解三角形11正弦定理和余弦定理知識點(diǎn)總結(jié)

1、第一章 解三角形1.1正弦定理和余弦定理一、知識必備：1直角三角形中各元素間的關(guān)系：在ABC中，C90°，ABc，ACb，BCa。（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2。（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：AB90°；（3）邊角之間的關(guān)系：（銳角三角函數(shù)定義）sinAcosB，cosAsinB，tanA。二、正弦定理（一）知識與工具：正弦定理：在ABC中， 。（外接圓圓半徑）在這個(gè)式子當(dāng)中，已知兩邊和一角或已知兩角和一邊，可以求出其它所有的邊和角。注明：正弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180° (2)兩邊之和

2、大于第三邊，兩邊之差小于第三邊(3)面積公式：S=absinC=2R2sinAsinBsinC （其中為三角形內(nèi)切圓半徑）,(海倫公式)(4)三角函數(shù)的恒等變形。(5) sin(A+B)=sinC，cos(A+B)=-cosC ，sin=cos，cos=sin（10）（二）題型 使用正弦定理解三角形共有三種題型題型1 利用正弦定理公式原型解三角形題型2 利用正弦定理公式的變形(邊角互化)解三角形：關(guān)于邊或角的齊次式可以直接邊角互化。題型3 三角形解的個(gè)數(shù)的討論已知a，b和A，求B時(shí)的解的情況: 如果sinAsinB，則B有唯一解；如果sinA<sinB<1，則B有兩解；如果sinB

3、=1，則B有唯一解；如果sinB>1，則B無解.方法一：畫圖看方法二：通過正弦定理解三角形，利用三角形內(nèi)角和與三邊的不等關(guān)系檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否符合實(shí)際意義，從而確定解的個(gè)數(shù)。三、余弦定理（一）知識與工具：a2=b2+c22bccosA cosA= b2=a2+c22accosB cosB=c2=a2+b22abcosC cosC=注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：(1)三內(nèi)角和為180°；(2)兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。(3)面積公式：S=absinC=2R2sinAsinBsi

4、nC(4)三角函數(shù)的恒等變形。（二）題型使用余弦定理解三角形共有三種現(xiàn)象的題型題型1 利用余弦定理公式的原型解三角形題型2 利用余弦定理公式的變形(邊角互換)解三角形：凡在同一式子中既有角又有邊的題，要將所有角轉(zhuǎn)化成邊或所有邊轉(zhuǎn)化成角，在轉(zhuǎn)化過程中需要構(gòu)造公式形式。題型3 判斷三角形的形狀結(jié)論：根據(jù)余弦定理，當(dāng)a2+b2c2、b2+c2a2、c2+a2b2中有一個(gè)關(guān)系式成立時(shí)，該三角形為鈍角三角形，而當(dāng)a2+b2c2、b2+c2a2，c2+a2b2中有一種關(guān)系式成立時(shí)，并不能得出該三角形為銳角三角形的結(jié)論。判斷三角形形狀的方法：(1)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出

5、邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀。(2)將已知式所有的邊和角轉(zhuǎn)化為內(nèi)角三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，這時(shí)要注意使用A+B+C=這個(gè)結(jié)論。在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取出公因式，以免漏解四、思維總結(jié)1解斜三角形的常規(guī)思維方法是：（1）已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C = 求C，由正弦定理求a、b；（2）已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = ，求另一角；（3）已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C = 求C

6、，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；（4）已知三邊a、b、c，應(yīng)余弦定理求A、B，再由A+B+C = ，求角C。2三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；3三角學(xué)中的射影定理：在ABC 中，4兩內(nèi)角與其正弦值：在ABC 中，5解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時(shí)應(yīng)結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。五、判斷三角形的類型（1）利用三角形的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀:判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一成邊的形式或角的形式.（2）在中，由余弦定理可知:（注意：）(3) 若，則A=B或.本章浙江高考理科試卷分析：2013年選擇一道（定比分點(diǎn)與向量） 填空一道（模的最大值） 2