示范一元二次不等式的應(yīng)用

1、2.2 一元二次不等式的應(yīng)用整體設(shè)計教學(xué)分析 一元二次不等式的應(yīng)用非常廣泛,它貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的始終,諸如集合問題,方程解的討論,函數(shù)定義域、值域的確定等,都與不等式有著密切的關(guān)系.一元二次不等式在生產(chǎn)生活中也有廣泛的應(yīng)用.一元二次不等式的應(yīng)用在教材上共安排了4個例題.前2個體現(xiàn)了一元二次不等式的解的情況與不等式的解之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,以及分式不等式與整式不等式之間的轉(zhuǎn)化.這兩個例題均體現(xiàn)了一種形式之間的轉(zhuǎn)化.由此向?qū)W生點明,在解數(shù)學(xué)題時, 轉(zhuǎn)化的必要性,讓學(xué)生體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.第3個例題是簡單的高次不等式,主要是試圖讓學(xué)生體會,如何將前面解一元二次不等式的數(shù)形結(jié)合的思想方法,用在解決一個

2、沒有見過的新的較復(fù)雜的不等式的求解中.既是一種思維上的創(chuàng)新,同時也是一種挑戰(zhàn).教學(xué)時要注重分析過程,從分析所顯示的函數(shù)的各種信息中,想象出函數(shù)圖像的輪廓,從而得出不等式的解.整個解題過程體現(xiàn)了一種方法的類比與轉(zhuǎn)化,但在教學(xué)中應(yīng)控制難度,只限于a0時形如a(x-x1)(x-x2)(x-x3)>0（<0)的不等式. 最后一個例題是一元二次不等式的應(yīng)用題,有一定難度.主要是問題敘述文字較長,條件較多,一時難以把握.其關(guān)鍵是如何把文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言.教學(xué)時可以告訴學(xué)生,這個問題的分析過程具有典型意義,在今后對此類問題的解決中應(yīng)當(dāng)注意把一個大問題化成若干小問題的思維習(xí)慣,化整為零.在把實

3、際問題中的文字語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言的同時,要注意問題答案的實際意義,還要增強解決問題的自信心,不要被問題的表面形式所嚇倒.三維目標(biāo)1.圍繞一元二次不等式的解法展開,突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.2.根據(jù)實數(shù)運算的符號法則,會將分式不等式與簡單的高次不等式轉(zhuǎn)化為與其等價的兩個或多個不等式,同時注意分式不等式的同解變形.3.通過一元二次不等式的應(yīng)用的學(xué)習(xí),體會轉(zhuǎn)化與歸納、數(shù)形結(jié)合思想的運用,體驗數(shù)學(xué)的奧妙與數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.重點難點教學(xué)重點:含字母參數(shù)的不等式及分式不等式與簡單的高次不等式,一元二次不等式的實際應(yīng)用.教學(xué)難點:一元二次不等式的實際應(yīng)用.課時安排1課時教學(xué)過程導(dǎo)入新課思路1.(直接導(dǎo)

4、入)上一小節(jié)中,我們討論了一元二次不等式的解法,本節(jié)課我們一起探究一元二次不等式在分式不等式、簡單的高次不等式以及在實際問題中的應(yīng)用.思路2.(問題導(dǎo)入)由于本節(jié)安排的第一個例題(即課本例9)體現(xiàn)了一元二次方程的解的情況與不等式的解之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,與前面學(xué)習(xí)的“三個二次”之間的關(guān)系類似.因此,可從學(xué)生探究該例引入新課.推進新課新知探究提出問題回憶一元二次不等式、一元二次方程、二次函數(shù)的關(guān)系.如何根據(jù)實數(shù)運算的符號法則轉(zhuǎn)化分式不等式?活動:在解二次不等式一節(jié)里,我們已經(jīng)知道,借助二次函數(shù)及其圖像,可以把二次方程與二次不等式聯(lián)系到一起,得到二次不等式的解.把這種關(guān)系推廣就可以得到:對于函數(shù)y=f(

