選修2-2——-綜合法和分析法

1、2 . 2直接證明與間接證明2 . 2.1綜合法和分析法盜紀(jì)血曰凸探餐啟舂夯戛國玉教.材助試<1. 問題導(dǎo)航(1) 什么是綜合法，什么是分析法？兩種證明方法的特點是什么？(2) 綜合法的推理過程是什么？(3) 綜合法與分析法有什么區(qū)別和聯(lián)系？2. 例題導(dǎo)讀通過P85例1的學(xué)習(xí)，應(yīng)學(xué)會利用綜合法證明數(shù)學(xué)問題的思路和方法及推理步驟通過 P87例2和P88例3的學(xué)習(xí)，學(xué)會分析法證明數(shù)學(xué)問題的思路、方法和推理模式.1 .綜合法定義推證過程特點利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定| P? Q1 t Q1? Q2 t順推 證法 或由 因?qū)?果法義、公理、定理等，經(jīng)過一系 列的推理論證，最后推導(dǎo)出所 要證明的結(jié)論

2、成立，這種證明 方法叫做綜合法Q2? Q3 T> Qn? Q(P表示已知條件、已有的定義、公 理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論)2分析法定義推證過程特點從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它Q?P1 t P1?P2 t成立的充分條件，直至最后，把要證 明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立 的條件(已知條件、定理定義、公理 等)為止，這種證明方法叫做分析法tP2?P3 T得到一個明顯 成立的條件逆推證法或執(zhí)果 索因法1判斷(正確的打“V”，錯誤的打“X”)(1) 綜合法是執(zhí)果索因的逆推證法.()(2) 綜合法的推理過程實際上是尋找它的必要條件.()(3) 分析法就是從結(jié)論推向已知.()(4) 所有證明

3、的數(shù)學(xué)問題均可使用分析法證明.()答案：(1)X (2) V (3) X (4) X2. 綜合法是()A 執(zhí)果索因的逆推證法B 由因?qū)Ч捻樛谱C法 C.因果分別互推的兩頭湊法D .原命題的證明方法答案：B3. 要證明，a+ a+ 7< a + 3 + ,a+ 4(a> 0)可選擇的方法有多種，其中最合理的是 ( )A .綜合法B .類比法C.分析法D .歸納法答案：C4命題“函數(shù)f(x)= x xln x在區(qū)間(0, 1)上是增函數(shù)”的證明過程“對函數(shù) f(x) = x xln x 求導(dǎo)，得 f' x) = In x,當(dāng) x (0, 1)時，f 'x)= In x&

4、gt;0,故函數(shù) f(x)在區(qū)間(0 , 1)上是 增函數(shù)”應(yīng)用了 的證明方法.解析：本命題的證明，利用已知條件和導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系證得了結(jié)論，應(yīng)用了綜合法的證明方法.答案：綜合法互動探究前刮剖析1 綜合法是一種直接證明的方法，是由已知推出正確結(jié)論的推理過程它的基本思路是“由因?qū)Ч?，由“已知”看“可知”?逐步推向“未知”，即從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā)， 經(jīng)過逐步的邏輯推理， 最后推出待證的問題. 其逐步推理，實際上是尋找“已知”的必要條 件，綜合法又叫順推證法，或者由因?qū)Ч?，是?shù)學(xué)中最常用的證明方法.2 分析法是數(shù)學(xué)中常用的一種直接證明方法它是從未知到已知(從結(jié)論到題設(shè))的邏輯推理，簡單

5、地說，分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.3綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法，是解決數(shù)學(xué)問題的常用的 思維方法.一般來說，分析法解題方向明確，利于尋求解題思路；而綜合法解題條理清晰，宜于表 述.因此在解決問題時， 通常以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表述解題過程.4綜合法、分析法的區(qū)別綜合法分析法推理方向順推，由因?qū)Ч嫱?，?zhí)果索因解題思路探路較難，易生枝節(jié):容易探路，利于思考表述形式形式簡潔，條理清晰敘述煩瑣，易出錯思路的側(cè) 重點側(cè)重于已知條件提供的信息側(cè)重于結(jié)論提供的信息探究案講練圧動綜合法1 訂.； (1)

