線性代數(shù)行列式的計(jì)算與性質(zhì)

1、線性代數(shù)行列式的計(jì)算與性質(zhì)行列式在數(shù)學(xué)中，是一個(gè)函數(shù)，其定義域?yàn)榈木仃嚕≈禐橐粋€(gè)標(biāo)量，寫(xiě)作或。行列式可以看做是有向面積或體積的概念在一般的歐幾里得空間中的推廣。或者說(shuō)，在  維歐幾里得空間中，行列式描述的是一個(gè)線性變換對(duì)“體積”所造成的影響。無(wú)論是在線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論，還是在微積分學(xué)中（比如說(shuō)換元積分法中），行列式作為基本的數(shù)學(xué)工具，都有著重要的應(yīng)用。行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過(guò)程中。十七世紀(jì)晚期，關(guān)孝和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來(lái)確定線性方程組解的個(gè)數(shù)以及形式。十八世紀(jì)開(kāi)始，行列式開(kāi)始作為獨(dú)立的數(shù)學(xué)概念被研究。十九世紀(jì)以后，行列式理論進(jìn)一步得到發(fā)展和完善

2、。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用，出現(xiàn)了線性自同態(tài)和矢量組的行列式的定義。行列式的特性可以被概括為一個(gè)多次交替線性形式，這個(gè)本質(zhì)使得行列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)。矩陣A 的行列式有時(shí)也記作 |A|。絕對(duì)值和矩陣范數(shù)也使用這個(gè)記法，有可能和行列式的記法混淆。不過(guò)矩陣范數(shù)通常以雙垂直線來(lái)表示（如：），且可以使用下標(biāo)。此外，矩陣的絕對(duì)值是沒(méi)有定義的。因此，行列式經(jīng)常使用垂直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。例如，一個(gè)矩陣：A=，行列式也寫(xiě)作，或明確的寫(xiě)作：A=，即把矩陣的方括號(hào)以細(xì)長(zhǎng)的垂直線取代行列式的概念最初

3、是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來(lái)的。行列式的提出可以追溯到十七世紀(jì)，最初的雛形由日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和與德國(guó)數(shù)學(xué)家戈特弗里德·萊布尼茨各自獨(dú)立得出，時(shí)間大致相同。一、行列式的定義與計(jì)算一個(gè)n 階方塊矩陣 A 的行列式可直觀地定義如下：其中， 是集合 1, 2, ., n 上置換的全體，即集合 1, 2, ., n 到自身上的一一映射（雙射）的全體； 表示對(duì)  全部元素的求和，即對(duì)于每個(gè) ， 在加法算式中出現(xiàn)一次；對(duì)于每一對(duì)滿(mǎn)足  的數(shù)對(duì)

4、0;， 是矩陣 A 的第 i 行第 j 列的元素。 表示置換  的符號(hào)差，具體地說(shuō)，滿(mǎn)足  但  的有序數(shù)對(duì)  稱(chēng)為  的一個(gè)逆序。 如果  的逆序共有偶數(shù)個(gè)，則 ，如果共有奇數(shù)個(gè)，則 。舉例來(lái)說(shuō)，對(duì)于3元置換 （即是說(shuō) ，）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2個(gè)逆序（偶數(shù)個(gè)），因此 ，從而3階行列式中項(xiàng)  的符號(hào)是正的。但

5、對(duì)于三元置換 （即是說(shuō) ，）而言，可以數(shù)出共有3個(gè)逆序（奇數(shù)個(gè)），因此 ，從而3階行列式中項(xiàng)  的符號(hào)是負(fù)的。注意到對(duì)于任意正整數(shù)n， 共擁有n!個(gè)元素，因此上式中共有n!個(gè)求和項(xiàng)，即這是一個(gè)有限多次的求和。對(duì)于簡(jiǎn)單的2階和3階的矩陣，行列式的表達(dá)式相對(duì)簡(jiǎn)單，而且恰好是每條主對(duì)角線（左上至右下）元素乘積之和減去每條副對(duì)角線（右上至左下）元素乘積之和（見(jiàn)圖中紅線和藍(lán)線）。2階矩陣的行列式：3階矩陣的行列式： =+-但對(duì)于階數(shù)  的方陣A，這樣的主對(duì)角線和副對(duì)角線分別只有n條，由于A 的主、副對(duì)角線總條數(shù)的元

