伽略金近似方法與數(shù)值方法的比較分析(II)

1、伽略金近似方法與數(shù)值方法的比較分析(II張敏1 段鈺鋒2 許彬1 張鈞波1 王志永11南京理工大學(xué)動(dòng)力工程學(xué)院,南京(2100942東南大學(xué)潔凈煤發(fā)電和燃燒技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,南京(210096摘 要:在介紹伽略金近似方法基本概念的基礎(chǔ)上,在結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格中,對(duì)穩(wěn)態(tài)/非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,同時(shí)進(jìn)行數(shù)值解、精確解和近似解的計(jì)算。通過(guò)比較計(jì)算結(jié)果,得到了令人滿足的一致性。這些充分證明伽略金近似方法的可靠性和實(shí)用性。 關(guān)鍵詞:伽略金近似方法,數(shù)值方法,精確解在求解偏微分方程的眾多方法中,伽略金近似方法是行之有效的方法之一。伽略金近似方法中,權(quán)函數(shù)的構(gòu)造和選取是一個(gè)十分關(guān)鍵的問(wèn)題。在此,我們給出兩個(gè)熱傳導(dǎo)算

2、例,針對(duì)權(quán)函數(shù)的選取,給出近似解,并將其同數(shù)值解與精確解進(jìn)行比較分析,為今后采用伽略金近似方法求解該類問(wèn)題提供有價(jià)值的參考和幫助1-6。1. 基本概念和方程對(duì)于一個(gè)非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題,我們可以用下式來(lái)描述,(211,T T r t A r T r t g r t tk +=R內(nèi),t>0(1.1a (,s s T HT r t f r t S n+=處,t>0(1.1b (T F r =t=0,R內(nèi)(1.1c 或者有,(21(,(,(,01(,LT r t A r T r t g r t kT r t T r t t+=區(qū)域R內(nèi)(1.2a(,s i i s iT H T f r n B

3、 T r t +=i 邊界s 處(1.2b式中T 為溫度,L 是線性微分算子,B 是線性邊值條件算子。選取近似試探解,T r t 為如下形式,01,(ni j j T r t r c r f t R =+區(qū)域內(nèi)(1.3式中,試探函數(shù)(0r 為滿足邊界條件方程(1.2的非齊次部分,而試探函數(shù)(j r 滿足齊次部分,即(0s B f r =(1.4a 01,2,j B j n =K(1.4b顯然方程(1.3中試探解滿足問(wèn)題全部邊界條件,但它并不一定滿足微分方程(1.1。若將試探解代入微分方程(1.1就會(huì)有余量,因?yàn)橹挥薪圃囂浇馐蔷_解時(shí),余量才為零。對(duì)于選定的試探函數(shù)有幾個(gè)可調(diào)參數(shù)組成,通過(guò)對(duì)參

4、數(shù)j c 的調(diào)整,可使余量盡可能的小,則由此得到的解,對(duì)精確解而言可認(rèn)為是一種很好的近似。為了確定未知系數(shù)j c ,伽略金法要求,在問(wèn)題所討論的區(qū)域內(nèi),余量的加權(quán)平均為零,即(01,(01,2,n i R nj j i Rj L T r t w r dV L r c r f t r dV i n=+= K (1.5式中,(i r 為權(quán)函數(shù)。通過(guò)上面關(guān)系式會(huì)得到一組用于確定n 個(gè)系數(shù)12,n c c c K 的代數(shù)方程。由方程式(1.5所示的表達(dá)式可作如下解釋:它等價(jià)于表達(dá)式n L T 與試探函數(shù)系(j r 的全部函數(shù)正交。權(quán)函數(shù)(1,2,i r i n =K 可認(rèn)為在區(qū)域R 內(nèi)是完備的。這樣,

5、如若把屬于這個(gè)完備系的全部權(quán)函數(shù)i 都包括進(jìn)去,則方程式(1.5成立的必要條件對(duì)應(yīng)著問(wèn)題的精確解。然而在伽略金法中,方程式(1.5考慮的只是這個(gè)函數(shù)系中的有限個(gè)數(shù),因此,最終的解將是近似的。請(qǐng)注意,試探函數(shù)系(j r 和權(quán)函數(shù)(i r 是相同正交函數(shù)系。下面我們用一個(gè)穩(wěn)態(tài)算例和一個(gè)非穩(wěn)態(tài)算例予以說(shuō)明。2. 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)算例分析在一維有限區(qū)域內(nèi),兩側(cè)邊界為零度,區(qū)域內(nèi)有非常數(shù)的內(nèi)熱源。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程和邊界條件數(shù)學(xué)描述為,2201d T AT Bx dxx +=<<(2.1a 001T x x =和(2.1b式中A 和B 是常數(shù)(A=B=1,用伽略金方法可得,(21200i x d T

