余數的性質及其計算

1、帶余除法除法公式的應用【例 1】 某數被13除，商是9，余數是8，則某數等于 ?！究键c】除法公式的應用 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2009年，希望杯，第七屆，四年級，復賽，第2題，5分【解析】 125【答案】【例 2】 一個三位數除以36，得余數8，這樣的三位數中，最大的是_。【考點】除法公式的應用 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，四年級，復賽，第3題【解析】 因為最大的三位數為，所以滿足題意的三位數最大為：【答案】【鞏固】 計算口÷，結果是：商為10，余數為。如果的值是6，那么的最小值是_?！究键c】除法公式的應用 【難度】1星 【題型】填空

2、【關鍵詞】2005年，希望杯，第三屆，五年級，復賽，第4題，6分【解析】 根據帶余除法的性質，余數必須小于除數，則有 的最小值為7。【答案】【例 3】 除法算式中，被除數最小等于 。 【考點】除法公式的應用 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2007年，第5屆，希望杯，4年級，初賽，4題【解析】 本題的商和余數已經知道了，若想被除數最小，則需要除數最小即可，除數最小是，所以本題答案為：20×（8+1）+8=188.【答案】【例 4】 71427和19的積被7除，余數是幾?【考點】除法公式的應用 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】第一屆，華杯賽，初賽，第14題【解析】 71427被

3、7除，余數是6，19被7除，余數是5，所以71427×19被7除，余數就是6×5被7除所得的余數2?！敬鸢浮俊眷柟獭?在下面的空格中填上適當的數?！究键c】除法公式的應用 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2004年，第2屆，走美杯，3年級，決賽，第10題，12分【解析】 本題的被除數、商和余數已經給出，根據除法的計算公式：被除數除數商余數，逆推計算得到：除數(2004713)÷742=27?！敬鸢浮俊眷柟獭?寫出全部除109后余數為4的兩位數 【考點】除法公式的應用 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】美國長島，小學數學競賽，第五屆【解析】 因此，這樣的兩位數是

4、：15；35；21【答案】兩位數是：15；35；21【例 5】 甲、乙兩數的和是，甲數除以乙數商余，求甲、乙兩數【考點】除法公式的應用 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】清華附中，小升初分班考試【解析】 (法1)因為 甲乙，所以 甲乙乙乙乙；則乙，甲乙(法2)將余數先去掉變成整除性問題，利用倍數關系來做：從中減掉以后，就應當是乙數的倍，所以得到乙數，甲數【答案】乙數，甲數【例 6】 用某自然數去除，得到商是46，余數是，求和【考點】除法公式的應用 【難度】2星 【題型】解答【關鍵詞】第五屆，小數報，決賽【解析】 因為是的倍還多,得到，得，所以，【答案】，【例 7】 有三個自然數，已知除以，得

5、商3余3；除以，得商9余11。則除以，得到的余數是 ?！究键c】除法公式的應用 【難度】2星 【題型】填空【關鍵詞】2010年，第8屆，希望杯，5年級，初賽，第4題，6分【解析】所以應該余2?！敬鸢浮俊纠?8】 有兩個自然數相除，商是，余數是，已知被除數、除數、商與余數之和為，則被除數是多少？【考點】除法公式的應用 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】年，小學數學奧林匹克【解析】 被除數除數商余數被除數除數+17+13=2113，所以被除數除數=2083，由于被除數是除數的17倍還多13，則由“和倍問題”可得：除數=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除數=2083-115

6、=1968【答案】1968【鞏固】 兩數相除，商4余8，被除數、除數、商數、余數四數之和等于415，則被除數是_【考點】除法公式的應用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2002年，小學數學奧林匹克【解析】 因為被除數減去8后是除數的4倍，所以根據和倍問題可知，除數為，所以，被除數為?！敬鸢浮?24【例 9】 一個自然數，除以11時所得到的商和余數是相等的，除以9時所得到的商是余數的3倍，這個自然數是_.【考點】除法公式的應用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2004年，福州市，迎春杯【解析】 設這個自然數除以11余，除以9余，則有，即，只有，所以這個自然數為?！敬鸢浮?4【例 10】

7、盒子里放有編號1到10的十個球，小紅先后三次從盒子中共取出九個球，如果從第二次起，每次取出的球的編號的和都比上一次的兩倍還多一，那么剩下的球的編號為_?！究键c】除法公式的應用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】第五屆，走美杯，四年級，初賽，第11題【解析】 令第1次取的編號為a，第二次取的編號為2a+1，第三次取的編號為：2（2a+1）+1=4a+3；還剩下的編號為：55-7a-4=517a，當a為6時，余下的是9；當a為7時，余下的是2.【答案】或者【例 11】 10個自然數，和為100，分別除以3。若用去尾法，10個商的和為30；若用四舍五入法，l0個商的和為3410個數中被3除余l(xiāng)的有

