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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知拋物線:的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),直線與拋物線交于,兩點(diǎn),若,則為()A. B.40 C.16 D.2.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題3.若雙曲線的焦距為,則的一個(gè)焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為()A. B. C. D.4.已知實(shí)數(shù),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.為了研究國(guó)民收入在國(guó)民之間的分配,避免貧富過(guò)分懸殊,美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家勞倫茨提出了著名的勞倫茨曲線,如圖所示.勞倫茨曲線為直線時(shí),表示收入完全平等.勞倫茨曲線為折線時(shí),表示收入完全不平等.記區(qū)域?yàn)椴黄降葏^(qū)域,表示其面積,為的面積,將稱為基尼系數(shù).對(duì)于下列說(shuō)法:①越小,則國(guó)民分配越公平;②設(shè)勞倫茨曲線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為,則對(duì),均有;③若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則;④若某國(guó)家某年的勞倫茨曲線近似為,則.其中正確的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,正視圖、側(cè)視圖和俯視圖都是由一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及正方形內(nèi)一段圓弧組成,則這個(gè)幾何體的表面積是()A. B. C. D.7.設(shè)函數(shù)若關(guān)于的方程有四個(gè)實(shí)數(shù)解,其中,則的取值范圍是()A. B. C. D.8.某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語(yǔ)音識(shí)別、人臉識(shí)別,數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開(kāi)發(fā)五個(gè)方向展開(kāi)研究,且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí),其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識(shí)別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種9.在原點(diǎn)附近的部分圖象大概是()A. B.C. D.10.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.11.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,則()A.4 B.8 C.16 D.212.《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土,這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍.其中記載有求“囷蓋”的術(shù):“置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一”.該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高,計(jì)算其體積的近似公式.它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的圓周率近似取為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,四面體的一條棱長(zhǎng)為,其余棱長(zhǎng)均為1,記四面體的體積為,則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是____;最大值為_(kāi)___.14.在的展開(kāi)式中,常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答)15.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB16.已知向量,,且,則________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)[2018·石家莊一檢]已知函數(shù).(1)若,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證:.18.(12分)已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且滿足.(1)求角的大?。唬?)若的面積為,求的周長(zhǎng)的最小值.19.(12分)如圖,三棱柱中,側(cè)面是菱形,其對(duì)角線的交點(diǎn)為,且.(1)求證:平面;(2)設(shè),若直線與平面所成的角為,求二面角的正弦值.20.(12分)若函數(shù)在處有極值,且,則稱為函數(shù)的“F點(diǎn)”.(1)設(shè)函數(shù)().①當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;②若函數(shù)存在“F點(diǎn)”,求k的值;(2)已知函數(shù)(a,b,,)存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,且,求a的取值范圍.21.(12分)網(wǎng)絡(luò)看病就是國(guó)內(nèi)或者國(guó)外的單個(gè)人、多個(gè)人或者單位通過(guò)國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對(duì)自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機(jī)器故障進(jìn)行查找詢問(wèn)、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此,實(shí)地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機(jī)構(gòu)調(diào)研了患者對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機(jī)抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病兩種方式進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng),根據(jù)患者的評(píng)分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對(duì)于網(wǎng)絡(luò)看病、實(shí)地看病那種方式的滿意度更高?并說(shuō)明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫(xiě)下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病實(shí)地看病總計(jì)并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)?(3)從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
如圖所示,過(guò)分別作于,于,利用和,聯(lián)立方程組計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示:過(guò)分別作于,于.,則,根據(jù)得到:,即,根據(jù)得到:,即,解得,,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線中弦長(zhǎng)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.2.B【解析】
由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開(kāi)絕對(duì)值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對(duì)于命題q,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),,由,得,無(wú)解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯(cuò)誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯(cuò)誤;為真命題,D錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.3.B【解析】
根據(jù)焦距即可求得參數(shù),再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線的焦距為,故可得,解得,不妨??;又焦點(diǎn),其中一條漸近線為,由點(diǎn)到直線的距離公式即可求的.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由雙曲線的焦距求方程,以及雙曲線的幾何性質(zhì),屬綜合基礎(chǔ)題.4.D【解析】
根據(jù)題意,對(duì)于函數(shù)分2段分析:當(dāng),由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析可得①,當(dāng),由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得,在上恒成立,變形可得②,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性,分析可得③,聯(lián)立三個(gè)式子,分析可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
當(dāng),若為增函數(shù),則①,
當(dāng),若為增函數(shù),必有在上恒成立,
變形可得:,
又由,可得在上單調(diào)遞減,則,
若在上恒成立,則有②,
若函數(shù)在上單調(diào)遞增,左邊一段函數(shù)的最大值不能大于右邊一段函數(shù)的最小值,則需有,③
聯(lián)立①②③可得:.
