邏輯回歸模型分析報告見解

1、1. 邏輯回歸模型1.1邏輯回歸模型考慮具有p個獨立變量的向量，設條件概率為根據(jù)觀測量相對于某事件發(fā)生的概率。邏輯回歸模型可表示為. ； （ 1.1）上式右側(cè)形式的函數(shù)稱為稱為邏輯函數(shù)。下圖給出其函數(shù)圖象形式。其中二-。如果含有名義變量,則將其變?yōu)閐ummy變量。個具有k個取值的名義變量，將變?yōu)?k-1個dummy變量。這樣，有定義不發(fā)生事件的條件概率為1(1.3)那么，事件發(fā)生與事件不發(fā)生的概率之比為戶（工二|力二F二護代P（"O|x）-p(1.4)這個比值稱為事件的發(fā)生比（the odds of experiencing an event）,簡稱為odds。因為0<p<

2、;1,故odds>0。對odds取對數(shù)，即得到線性函數(shù)，呵（:-島8用-"+：一.6州- .'（ 1.5）1.2極大似然函數(shù)假設有n個觀測樣本，觀測值分別為 】匚設一-:-為給定條件下得到一 的概率。在同樣條件下得到二-1的條件概率為 = 0|）=1-。于是,得到一個觀測值的概率為口打 /'（ 1.6）因為各項觀測獨立，所以它們的聯(lián)合分布可以表示為各邊際分布的乘積。/（Q二fl加計1 班勁7（1.7）上式稱為n個觀測的似然函數(shù)。我們的目標是能夠求出使這一似然函數(shù)的值最大的參數(shù)估 計。于是，最大似然估計的關鍵就是求出參數(shù)必二小上'，使上式取得最大值。對上述

3、函數(shù)求對數(shù).1I（ 1.8）上式稱為對數(shù)似然函數(shù)。為了估計能使匸取得最大的參數(shù)的值。對此函數(shù)求導，得到 p+1個似然方程。j.i(1.9)Vrj=1,2,.,p.上式稱為似然方程。為了解上述非線性方程，應用牛頓拉斐森（Newton-Raphson）方法進行 迭代求解。1.3 牛頓拉斐森迭代法對二,1求二階偏導數(shù)，即 Hessian矩陣為二心碼（1 羽）J-1(1.10)如果寫成矩陣形式，以H表示Hessian矩陣，X表示耳1？邯（1.11 ）令: - (1(1.12 )u =1殆1%-W4*切*則袈。再令9»11和-%a(注：前一個矩陣需轉(zhuǎn)置 )，即似然方程的矩陣形式。Av得牛頓迭代

4、法的形式為(1.13)注意到上式中矩陣H為對稱正定的，求解二 即為求解線性方程HX = U中的矩陣X。對H進行cholesky 分解。最大似然估計的漸近方差(asymptotic varianee)和協(xié)方差(covarianee)可以由信息矩陣(information matrix)的逆矩陣估計出來。而信息矩陣實際上是川二階導數(shù)的負值，8乜(肉/ 二 1斥表示為疔：。估計值的方差和協(xié)方差表示為- ',也就是說，估計值的方差為矩陣I的逆矩陣的對角線上的值，而估計值-;和- 的協(xié)方差為除了對角線以外的值。然而在多數(shù)情況，我們將使用估計值"的標準方差，表示為2上'】忙 -，

5、for j=o,1,2,p (1.14 )2. 顯著性檢驗下面討論在邏輯回歸模型中自變量 'i是否與反應變量顯著相關的顯著性檢驗。零假設 '* = 0 (表示自變量 '對事件發(fā)生可能性無影響作用)。如果零假設被拒絕，說明事件發(fā)生可能性依賴于、的變化。2.1 Wald testWald檢驗，其公式為對回歸系數(shù)進行顯著性檢驗時，通常使用(2.1 )爲磁(&)F其中， 浪紗為A 的標準誤差。這個單變量 Wald統(tǒng)計量服從自由度等于1的分布。如果需要檢驗假設 匚：止：匚；'?。? 0,計算統(tǒng)計量肛二刖磁（夕）F(2.2 )其中，：為去掉所在的行和列的估計值，相應