6、素個(gè)數(shù) 因此，行列式的相加項(xiàng)中除了這樣的對(duì)角線乘積之外，還有其他更多的項(xiàng)。例如4階行列式中，項(xiàng) 就不是任何對(duì)角線的元素乘積。不過(guò)，和2、3階行列式情況相同的是，n階行列式中的每一項(xiàng)仍然是從矩陣中選取n個(gè)元素相乘得到，且保證在每行和每列中都恰好只選取一個(gè)元素，而整個(gè)行列式恰好將所有這樣的選取方法遍歷一次。另外，n×n 矩陣的每一行或每一列也可以看成是一個(gè)n元矢量，這時(shí)矩陣的行列式也被稱(chēng)為這n個(gè)n元矢量組成的矢量組的行列式二、行列式的性質(zhì)行列式的一些基本性質(zhì)，可以由它的多線性以及交替性推出。在行列式中，一行（列）元素全為0，則此行列式的值為0。在行列式中，某一行（列）

7、有公因子k，則可以提出k。在行列式中，某一行（列）的每個(gè)元素是兩數(shù)之和，則此行列式可拆分為兩個(gè)相加的行列式。行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負(fù)符號(hào)51。在行列式中，有兩行（列）對(duì)應(yīng)成比例或相同，則此行列式的值為0。將一行（列）的k倍加進(jìn)另一行（列）里，行列式的值不變。注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改變。將行列式的行列互換，行列式的值不變，其中行列互換相當(dāng)于轉(zhuǎn)置。這個(gè)性質(zhì)可以簡(jiǎn)單地記作例如行列式的乘法定理：方塊矩陣的乘積的行列式等于行列式的乘積。特別的，若將矩陣中的每一行每一列上的數(shù)都乘以一個(gè)常數(shù)r，那么所得到的行列式不是原來(lái)的r倍，而是rn倍。以上的乘法公式還可以進(jìn)一

8、步推廣為所謂柯西比內(nèi)公式，從而使得只要兩個(gè)矩陣的乘積是方塊矩陣，就有類(lèi)似于以上的結(jié)果：假設(shè) A 是一個(gè)  矩陣，而 B 是一個(gè)  矩陣。如果 S 是 中具有 m 個(gè)元素的子集，我們記 AS 為 A 中列指標(biāo)位于 S 中的  子矩陣。類(lèi)似地，記 BS 為 B 中行指標(biāo)位于 S 中的  子矩陣。那么這里求遍

9、60;中 m 個(gè)元素的所有可能子集 S（共有 C(n,m) 個(gè)）。如果 m = n，即 A 與 B 是同樣大小的方塊矩陣，則只有一個(gè)容許集合 S，柯西比內(nèi)公式退化為通常行列式的乘法公式。如過(guò) m = 1 則有 n 容許集合 S，這個(gè)公式退化為點(diǎn)積。如果 m > n，沒(méi)有容許集合 S，約定行列式 det(AB) 是零54。若A是可逆矩陣，55。由行列式的乘法定理以及

10、0;可以知道，行列式定義了一個(gè)從一般線性群到上的群同態(tài)。若將方塊矩陣中的元素取共軛，得到的是矩陣的共軛矩陣。共軛矩陣的行列式值等于矩陣行列式值的共軛：若兩個(gè)矩陣相似，那么它們的行列式相同。這是因?yàn)閮蓚€(gè)相似的矩陣之間只相差一個(gè)基底變換，而行列式描述的是矩陣對(duì)應(yīng)的線性映射對(duì)體積的影響，而不是體積，所以基底變換并不會(huì)影響行列式的值。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是：如果兩個(gè)矩陣A與B相似，那么存在可逆矩陣P使得，所以行列式是所有特征值（按代數(shù)重?cái)?shù)計(jì)）的乘積。這可由矩陣必和其若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型相似推導(dǎo)出。特殊地，三角矩陣的行列式等于其對(duì)角線上所有元素的乘積。由于三角矩陣的行列式計(jì)算簡(jiǎn)便，當(dāng)矩陣的系數(shù)為域時(shí)，可以通過(guò)高斯消去法將矩陣變換成三角矩陣，或者將矩陣分解成三角矩陣的乘積之后再利用行列式的乘法定理進(jìn)行計(jì)算。可以證明，所有的矩陣A都可以分解成一個(gè)上三角矩陣U、一個(gè)下三角矩陣L以及一個(gè)置換矩陣P的乘積：。這時(shí)，矩陣A的行列式可以寫(xiě)成：