故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用,注意分段函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì).5.A【解析】
對(duì)于①,根據(jù)基尼系數(shù)公式,可得基尼系數(shù)越小,不平等區(qū)域的面積越小,國(guó)民分配越公平,所以①正確.對(duì)于②,根據(jù)勞倫茨曲線為一條凹向橫軸的曲線,由圖得,均有,可得,所以②錯(cuò)誤.對(duì)于③,因?yàn)?,所以,所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④,因?yàn)椋?,所以④正確.故選A.6.C【解析】
畫(huà)出直觀圖,由球的表面積公式求解即可【詳解】這個(gè)幾何體的直觀圖如圖所示,它是由一個(gè)正方體中挖掉個(gè)球而形成的,所以它的表面積為.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查三視圖以及幾何體的表面積的計(jì)算,考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.7.B【解析】
畫(huà)出函數(shù)圖像,根據(jù)圖像知:,,,計(jì)算得到答案.【詳解】,畫(huà)出函數(shù)圖像,如圖所示:根據(jù)圖像知:,,故,且.故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力,畫(huà)出圖像是解題的關(guān)鍵.8.B【解析】
將人臉識(shí)別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論,結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識(shí)別方向有2人時(shí),有種,當(dāng)人臉識(shí)別方向有1人時(shí),有種,∴共有360種.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡(jiǎn)單排列組合問(wèn)題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
分析函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】令,可得,即函數(shù)的定義域?yàn)?,定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,,則函數(shù)為奇函數(shù),排除C、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,,則,排除B選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,一般要分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力,屬于中等題.10.B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是(0,1),故選B.11.A【解析】
利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.12.C【解析】
將圓錐的體積用兩種方式表達(dá),即,解出即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為r,則,又,故,所以,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題利用古代數(shù)學(xué)問(wèn)題考查圓錐體積計(jì)算的實(shí)際應(yīng)用,考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(或?qū)懗?【解析】試題分析:設(shè),取中點(diǎn)則,因此,所以,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,最大值為所以單調(diào)增區(qū)間是,最大值為考點(diǎn):函數(shù)最值,函數(shù)單調(diào)區(qū)間14.【解析】
的展開(kāi)式的通項(xiàng)為,取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為:,取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.15.-7【解析】
由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點(diǎn)睛】突破本題的關(guān)鍵是抓住題中所給圖形的特點(diǎn),利用平面向量基本定理和向量的加減運(yùn)算,將所給向量統(tǒng)一用AC,16.【解析】
根據(jù)垂直向量的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式,即可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】,且,則,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量垂直求參數(shù),涉及垂直向量的坐標(biāo)表示,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】試題分析:(1)分別求得和,由點(diǎn)斜式可得切線方程;(2)由已知條件可得有兩個(gè)相異實(shí)根,,進(jìn)而再求導(dǎo)可得,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,從而得證.試題解析:(1)由已知條件,,當(dāng)時(shí),,,當(dāng)時(shí),,所以所求切線方程為(2)由已知條件可得有兩個(gè)相異實(shí)根,,令,則,1)若,則,單調(diào)遞增,不可能有兩根;2)若,令得,可知在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,令解得,由有,由有,從而時(shí)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),當(dāng)變化時(shí),,的變化情況如下表單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞減因?yàn)?,所以,在區(qū)間上單調(diào)遞增,.另解:由已知可得,則,令,則,可知函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,若有兩個(gè)根,則可得,當(dāng)時(shí),,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.18.(1)(2)【解析】