8、_個【考點】除法公式的應用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，第六屆，走美杯，五年級，初賽，第13題【解析】 由題意，“用去尾法，10個商的和為30；用四舍五入法，l0個商的和為34”可知，10個數中除以3余2的數有34-30=4（個），又知道10個自然數的和為100，設除以3余1的數有個，那么根據用去尾法后十個商的和與10個自然數的和，可得關系式：，解得，?！敬鸢浮俊纠?12】 除以某個整數后所得的商恰好是余數的倍，那么除數最小可能是 ?！究键c】除法公式的應用 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，學而思杯，4年級，第2題【解析】 設除數為，商為，余數為，則，且?？梢?/p>

9、將除式轉化為，所以，所以和是的約數，在的約數中只有被除所得的余數為，所以，?！敬鸢浮俊纠?13】 在大于2009的自然數中，被57除后，商與余數相等的數共有_個.【考點】除法公式的應用 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2009年，第14屆，華杯賽，初賽，第10題【解析】 根據題意，設這樣的數除以57所得的商和余數都為a（a57），則這個數為57×a+a=58a。所以58a2009，得到a2009÷58=，由于a為整數，所以a至少為35.又由于a57，所以a最大為56，則a可以為35，36，37，56.由于每一個a的值就對應一個滿足條件的數，所以所求的滿足條件的數共有56

10、-35+1=22個。【答案】【例 14】 用1、9、8、8這四個數字能排成幾個被11除余8的四位數？【考點】除法公式的應用 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】第二屆，華杯賽，初賽，第14題【解析】 用1、9、8、8可排成12個四位數，即1988，1898，1889，9188，9818，9881，8198，8189，8918，8981，8819，8891它們減去8變?yōu)?980，1890，1881，9180，9810，9873，8190，8181，8910，8973，8811，8883其中被11整除的僅有1980，1881，8910，8811，即用1、9、8、8可排成4個被1除余8的四位數，即1

11、988，1889，8918，8819.【又解】什么樣的數能被11整除呢？一個判定法則是：比較奇位數字之和與偶位數字之和，如果它們之差能被11除盡，那么所給的數就能被11整除，否則就不能夠現在要求被11除余8，我們可以這樣考慮：這樣的數加上3后，就能被11整除了所以我們得到“一個數被11除余8”的判定法則：將偶位數字相加得一個和數，再將奇位數字相加再加上3，得另一個和數，如果這兩個和數之差能被11除盡，那么這個數是被11除余8的數；否則就不是要把1、9、8、8排成一個被11除余8的四位數，可以把這4個數分成兩組，每組2個數字其中一組作為千位和十位數，它們的和記作A；另外一組作為百位和個位數，它們

12、之和加上3記作B我們要適當分組，使得能被11整除現在只有下面4種分組法：經過驗證，第（1）種分組法滿足前面的要求：A18，B98320，BA11能被11除盡但其余三種分組都不滿足要求根據判定法則還可以知道，如果一個數被11除余8，那么在奇位的任意兩個數字互換，或者在偶位的任意兩個數字互換，得到的新數被11除也余8于是，上面第（1）分組中，1和8中任一個可以作為千位數，9和8中任一個可以作為百位數這樣共有4種可能的排法：1988，1889，8918，8819答：能排成4個被11除余8的數【答案】【例 15】 科學家進行一項實驗，每隔5小時做一次記錄。做第十二次記錄時，掛鐘的時針恰好指向9，問做第

13、一次記錄時，時針指向幾?【考點】找規(guī)律計算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】第一屆，華杯賽，初賽，第15題【解析】 從第一次記錄到第十二次記錄，相隔十一次，共5×1155(小時)。時針轉一圈是12小時，55除以12余數是7，972答：時針指向2?！敬鸢浮俊纠?16】 一筐蘋果分成小盒包裝，每盒裝只，剩只；每盒裝只，剩只。每盒裝只，剩 只?！究键c】找規(guī)律計算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，第6屆，走美杯，4年級，決賽，第3題，8分【解析】 除以余的數從小到大為、，其中，所以除以余，除以余的數從小到大排列為、，其中，因此剩只或者只?！敬鸢浮炕颉眷柟獭?有一列數：1，

14、3，9，25，69，189，517，其中第一個數是1，第二個數是3，從第三個數起，每個數恰好是前面兩個數之和的2倍再加上1，那么這列數中的第2008個數除以6，得到的余數是 【考點】找規(guī)律計算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2008年，希望杯，第六屆，五年級，初賽，第4題，6分【解析】 這列數除以6的余數有以下規(guī)律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，因為，所以第2008個數除以6余1【答案】1【例 17】 有一串數：1，1，2，3，5，8，從第三個數起，每個數都是前兩個數之和，在這串數的前2009個數中，有幾個是5的倍數？【考點】找規(guī)律計算 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】2009