6、在銳角三角形中，求證： sin A+ sin B+ sin C>cos A+ cos B + cos C.nn證明在銳角三角形中，A+ B>2,A>2 B.nnp<2 b<a<2 ,又在0 n內(nèi)正弦函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),2n'si n A>si n b = cos B,2 B即 sin A>cosB.同理 sin B>cos C,ABCD 中，/ B = Z C由 + + ，得 sin A+ sin B + sin C>cos A + cos B + cos C. sin C>cos A.如圖，在四棱錐=90 °

7、 , AB= 4, CD = 1,點 M 在 PB 上，且 PB= 4PM , PB 與平面 ABC 成 30° 角.求證: CM /平面FAD; 平面PAB丄平面 PAD.證明以C為原點，以CD、CB、CP所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略).由/ PBC= 30°,|PC|= 2，得 |BC|= 2 3, |PB|= 4，不難得到 D(1 , 0 , 0) , B(0 , 2 3, 0) , A(4 , 2：3 , 0) , P(0 , 0 , 2) , M 0 , -2, 2 .31設(shè) CM = xDP + yDA ,貝U x= 4 , y= 4.C

8、M , DP , dA共面.CM?平面 PAD , /-CM /平面 PAD.作BE丄PA于點E(圖略)，E(2 ,3 , 1) , BE = (2 , - ,；3,1).BE DA = 0, /.BE 丄 DA.又 BE丄 PA, /-BEX平面 PAD ,平面PAB丄平面PAD.廠| *桂訊i* f利用綜合法證明數(shù)學(xué)問題的三個步驟分析條件仔細分析題目的已知條件(包括隱含條件)，分析已知與結(jié)論之間的聯(lián)系選擇方向與區(qū)別，選擇相關(guān)的公理、定理、公式、結(jié)論，確定恰當(dāng)?shù)慕忸}方法轉(zhuǎn)化條件把題目的已知條件，轉(zhuǎn)化成解題所需要的語言,主要是文字、符號、圖 組織過程形三種語言之間的轉(zhuǎn)化，組織過程時要有嚴(yán)密的邏

9、輯，簡潔的語言，清晰的思路適當(dāng)調(diào)整解題后回顧解題過程，可對部分步驟進行調(diào)整，并對一些語言進行適當(dāng) 回顧反思的修飾，反思總結(jié)解題方法的選取1. (1)求證：當(dāng) x R 時，/>3x 3.證明： x (3x 3) = X 3x+ 33 23=x-2 +4，3 2門又,:x R ,. x0，3 23 x 2 + 4>o,即 x2 (3x 3)>0,'x2>3x 3.m為常數(shù)，且n> 2），求證:(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為 3,且(3 m)Sn+ 2man= m + 3(n N*).其中 m 3. 求證：an是等比數(shù)列；3 若數(shù)列an的公比 q = f(m)，數(shù)

10、列bn滿足 bi = ai, bn = f(bn-1)( n N , 1為等差數(shù)列.bn證明：由(3 m)Sn + 2man= m + 3，得(3 m)Sn+1+ 2man+1= m+ 3.兩式相減，得(3 + m)an +1= 2man, m3,an+ 1an2mm+ 3an是等比數(shù)列. t(3 m)Sn + 2man= m + 3, (3 m)ai + 2mai= m+ 3, a= 1.2mbi = ai = 1, q= f(m)=,m + 3當(dāng)門 N且n>2時,3bn= 2f(bn l)=3 2bni2 bn i + 3bnbn i+ 3bn= 3bn i,i i _ibn bn

11、i 3ii b；是首項為i，公差為i的等差數(shù)列.分析法1：二；若 a>0，求證：-.a + /a+ 3<, a+1 + a + 2.證明要證a + ；a+ 3< 'a+ 1+ . a+ 2, 只需證(打'a + ,"a + 3)2<("/a + 1 +r；a + 2)2, 即證 2a + 3 + 2 . a (a+ 3)<2a+ 3+ 2、(a + 1)( a+ 2),只需證 2 J；a (a+ 3) <2 ;： (a+ 1)( a + 2),只需證 I.：a (a+ 3) < v (a + 1)( a+ 2),只需

