中間兩項(xiàng)即第（）項(xiàng)和第（）項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.展開式的所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于.即展開式中的奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和

8、.即 =注意：用二項(xiàng)式定理進(jìn)行冪的近似計(jì)算時(shí)，首先要將冪的底數(shù)拆成兩項(xiàng)，構(gòu)造二項(xiàng)式；其次要根據(jù)題設(shè)的精確度選取展開的項(xiàng)數(shù).利用二項(xiàng)式定理證明整除性問(wèn)題，也應(yīng)靈活處理底數(shù)，使之符合需要.賦值法是解決二項(xiàng)展開式中有關(guān)系數(shù)問(wèn)題的重要手段，許多復(fù)雜的與系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題均可以通過(guò)正確的、簡(jiǎn)單的賦值得到解決.四、教學(xué)建議1.在深刻理解的基礎(chǔ)上，嚴(yán)格要求按照兩個(gè)原理去做.分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理是兩個(gè)基本原理，它們既是推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、組合問(wèn)題的主要依據(jù)，并且還常需要直接運(yùn)用它們?nèi)ソ鉀Q問(wèn)題，這兩個(gè)原理貫穿排列、組合學(xué)習(xí)過(guò)程的始終.搞好排列、組合問(wèn)題的教學(xué)從這兩個(gè)原理入手帶有根本

9、性.分類計(jì)數(shù)原理是對(duì)完成一件事的所有方法的一個(gè)劃分，依分類計(jì)數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么，其次分類時(shí)要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定分類的標(biāo)準(zhǔn)，最后在確定的標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.分類要注意不重復(fù)、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事.分步計(jì)數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成幾個(gè)步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個(gè)步驟后才算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事.從以上的分析可以看出，分類計(jì)數(shù)原理和分步計(jì)數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類計(jì)數(shù)原理更具有一般性，解決復(fù)雜問(wèn)題時(shí)往往需要先分類，每類中再分成幾步.在排列、組合教學(xué)的起始階段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學(xué)生嚴(yán)格按原理去分析

10、問(wèn)題.只有這樣才能使學(xué)生認(rèn)識(shí)深刻、理解到位、思路清晰，才會(huì)做到分類有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).2.指導(dǎo)判定與順序有無(wú)關(guān)系，分清排列與組合 排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問(wèn)題.排列與組合的區(qū)別在于問(wèn)題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題，與順序無(wú)關(guān)是組合問(wèn)題，順序?qū)ε帕?、組合問(wèn)題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來(lái)說(shuō)是簡(jiǎn)單的，但在具體求解過(guò)程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無(wú)關(guān)系.下面幾種方法可供參考. (1)指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問(wèn)題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來(lái)的順序.教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有

11、學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會(huì)貫通. (2)能列舉出某種方法時(shí)，讓學(xué)生通過(guò)交換元素位置的辦法加以鑒別. (3)學(xué)生易于辨別組合、全排列問(wèn)題，而排列問(wèn)題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問(wèn)題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來(lái)，選出元素后再去考慮是否要對(duì)元素進(jìn)行排隊(duì)，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問(wèn)題；否則是排列問(wèn)題.3.引導(dǎo)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)情景，正確領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)排列、組合問(wèn)題大都來(lái)源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過(guò)程，用數(shù)學(xué)的原理和語(yǔ)言加以表述.也可以說(shuō)解排列、組合

12、題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會(huì)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問(wèn)題的過(guò)程.據(jù)筆者觀察，有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考慮問(wèn)題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要解決這個(gè)問(wèn)題，需要師生一道在分析問(wèn)題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過(guò)程，則更能說(shuō)明問(wèn)題.久而久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會(huì)大大提高.4.倡導(dǎo)一題多解優(yōu)化解法，交流合作互相啟發(fā)排列、組合問(wèn)題解題方法比較靈活，問(wèn)題思考的角度不同，就會(huì)得到不同的解法.若選擇的切入角度得當(dāng)，則問(wèn)題求解簡(jiǎn)便，否則會(huì)變得復(fù)雜難解.教學(xué)中既要注意比較不同解法的優(yōu)劣，更要注意提醒學(xué)生體會(huì)如何對(duì)一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行認(rèn)識(shí)思考，才能得到最優(yōu)方法. 排列與組合方法數(shù)比較多，無(wú)法逐一進(jìn)行驗(yàn)證.為了防止重復(fù)、避免遺漏，除了一題多解