6、 AT Bx x dx dx =+=% (2.2設(shè)單項(xiàng)式試探解為,(111(1T x c x c x x =% (2.3方程式(2.2中權(quán)函數(shù)為,(21i x x x x x =(2.4顯然,試探/權(quán)函數(shù)(x 滿足方程(2.1b 所示的邊界條件。把上兩式代入方程式(2.2有,121102(1(0x cAc x x Bx x x dx =+=(2.5積分有,13423101453410(/3/4/3(/4/5/3/40c Ax Ax x Bx c Ax Ax x Bx += (2.6因此得,(1541/1018B c A =(2.7由此得到單項(xiàng)式試探解為,(51141/1018B Tx x x

7、x x A =%(2.8該問(wèn)題的精確解為,(1/21/2sin sin sin sin1B A x xT x x x A A =( (2.9此算例與參考文獻(xiàn)6中,用里茲方法求得的結(jié)果完全相同,由于篇幅所限,在此我們就不贅述。3. 一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)算例分析一塊平板,01x ,初始溫度為(20,1T x t T x =;在時(shí)間0t >時(shí),0x =處的邊界維持絕熱,1x =處的邊界溫度維持零度?，F(xiàn)用伽略金法求平板內(nèi)溫度分布(,Tx t %的近似解,并與精確解(,T x t 作比較。該問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述為,(22,101,0T x t Tx t t x =<<> (3.1a 00,

8、0T x t x => (3.1b 01,0T x t =>(3.1c (2010,01T T x t x =(3.1d 將伽略金法用于式(3.1a ,對(duì)x 求積分得到,(212010i x TT x dx x t =% (3.2選單項(xiàng)式試探解為,(21010,1T x t T f t x T f t x =%( (3.3方程式(3.2/3.3中,試探/權(quán)函數(shù)為,(21i x x =(3.4函數(shù)(f t 仍是待定的。顯然,上所選的試探解滿足問(wèn)題的初始條件及兩個(gè)邊界條件。積分式(3.2有,1220002(1/(10x T f x T f x dx = (3.5a 1335002(/3

9、(2/3/5/(20T x x f x x x f +=(3.5b 稍作運(yùn)算之后可得(f t 的微分方程為,(5002df t f t t dt +=>(3.6(10f t t =(3.7(f t 的解為,(5/2t f t e =(3.8且單項(xiàng)式近似解(,Tx t %為, (5/220,/1t T x t T x e =% (3.9此問(wèn)題的精確解可求得,(2031,/41cos n ntn n nT x t T e x = (3.10式中,(212n n +=(3.11表1對(duì)近似解與精確解作了比較。由表1可見(jiàn),即便是單項(xiàng)式近似解,它與精確解也相當(dāng)一致。要得到更為完善的近似解,可選更高階

10、的試探解,其形式可為,(01,nni i t T x t T f t x =% (3.12其中,函數(shù)(i t 滿足問(wèn)題的邊界條件,而函數(shù)(i f t (01if =可從常微分方程中求得,而該常微分方程是由對(duì)變量x 作偏積分的伽略金法中得到。表1 近似解與精確解的比較(/100T T T ×%x0.01t =0.1t =1t =0.20.6+1 +2-1 +5.5+4.4 +3.1我們?cè)谶M(jìn)行數(shù)值計(jì)算時(shí),物性參數(shù)如下(單位為國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)單位,001000.511w p T T k C =(3.13圖1為三個(gè)不同時(shí)刻溫度變化的曲線,圖2為三個(gè)不同位置溫度隨時(shí)間變化的曲線。圖3為t=0.18s 時(shí)刻,精確解與數(shù)值解的比較結(jié)果,圖中背景云圖為數(shù)值解,虛線為精確解。圖4為t=0.18s 時(shí)刻,近似解與數(shù)值解的比較結(jié)果,圖中背景云圖為數(shù)值解,虛線為近似解。圖5為t=0.18s 時(shí)刻,近似解與精確解的比較結(jié)果,圖中背景云圖