12、證 a?+ 3a<a?+ 3a+ 2,只需證0<2,因為0<2顯然成立，所以a+、.： a+ 3<: a+ 1 + : a + 2成立.廠盤桂料佛分析法證明數(shù)學(xué)問題的范圍、方法、技巧曲于一電條件復(fù)貳跡論輸單的訛耶先常用 球件缶*而對千X 件育單、緒論復(fù)余的諫 .陰*宿用井橋建"分析法詛明患跖姥從舉述明的結(jié)論出笈.誣 寺尋求它卓立腳充甘秦件.抵后潘到的左分 .察畔覺£妙【戍已證)的宜子用分析覽證明戟學(xué)誥星M.i崔走愴當(dāng)?shù)赜?奸“鼻遼” 蟲需試"甲址'等坷淆BtKWitnn2. (1)已知 a,卩均為銳角，且 a+ 蘆"2，(

13、1+ tan a )(1 + tan 卩)=2,求證：a+ 3= "4.n證明：要證a+ 3= 4，由于a, 3均為銳角，所以只需證 tan( a+ 3)= 1 ,tan a+ tan 3即證=1,1 tan atan 3只需證 tan a+ tan 3+ tan atan 3= 1,-(1 + tan a)(1 + tan 3) = 2,'tan a+ tan 3+ tan a tan 3= 1 成立，n t a+ 3= 4 得證.已知 ABC的三個內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，求證：(a + b)1+ (b+ c)1 = 3(a+ b +證明：要證(a+ b) 1 + (b+

14、 c)1 = 3(a+ b+ c) 1, 只需證丄+丄=3一,a+ b b+ c a+ b+ ca+ b+ c a+ b+ cc a即證+= 3，也就是證+= 1.a+ b b+ ca + b b+ c只需證 c(b+ c) + a(a+ b) = (a+ b)(b + c),需證 c2 + a2= ac+ b2,需證 b2= c2 + a2 2ac cos 60°，需證 B= 60 °.A、B、C成等差數(shù)列，B = 60°,.'(.a+ b) 1+ (b+ c)1= 3(a + b + c) 1.綜合法與分析法的綜合應(yīng)用1"點 設(shè)f(x) =

15、ax2 + bx+ c(a豐0)，若函數(shù)f(x+ 1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，求證：f x+ ；為偶函數(shù).1證明法一：要證fx+ 2為偶函數(shù)，只需證明其圖象的對稱軸為y軸，即只需證-2a - 2= 0,只需證a = b.由已知，得拋物線f(x+ 1)的對稱軸x= 2a 1與拋物線f(x)的對稱軸x= 2a關(guān)于y軸 對稱，b彳b_2 1= 2a .于是得a = b.1f x+2為偶函數(shù).1法二：記 F(x)= f x + 2 ,欲證F(x)為偶函數(shù)，只需證 F( x) = F(x),即只需證f x +1 = f x + 2 ,由已知，函數(shù)f(x+ 1)與f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，而函數(shù)f

16、(x)與f( x)的圖象也是關(guān)于y軸對稱的，'f( x)= f(x+ 1).1 1 1'f x+ 2 = f x 2 = f x2 +11=f x+ 2 ,1f x+2為偶函數(shù).廠| *桂滋i* f一方面從問題的已知條件出發(fā)，經(jīng)邏輯推演導(dǎo)出中途結(jié)果，另一方面從問題的結(jié)論出發(fā)，回溯到中途，即導(dǎo)出同一個中途結(jié)果，從而溝通思路使問題得到解決.、電.眼賒訓(xùn)揀a + bb + cc+ a3. (1)若a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：lg廠+ 廠+ 廠>lg a+ lg b+ lg c.、a+ bb + c c+ a證明：要證 lg §+ lg 2+ lg 2 >