6、地，為去掉 所在的行和列的標 準誤差。這里， Wald統(tǒng)計量服從自由度等于 p的分布。如果將上式寫成矩陣形式，有（2.3）矩陣Q是第一列為零的一常數(shù)矩陣。例如，如果檢驗',則然而當回歸系數(shù)的絕對值很大時，這一系數(shù)的估計標準誤就會膨脹，于是會導致Wald統(tǒng)計值變得很小，以致第二類錯誤的概率增加。也就是說，在實際上會導致應該拒絕零假設時卻未能拒絕。所以當發(fā)現(xiàn)回歸系數(shù)的絕對值很大時，就不再用 Wald統(tǒng)計值來檢驗零假設，而應該使用似然比檢驗來代替。2.2 似然比(Likelihood ratio test )檢驗在一個模型里面，含有變量與不含變量的對數(shù)似然值乘以-2的結(jié)果之差，服從分布。這一

7、檢驗統(tǒng)計量稱為似然比（likelihood ratio），用式子表示為G = -2fa(不含石似然） 含有召似然丿(2.4)計算似然值采用公式（1.8 ）。倘若需要檢驗假設=0,計算統(tǒng)計量(2.5 )+>i Ji'.! .1-4 JiF昇-呻咸1上式中， 表示I =0的觀測值的個數(shù)，而 表示丄 1的觀測值的個數(shù)，那么 n就表示 所有觀測值的個數(shù)了。實際上，上式的右端的右半部分'.-1 ;1 _- 表示只含有的似然值。統(tǒng)計量 G服從自由度為p的；分布2.3 Score 檢驗在零假設"1 ： - = 0下，設參數(shù)的估計值為-工，即對應的"=0。計算Scor

8、e統(tǒng)計 量的公式為(2.6 )上式中，.山：；表示在"=0下的對數(shù)似然函數(shù)(1.9 )的一價偏導數(shù)值，而：學 表示在一=0下的對數(shù)似然函數(shù)(1.9 )的二價偏導數(shù)值。Score統(tǒng)計量服從自由度等于1的 / 分布。2.4 模型擬合信息模型建立后，考慮和比較模型的擬合程度。有三個度量值可作為擬合的判斷根據(jù)。(1) -2LogLikelihood簡寫為AIC)(2) Akaike 信息準則(Akaike In formation Criterio n.AlC = -2LogL+2(K+S)(2.8)S=2-1=1。其中K為模型中自變量的數(shù)目，S為反應變量類別總數(shù)減1,對于邏輯回歸有-2Lo

9、gL的值域為0至二，其值越小說明擬合越好。當模型中的參數(shù)數(shù)量越大時，似然值也就越大，-2LogL就變小。因此，將2(K+S)加到AIC公式中以抵銷參數(shù)數(shù)量產(chǎn)生的影響。在其它條件不變的情況下，較小的AIC值表示擬合模型較好。(3) Schwarz 準則這一指標根據(jù)自變量數(shù)目和觀測數(shù)量對-2LogL值進行另外一種調(diào)整。SC指標的定義為SC 二-2 必四+2(K+S)恤(2.9)其中l(wèi)n(n)是觀測數(shù)量的自然對數(shù)。這一指標只能用于比較對同一數(shù)據(jù)所設的不同模型。在 其它條件相同時，一個模型的AIC或SC值越小說明模型擬合越好。3. 回歸系數(shù)解釋3.1發(fā)生比odds=p/(1-p)率(odds rati