5、x),函數(shù)圖像在x軸上方即f(x)函數(shù)值大于0時,自變量的取值的集合是不等式f(x)>0的解集;函數(shù)圖像在x軸下方即f(x)函數(shù)值小于0時,自變量的取值的集合是不等式f(x)<0的解集;函數(shù)圖像與x軸相交即f(x)函數(shù)值等于0時,自變量的取值的集合是方程f(x)=0的解集.對一元二次不等式的解法應(yīng)達到“心算”的程度,即對所給的一元二次不等式要能夠通過“心算”得出其方程兩根,再在腦海中想象出二次函數(shù)圖像,立即得到原不等式的解.解分式不等式的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化,根據(jù)實數(shù)運算的符號法則,分式不等式的同解變形有如下幾種:(1)(x)0f(x)·g(x)0;(2)(x)0f(x)·

6、;g(x)0;(3)(x)0f(x)·g(x)0且g(x)0;(4)(x)0f(x)·g(x)0且g(x)0. 分式不等式與簡單的高次不等式在轉(zhuǎn)化為一次或二次不等式組時,每一步變形,都應(yīng)是不等式的等價變形.在等價變形時,要注意什么時候取交集,什么時候取并集.帶等號的分式不等式,要注意分母不能為零.另外,在取交集、并集時,可以借助數(shù)軸的直觀效果,這樣可避免出錯.討論結(jié)果:略.應(yīng)用示例例1 解下列不等式.(1)0;(2)<3. 活動:教師與學(xué)生一起探究,對這種分子分母含x的因式的不等式,先把不等式的右邊化為0,再通過符號法則,把它轉(zhuǎn)化成整式不等式求解.從而使問題化繁為簡,

7、化難為易.解:(1)按商的符號法則,不等式0可轉(zhuǎn)化成不等式(x+1)(x-3)0,但x3.解這個不等式,可得x-1或x>3,即知原不等式的解集為x|x-1或x>3.(2)不等式<3可改寫為-3<0(不等式的右邊為0),即<0.仿(1),可將這個不等式轉(zhuǎn)化成2(x-1)(x+1)<0,解得-1<x<1.所以,原不等式的解集為x|-1<x<1. 點評:教師引導(dǎo)學(xué)生認真反思本例的思想方法,領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化的應(yīng)用,但要注意轉(zhuǎn)化的等價性.同時提醒學(xué)生注意最后結(jié)果要寫成集合或區(qū)間的形式.變式訓(xùn)練1.（2007上海春季高考）若關(guān)于x的不等式>0的

8、解集為（-,-1）(4,+)，則實數(shù)a=_.解析：由題意知4為因式x-a的根，則a=4.答案：42.不等式>0的解集是_.解析：x|x<-1或x>2,不等式>0等價于(x+1)(x-2)>0.解這個一元二次不等式得x<-1或x>2.原不等式的解集是x|x<-1或x>2.答案：x|x<-1或x>2例2 解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0.活動:這是一個三次不等式,教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面是如何利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解一元二次不等式的.本例我們雖然沒有見過,但可利用對函數(shù)圖像的分析來解決這個問題.讓學(xué)生探究函數(shù)圖像的大致形

9、狀,由此寫出不等式的解集.解:設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).(1)顯然,y=f(x)的圖像與x軸的交點有三個,它們的坐標(biāo)依次是(1,0),(2,0),(3,0);(2)函數(shù)y=f(x)的圖像把x軸分成了四個不相交的區(qū)間,它們依次為(-,1),(1,2),(2,3),(3,+);(3)當(dāng)x>3時,f(x)>0.又函數(shù)y=f(x)的圖像是一條不間斷的曲線,并且f(x)的符號每順次經(jīng)過x軸的一個交點就會發(fā)生一次變化,由此知道y=f(x)的函數(shù)值的符號如圖1所示.圖1變化規(guī)律很明顯,從右到左在每個區(qū)間符號正負相間.通過分析,知道不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的