(1)因?yàn)椋?,由余弦定理得,化?jiǎn)得,可得,解得,又因?yàn)?,所?(6分)(2)因?yàn)?,所以,則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)).由(1)得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),解得.所以(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取等號(hào)),所以的周長(zhǎng)的最小值為.19.(1)見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)根據(jù)菱形的特征和題中條件得到平面,結(jié)合線面垂直的定義和判定定理即可證明;
2建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量知識(shí)求解即可.【詳解】(1)證明:∵四邊形是菱形,,平面平面,又是的中點(diǎn),,又平面(2)∴直線與平面所成的角等于直線與平面所成的角.平面,∴直線與平面所成的角為,即.因?yàn)椋瑒t在等腰直角三角形中,所以.在中,由得,以為原點(diǎn),分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則,可得,取平面的一個(gè)法向量為,則,所以二面角的正弦值的大小為.(注:?jiǎn)栴}(2)可以轉(zhuǎn)化為求二面角的正弦值,求出后,在中,過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,連接,則就是所求二面角平面角的補(bǔ)角,先求出,再求出,最后在中求出.)【點(diǎn)睛】本題主要考查了線面垂直的判定以及二面角的求解,屬于中檔題.20.(1)①極小值為1,無(wú)極大值.②實(shí)數(shù)k的值為1.(2)【解析】
(1)①將代入可得,求導(dǎo)討論函數(shù)單調(diào)性,即得極值;②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”(),即是的零點(diǎn),那么由導(dǎo)數(shù)可知,且,可得,根據(jù)可得,設(shè),由的單調(diào)性可得,即得.(2)方法一:先求的導(dǎo)數(shù),存在兩個(gè)不相等的“F點(diǎn)”,,可以由和韋達(dá)定理表示出,的關(guān)系,再由,可得的關(guān)系式,根據(jù)已知解即得.方法二:由函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,可知,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根,由得,分兩種情況:是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”,進(jìn)行討論即得.【詳解】解:(1)①當(dāng)時(shí),(),則有(),令得,列表如下:x10極小值故函數(shù)在處取得極小值,極小值為1,無(wú)極大值.②設(shè)是函數(shù)的一個(gè)“F點(diǎn)”().(),是函數(shù)的零點(diǎn).,由,得,,由,得,即.設(shè),則,所以函數(shù)在上單調(diào)增,注意到,所以方程存在唯一實(shí)根1,所以,得,根據(jù)①知,時(shí),是函數(shù)的極小值點(diǎn),所以1是函數(shù)的“F點(diǎn)”.綜上,得實(shí)數(shù)k的值為1.(2)由(a,b,,),可得().又函數(shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,,是關(guān)于x的方程()的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,,,即,從而,,即..,,解得.所以,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.(2)(解法2)因?yàn)椋╝,b,,)所以().又因?yàn)楹瘮?shù)存在不相等的兩個(gè)“F點(diǎn)”和,所以,是關(guān)于x的方程組的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.由得,.(2.1)當(dāng)是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),且.所以,即.又,所以,所以.又,所以.(2.2)當(dāng)不是函數(shù)一個(gè)“F點(diǎn)”時(shí),則,是關(guān)于x的方程的兩個(gè)相異實(shí)數(shù)根.又,所以得所以,得.所以,得.綜合(2.1)(2.2),實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值,以及由函數(shù)的極值求參數(shù)值等,是一道關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合性題目,考查學(xué)生的分析和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,有一定難度.21.(1)實(shí)地看病的滿意度更高,理由見(jiàn)解析;(2)列聯(lián)表見(jiàn)解析,有;(3).【解析】
(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個(gè)方面選一個(gè)回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨(dú)立性檢驗(yàn)得有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān);(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡(luò)看病中,有的患者滿意度評(píng)分低于80分;在實(shí)地看病中,有的患者評(píng)分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評(píng)分的中位數(shù)為73分,實(shí)地看病評(píng)分的中位數(shù)為87分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分平均分低于80分;實(shí)地看病的滿意度的評(píng)分平均分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的
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