10、 on).Y(1)連續(xù)自變量。對于自變量，每增加一個單位，odds rati on 為(3.1)(2)二分類自變量的發(fā)生比率。變量的取值只能為0或1,稱為dummy variable。當 i 取值為1，對于取值為0的發(fā)生比率為(3.2)亦即對應系數(shù)的幕。(3)分類自變量的發(fā)生比率。如果一個分類變量包括 m個類別，需要建立的dummyvariable的個數(shù)為m-1,所省略的那個類另U稱作參照類 (reference category) 。設 dummy variable為，其系數(shù)為照類，其發(fā)生比率為1。3.2邏輯回歸系數(shù)的置信區(qū)間對于置信度1-亠，參數(shù) 的100% (1 - _：)的置信區(qū)間為上

11、式中，：為與正態(tài)曲線下的臨界乙值(critical valueA為系數(shù)估計代的以-£席x s卷A+迓x翌標準誤差，.和f ft-'兩值便分別是置信區(qū)間的下限和上限。當樣本較大時，= 0.05水平的系數(shù)-：的95%置信區(qū)間為A±1 河%( 3.4 )4. 變量選擇4.1 前向選擇(forward select ion 一次一個地加入模型。):在截距模型的基礎上，將符合所定顯著水平的自變量(1)具體選擇程序如下常數(shù)(即截距)進入模型。(2)(3)根據(jù)公式(2.6 )計算待進入模型變量的Score檢驗值，并得到相應的P值。找出最小的p值，如果此p值小于顯著性水平,則此變量

12、進入模型。如果此變量 是某個名義變量的單面化 (dummy)變量，則此名義變量的其它單面化變理同時也進入模型。 不然，表明沒有變量可被選入模型。選擇過程終止。(4) 回到(2)繼續(xù)下一次選擇。4.2后向選擇(backward selection ):在模型包括所有候選變量的基礎上，將不符合保留 要求顯著水平的自變量一次一個地刪除。具體選擇程序如下(1)所有變量進入模型。 根據(jù)公式(2.1 )計算所有變量的 Wald檢驗值，并得到相應的p值。(3) 找出其中最大的p值，如果此P值大于顯著性水平、則此變量被剔除。對于某個名義變量的單面化變量，其最小p值大于顯著性水平，則此名義變量的其它單面化變量也

13、 被刪除。不然，表明沒有變量可被剔除，選擇過程終止。(4) 回到(2)進行下一輪剔除。4.3 逐步回歸(stepwise selection)(1)基本思想：逐個引入自變量。每次引入對Y影響最顯著的自變量，并對方程中的老變量逐個進行檢驗，把變?yōu)椴伙@著的變量逐個從方程中剔除掉，最終得到的方程中既不漏掉對Y影響顯著的變量，又不包含對Y影響不顯著的變量。 篩選的步驟：首先給出引入變量的顯著性水平和剔除變量的顯著性水平“，然后按下圖篩選變量。乳7=工士 、 -2JY>、叫用丄I引小魚I(亦爲£J一亠-.-卽冷J. I(3)逐步篩選法的基本步驟逐步篩選變量的過程主要包括兩個基本步驟：一是

14、從不在方程中的變量考慮引入新變量的步驟；二是從回歸方程中考慮剔除不顯著變量的步驟。假設有p個需要考慮引入回歸方程的自變量. 設僅有截距項的最大似然估計值為二。對p個自變量每個分別計算Score檢驗值，設有最小p值的變量為-，且有“1 / 1，對于單面化(dummy)變量，也如此。若5 <血 ，則此變量進入模型，不然停止。如果此變量是名義變量單面化(dummy)的變量,則此名義變量的其它單面化變量也進入模型。其中為引入變量的顯著性水平。 為了確定當變量在模型中時其它p-1個變量也是否重要，將/ -分 別與進行擬合。對p-1個變量分別計算 Score檢驗值，其p值設為I。設有最小p值的 變量為,且有 二唄內(nèi)）.若他 < 兔 ，則進入下一步，不然停止。對于單面化變量，其方式如同上步。 此步開始于模型中已含有變量< 與；I。注意到有可能在變量被引入后，變量2不再重要。本步包括向后刪除。根據(jù) （2.1）計算變量與：I的Wald檢驗