17、;lg a + lg b + lg c ,只需證lga+ b b+ c c+ a2 2 2a + b b+ cc+ aa + b .>lg(abc)，只需證 一L>abc.因為 一, ab>0,b+ c2> bc>0,c+ a a+ b b + cc+ aa + b b+ c,ca>0,且上述二式中的等號不全成立，所以一匸 >abc.因此lg + lg廠c+ a+ lg_>lg a+ lg b + lg c.(2)在某兩個正數(shù)x, y之間插入一個數(shù) a，使x, a, y成等差數(shù)列，插入兩數(shù)b, c,使x, b, c, y 成等比數(shù)列，求證：(a+

18、 1)2> (b+ 1)(c+1).2a = x+ y,證明：由已知得 b2= cx,c2= by,b2c2* C，y= b， 前b2 c2即 x + y= c + b，b2 c2 從而2a = +匸.c b要證(a + 1)2> (b+ 1)(c+ 1),只需證 a + 1 - (b+ 1)( c+1)成立.(b+ 1) + ( c+ 1)只需證a + 12即可.壬b2 c2也就是證 2a>b+ c.而2a = 一+,c bb2 c2則只需證一+ > b + c成立即可，c b即證 b3+ c3= (b+ c)(b2 bc+ c2) > (b+ c)bc,即證

19、b2+ c2 bc> bc,即證(b c)2> 0成立，上式顯然成立，-1規(guī)范解答綜合法在幾何證明中的應(yīng)用V (本題滿分12分)如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD為菱形，OA丄平面ABCD , E為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，(a+ 1)2> (b + 1)(c+ 1).平面BDO丄平面 ACO;(2)EF /平面 OCD.證明因為OA丄平面ABCD ,BD?平面 ABCD，所以 0A丄BD.2分因為底面ABCD是菱形，所以 AC丄BD ,又OA A AC = A，所以BD丄平面ACO.4分又因為BD?平面BDO，所以平面 BDO丄平面ACO.6分(2)取OD的中點M

20、，連接EM , CM ,1貝U ME / AD, ME = 2AD.7 分因為ABCD是菱形，所以 AD / BC, AD = BC,因為F為BC的中點，8分1所以 CF / AD, CF = 2AD,所以 ME / CF, ME = CF ,10 分所以四邊形EFCM是平行四邊形，所以 EF / MC.又因為EF?平面OCD, MC?平面 OCD.所以EF /平面OCD.12分規(guī)范與警示(1) 在 處易忽略“菱形”這一條件的運用導(dǎo)致無法證明面面垂直在處往往不能正確的構(gòu)造出平行四邊形導(dǎo)致無法得到線線平行，最后導(dǎo)致第(2)問結(jié)論無法證出.(2) 幾何證明的前提是熟練地應(yīng)用各個判定定理及性質(zhì)定理，

21、注意各個定理的應(yīng)用格式，掌握常見的輔助線的作法，尋找好定理所需的條件，如本例中構(gòu)造平行四邊形說明線線平行.同時證明時要注意應(yīng)用題中的條件，注意隱含條件的挖掘，如果漏掉某一條件或?qū)δ骋粭l件挖掘不深則會導(dǎo)致題目無法證明.1 關(guān)于綜合法和分析法的說法錯誤的是()A 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法B 綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч–.綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法D 分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法解析：選C.由綜合法、分析法的定義可知，C錯誤.2. 在厶 ABC 中，tan A tan B>1，則 ABC 是()A 銳角三角形B 直角三角形C.鈍角三角形D 不確定解析：

22、選 A. '-'tan A tan B>1 ,.tan A>0, tan B>0,tan A + tan B :A、B 為銳角，又 tan(A + B) =<0,1 tan Ata n Bnn'A + B>2, C<- , A/ABC是銳角三角形，故選 A.3. 已知函數(shù)f(x) = ax2 + bx+ c的圖象過點(一1, 3)和(1, 1)，若0<c<1,則實數(shù)a的取 值范圍是3= a b + c, 解析：將 x= 1, y= 3 和 x= 1, y= 1 代入 y = ax2 + bx+ c 中，得1 = a+ b