10、解集為(1,2)(3,+). 點評:如果把函數(shù)f(x)圖像與x軸的交點(1,0),(2,0),(3,0)形象地看成“針眼”,函數(shù)f(x)的圖像看成“線”,那么上述這種求解不等式(x-1)(x-2)(x-3)>0的方法,我們形象地把它稱為穿針引線法.例3 國家原計劃以2 400元/t的價格收購某種農(nóng)產(chǎn)品m t,按規(guī)定,農(nóng)戶向國家納稅為每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點,即8%).為了減輕農(nóng)民負擔(dān),制定積極的收購政策.根據(jù)市場規(guī)律,稅率降低x個百分點,收購量能增加2x個百分點.試確定x的范圍,使稅率調(diào)低后,國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%.活動:解決這類實際問題,關(guān)鍵是把文字

11、語言轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)語言:(1)“稅率降低x個百分點”,即調(diào)節(jié)后稅率為(8-x)%;(2)“收購量能增加2x個百分點”,這時總收購量為m(1+2x%) t,總收購價為2 400m(1+2x%)元;(3)“總收入不低于原計劃的78%”,即稅率調(diào)低后,“稅收總收入”2 400m×8%×78 %.解:設(shè)稅率調(diào)低后的“稅收總收入”為y元.y=2 400m(1+2x%)(8-x%)=-m(x2+42x-400)(0<x8).依題意,得y2 400m×8%×78%,即-m(x2+42x-400)2 400m×8 %×78%,整理,得x2+42x-

12、880,解得-44x2.根據(jù)x的實際意義,知0<x8,所以0<x2為所求.答:x的取值范圍是0<x2. 點評:本例難度較大,因此本題采用了“化整為零”的辦法,即逐條分析轉(zhuǎn)化,要學(xué)會這種方法.在今后對此類問題的解決中,注意把一個大問題化成若干個小問題的思維習(xí)慣,不要被問題的表面形式所迷惑.變式訓(xùn)練 某種商品原來定價為每件p元，每月將賣出n件.假若定價上漲x成(這里即,0<x10),每月賣出數(shù)量減少y成，而售貨金額變成原來的z倍.若y=x,求使售貨金額比原來有所增加的x的取值范圍.解：依題意漲價后的售貨金額為npz=p(1+)·n·(1-),np(1+)

13、(1-)>np.n>0,p>0,y=x,(1+)(1-x)>1.整理得x2-5x<0,解這個一元二次不等式，得0<x<5.又0<x10,0<x<5.故x的取值范圍是x|0<x<5.知能訓(xùn)練1.設(shè)f(x)，則不等式f(x)>2的解集為（ ）A.(1,2)(3,+) B.(,+) C.(1,2)(,+) D.(1,2)解析：f(x)= 不等式f(x)>2的解集由或解得.解得1<x<2,解得x>.綜上，不等式f(x)>2的解集為(1,2)(,+).答案：C2.課本本節(jié)練習(xí)1 14.課堂小結(jié)1.由學(xué)生歸納整理本節(jié)所學(xué)的知識方法,整合求解分式不等式及簡單高次不等式的思想方法,及化整為零解決實際問題的思維方法.2.教師進一步強調(diào),本節(jié)為解一元二次不等式的最后一節(jié),對本節(jié)體現(xiàn)的“三個二次問題”以及轉(zhuǎn)化的思想方法、數(shù)形結(jié)合的思想方法,要深刻理解,牢牢掌握,并靈活地應(yīng)用.作業(yè)課本習(xí)題32 A組8,B組1、2、3、4.設(shè)計感想1.本教案設(shè)計充分體現(xiàn)教為主導(dǎo),學(xué)為主體,思維訓(xùn)練為主線的新課標(biāo)理念.教學(xué)過程開放