15、年，走美，初賽，六年級【解析】 由于兩個數的和除以5的余數等于這兩個數除以5的余數之和再除以5的余數所以這串數除以5的余數分別為：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，可以發(fā)現這串余數中，每20個數為一個循環(huán)，且一個循環(huán)中，每5個數中第五個數是5的倍數由于，所以前2009個數中，有401個是5的倍數【答案】401【例 18】 將七位數“1357924”重復寫287次組成一個2009位數“13579241357924”。刪去這個數中所有位于奇數位上的數字；按上述方法一直刪除下去直到剩下一個數字為止，則最后剩下的數字是 【考點】找規(guī)律計

16、算 【難度】4星 【題型】解答【關鍵詞】2009年，第14屆，華杯賽，決賽，第3題【解析】 本題考察二進制，最后剩下的數是位值上的數字，周期為，所以，那么每個周期中的第二個數是3【關鍵詞】【例 19】 30粒珠子依8粒紅色、2粒黑色、8粒紅色、2粒黑色的次序串成一圈，一只螞蚱從第2粒黑珠子起跳，每次跳過6粒珠子落在下一粒珠子上，這只螞蚱至少要跳 次才能落到黑珠子上?！究键c】找規(guī)律計算 【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】2006年，第4屆，走美杯，3年級，初賽，第12題【解析】 觀察可知，每次跳過6粒珠子，則隔7個珠子，現在知第1個黑珠子在10，第二個在17，第3個在24，第4個在31-30=

17、1，第5個在38-10=8，第6個在5，第7個在2，第8個在30。所以這只螞蚱至少要跳7次才能落到黑珠子上?！敬鸢浮看巍纠?20】 有這樣一類2009位數，它們不含有數字0，任何相鄰兩位（按照原來的順序）組成的兩位數都有一個約數和20相差1，這樣的2009位數共有_個【考點】找規(guī)律計算 【難度】5星 【題型】填空【關鍵詞】2009年，學而思杯，5年級，第8題【解析】 第一個數確定，就能確定第二個數，以此類推，整個數就定下來了，所以一共就個數?！敬鸢浮總€【例 21】 在兩位數10，11，98，99中，將每個被7除余2的數的個位與十位之間添加一個小數點，其余的數不變問：經過這樣改變之后，所有數的和

18、是多少?【考點】找規(guī)律計算 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】1995年，第5屆，華杯賽，初賽，第15題【解析】 原來的總和是101198994905被7除余2的兩位數是7×2216，7×3223，7×13293共12個數。這些數按題中要求添加小數點以后，都變?yōu)樵瓟档?，因此這一手續(xù)使總和減少了(162393)×(1)×588.6所以，經過改變之后，所有數的和是4905588.64316.4【答案】模塊四、特殊的數字9【例 22】 將從1開始的到103的連續(xù)奇數依次寫成一個多位數：A135791113151719219799101103。則數a

19、共有_位，數a除以9的余數是_。【考點】特殊數字9 【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】2006年，第11屆，華杯賽，初賽，第12題【解析】 一位的奇數有5個，兩位的奇數有45個，再加兩個三位奇數，所以a是一個5+2×45+3×2=101（位）數。從1開始的連續(xù)奇數被9除的余數依次為1，3，5，7，0，2，4，6，8，1，3，5，7，0，2，4，6，8，從1開始，每周期為9個數1，3，5，7，0，2，4，6，8的循環(huán)。因為（1+3+5+7+0+2+4+6+8）被9除余數為0，從1-89恰為5個周期，所以這個101位數a被9除的余數為1+3+5+7+0+2+4被9除的余數，等

20、于4。解法2：一個自然數被9除的余數和這個自然數所有數字之和被9除的余數相同，利用這條性質，a=135791113151719219799101103中13579的數字和被9除的余數是7，而1113151719219799所有數字之和被9除的余數是0，101103的數字和被9除的余數是6。所以，a被9除的余數是（7+6）被9除的余數，是4?！敬鸢浮课唬鄶凳怯鄶档男再|【例 1】 幼兒園的老師給班里的小朋友送來40只桔子，200塊餅干，120塊奶糖。平均分發(fā)完畢，還剩4只桔子，20塊餅干，12粒奶糖。這班里共有_位小朋友?！究键c】余數的加減法定理 【難度】1星 【題型】填空【關鍵詞】2005年，第3屆，走美杯，4年級，決賽，第3題，8分【解析】 40-4=36，200-20=180，120-12=108。小朋友的人數應是36，180，108的大于20的公約數，只有36?！敬鸢浮俊纠?2】 從1，2，3，4，2007中取N個不同的數，取出的數中任意三個的和能被15整除N最大為多少？【考點】余數的加減法定理 【難度】3星 【題型】解答【關鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽，六年級，第8題【解析】 取出的N個不同的數中，任意三個的和能被15整除，則其中任意兩個數