23、+ c,'b = 1 , a+ c= 2，又0<c<1 ,.°0<2 a<1, 1<a<2.答案：(1, 2)4. 設(shè) a>0 , b>0,證明.ab.a + br證明：要證一> ,ab,只需證a + b>2 . ab,即證 a+ b 2、; ab0,只需證（.a b）2> 0,a+ b.上式顯然成立，故 2.ab成立.訓(xùn)練案仙能提升A.基礎(chǔ)達標(biāo)1 .命題“對于任意角0, cos4 9 Sin4 0 = cos 2 B ”的證明過程為："cos4 0 sin4 0 =（cos2 B sin2 0 ）（

24、cos2 0 + sin2 0 ）= cos2 0 sin20= cos 2 0”，其應(yīng)用了（）A 分析法B .綜合法C.綜合法、分析法綜合使用D 類比法解析：選B.從證明過程來看，是從已知條件入手，經(jīng)過推導(dǎo)得出結(jié)論，符合綜合法的 證明思路.2.欲證2 .3V .67成立，只需證()A . (2引2 V ( 6 7)2B. (2 6)2< ( ,3 . 7)2C. (.2+7)2< ( .6 + .3)2D . (2. 3 . 6)2< ( . 7)2解析：選C.A中，2 3<0, 6 7<0,平方后不等價；B、D與A情況一樣；只有C 項，2 -. 3< 6

25、 ,7? ,2 + ,7< ,6+ ,3? ( ,2 + , 7)2<( ,3+ . 6)2.3.函數(shù)f（x）=|log3x|在區(qū)間a, b上的值域為0, 1，則b a的最小值為（）A. 2 1%解析：B. 121 1 選D.由函數(shù)f(x) = |log3x|在區(qū)間a, b上的值域為0, 1,則a = 3, 1W bw 3;或？2<a< 1, b= 3,故b a的最小值為3，故選D.4. 已知a, b, c為三條不同的直線， 且a?平面M, b?平面N, MQ N= c.有下列命題： 若a不垂直于c,則a與b 一定不垂直；若 a / b，則必有a/ c;若a丄b, a丄

26、c,則 必有平面 M丄平面N.其中正確的是（）A .B .C.D .x15.已知函數(shù)f(x) = 2a,解析：選B.由線線平行、線線垂直的判定和性質(zhì)，可知只有正確.2abb £(0 ,z), A f+r ,B=f(.ab) ,C=f7+b，則 A,B, C的大小關(guān)系為()B. AWCW BD. C W BW A a + b2A . AW BW CC. BW CW A解析：選 A. a>0, b>0,5 1,a+ b皿 w ab. a + b又 f(x)= 2為減函數(shù),.fa+ b22ab w fC.ab) < 右，故選A.6. 在不等邊三角形中，a為最大邊，要想得到

27、 A為鈍角的結(jié)論，對三邊 a, b, c應(yīng)滿足的條件是a2b2+ c2(填“” “彗”或“w” ).答案：7. 若拋物線y= 4x2上的點P到直線y= 4x 5的距離最短，則點P的坐標(biāo)為 .解析：設(shè)點P在直線y= 4x+ m上，將y= 4x+ m代入y= 4x2,得4* 4x m= 0，令 =0，得 m= 1. 4x2 4x+ 1 = 0,.x= 2, y= 1.1答案：刁1&正方體 ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，在正方體的表面上與點 A距離為爭的點集形 成一條曲線，這條曲線的長度為 .解析：這條曲線在面 ADD 1A1上的一段是以 A為圓心，¥為半徑，2為圓心角的一

