三角形中線的阿波羅尼斯定理及其應(yīng)用1

1、三角形中線的阿波羅尼斯定理及其應(yīng)用阿波羅尼斯定理 三角形兩邊平方的和,等于所夾中線及第三邊之半的平方和的2倍.具體地說(shuō),就是:設(shè)AD是ABC的中線,則.證明 如圖1,作BC邊上的高AH.由勾股定理,得,.所以.由,可得.所以.該定理應(yīng)用廣泛,不但可以用來(lái)計(jì)算三角形中線的長(zhǎng)度,而且對(duì)于多線段的平方和問(wèn)題,嘗試構(gòu)造三角形的中線后運(yùn)用它往往也能湊效.下面舉例說(shuō)明此定理的應(yīng)用.1.直接使用當(dāng)題設(shè)條件中出現(xiàn)三角形的中線時(shí),可考慮使用阿波羅尼斯定理建立相關(guān)線段的聯(lián)系,以助解題.例1 AD、BE、CF是ABC的三條中線.若,則_.(2005年山東省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)分析 AD、BE、CF是ABC的三條中線,故可

2、直接使用三角形中線的阿波羅尼斯定理進(jìn)行計(jì)算.解 如圖2, AD是BC邊上的中線,由阿波羅尼斯定理得.代入已知數(shù)據(jù),變形得.同理,.故.例2 如圖3,ABC的內(nèi)切圓O與邊CA上的中線BM交于點(diǎn)G、H,并且點(diǎn)G在點(diǎn)B和點(diǎn)H之間.已知,.那么,當(dāng)BC、CA為何值時(shí),線段GH的長(zhǎng)達(dá)到最大值?并求GH的最大值.解 如圖3,設(shè)O與邊BC、CA、AB分別切于點(diǎn)D、E、F.由切線長(zhǎng)定理,得.由切割線定理得.所以,.設(shè),則. 因此.設(shè),.則. 由阿波羅尼斯定理,得,代入數(shù)據(jù)并變形,得. 由式、,解得,其中,即.因此,當(dāng)時(shí),x達(dá)到最大值,即當(dāng)時(shí),線段GH的長(zhǎng)達(dá)到最大值.2.構(gòu)造三角形的中線后使用定理有些平面幾何題

3、,雖然題設(shè)條件中沒(méi)有直接出現(xiàn)三角形的中線,但根據(jù)一些條件可先構(gòu)造三角形的中線,然后再利用阿波羅尼斯定理求解.例3 如圖4,正方形ABCD、正方形CGEF的邊長(zhǎng)分別是2、3,且點(diǎn)B、C、G在同一直線上,M是線段AE的中點(diǎn),連接MF.則MF的長(zhǎng)為_(kāi).(2006年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江賽區(qū)初賽)分析 要求MF的長(zhǎng),注意到點(diǎn)M是線段AE的中點(diǎn),只要連接AF后,就可運(yùn)用阿波羅尼斯定理進(jìn)行求解了.解 如圖4,連接AF,延長(zhǎng)BA、EF交于點(diǎn)H. 則.在RtAHF中,由勾股定理得.在RtAHE中,由勾股定理得.M是AEF的邊AE的中點(diǎn),由阿波羅尼斯定理得.變形,并代入得.所以.例4 如圖5,為銳角,A、B是OM

4、上的兩個(gè)定點(diǎn),P是ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),問(wèn)當(dāng)P在什么位置時(shí),最小? 解析 如圖5,取AB的中點(diǎn)C,連接PC.由阿波羅尼斯定理,得.式中AB的長(zhǎng)是定值,要使最小,只需使CP的長(zhǎng)最小,根據(jù)“垂線段最短”可知,當(dāng)CPOY時(shí),CP的長(zhǎng)最小.至此得到:當(dāng)P在點(diǎn)D(D為AB的中點(diǎn)C在ON上的射影)時(shí),最小.例5 如圖6,已知三個(gè)圓:半徑分別為1、2、3的、.其中, 和彼此外切,并且都和內(nèi)切.若(未畫(huà)出)和內(nèi)切,并分別和、外切,求的半徑.(2011年世界數(shù)學(xué)團(tuán)體錦標(biāo)賽(少年組) 解析 如圖6,連接、.由和彼此外切,并且都和內(nèi)切,可得,.所以.所以點(diǎn)O在線段上.設(shè)的半徑為,連接、.由和內(nèi)切,并分別和、外切, 可得,.注意到,故可取的中點(diǎn)P,連接,從而可兩次使用三角形中線的阿波羅尼斯定理,得,.所以,即.