28、段36圓弧，在面A1B1C1D1上的一段是以A1為圓心，f為半徑，亍為圓心角的一段圓弧，由正方 體的對稱性知，這條曲線的長度為：3(6+ 2 j3)=答案：豊3 n6n9. A ABC的三邊a, b, c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B.2 11證明：由條件得7= - + -，b a c'2c即b =.a+ c又 T cos B=a2+ c2 b2ac ，'cos B =a2 + c2 2ac 2a+ c2ac(a2+ c2)( a + c) 2 4a2c22ac (a + c)''a, b, c均為正數(shù)，'a2+ c2> 2ac,(a+ c)2>

29、 4ac,(a2 + J)(a+ c)2 4a2c2> 2ac 4ac 4a2c2=4a2c2>0,n即 cos B>0，又'0<B< n,J3<.1 110. 已知 x>0, y>0,求證：(x2+ y2)2>(x3+ y3)3.1 1證明：要證明(x2+ y2)2>(x3+ y3)3,只需證(x2+ y2)3>(x3 + y3)2,即證 x6 + 3x4y2 + 3x2y4 + y6>x6 + 2x3y3 + y6,即證 3x4y2 + 3x2y4>2x3y3.'x>0, y>0,.x

30、2y2>0，即證 3x2 + 3y2>2xy,3/+ 3y2>x2 + y2> 2xy,Sx2+ 3y2>2xy 成立，1 1故(x2+ y2)2>(x3 + y3)3.B.能力提升1. 若 2m + 4n<2 2，則點(m，n)必在()A .直線x+ y= 1的右上方B .直線x+ y= 1的左下方C.直線x+ 2y= 1的右上方D .直線x+ 2y = 1的左下方解析：選 D.由均值不等式得 2m + 4n>2 2m4n= 2 2叫2n, A2' 2m + 2n<2 . 2,5+ 2n<1 , 故選D.2. 過x2 + y

31、2= 10x內(nèi)一點(5, 3)有n條弦，它們的長度構(gòu)成等差數(shù)列，最小弦長為數(shù)列1 1 一首項a1，最大弦長為數(shù)列的末項an，若公差d 3,-，則n的取值范圍是()A . 4B. 5 , 7C. (7，+m )D . (0 ,+ )解析：選B.A(5, 3),圓心0(5, 0)，最短弦為垂直 OA的弦， a1= 8，最長弦為直徑,、 2 1 2 1 an= 10,公差 d=,w y,.5w nW 7.n 13 n 123. 函數(shù)y= a1 x(a>0且a* 1)的圖象恒過定點 A,若點A在直線mx+ ny 1 = 0(m n>0)1 1上，則一+ -的最小值為m n解析：由函數(shù)y=

32、a1 x(a>0且a* 1)恒過定點 A(1, 1),點A在直線mx+ ny 1 = 0上，5 + n 1 = 0,即 m+ n = 1.又 m n>0,-m>0, n>0.m+n = m+冷+n=2+m +m2+黑=2+2=4當(dāng)且僅當(dāng)m= n=如取等號).答案：44. 設(shè)a>b>0, m>0,用分析法證明b<b+m成立的充分條件是 .a a + m解析：/ a>b>0, m>0.b b + m要證a< 成立,a a + mbb + m只需證一 a(a+ m)<a(a + m)成立即可.aa + m即證 ab+ bm

33、<ab+ am 成立,只需證 bm<am 成立，即證(b a)m<0成立即可,由已知可知上式顯然成立.OA、OB,求證:答案：(b a)m<05. 如圖所示，過拋物線y2= 2px(p>0)的頂點任作兩條互相垂直的弦AB過x軸上的一個定點.證明：設(shè) A(X1, yi), B(x2, y2),OA 丄 OB,yiy2X1X2=1,y2y2= xix2,'yi = 2pxi, y2= 2px2, ，4p2xiX2=(X1X2)2 ,.X1X2= 4p2.設(shè)直線AB與x軸的交點為M(m,0)，設(shè)直線 AB的方程為y yi = k(x xi)(k 0)，且k存在.yi令 y = o,得 X= ； + xi ,由yi= 2pxi, y2= 2px2，兩式相減，得y2 yi= 2p(x2 xi),y2 yik=X2 Xi2py2+ yiyi yi (yi + y2) X + Xi+ X