第23講 圖解法

1、 第23講 圖解法 有許多應(yīng)用題，其中的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜，而通過畫圖可以把數(shù)量之間的關(guān)系變得直觀明了，從而達到解題目的。這種通過畫圖幫助解題的方法就是圖解法。我們通過下面幾道例題來講解在各種類型的應(yīng)用題中如何使用圖解法解題。例1 甲、乙、丙、丁與小強五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到現(xiàn)在為止，甲已經(jīng)賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1 盤。問：小強已經(jīng)賽了幾盤？分別與誰賽過？分析與解：這道題按照常規(guī)思路似乎不太好解決，我們畫個圖試試。用五個點分別表示參加比賽的五個人，如果某兩人已經(jīng)賽過，就用線段把代表這兩個人的點連結(jié)起來。因為甲已經(jīng)賽了4盤，除了甲以外還有4個點，所以

2、甲與其他4個點都有線段相連（見左下圖）。因為丁只賽了1盤，所以丁只與甲有線段相連。因為乙賽了3盤，除了丁以外，乙與其他三個點都有線段相連（見右上圖）。因為丙賽了2盤，右上圖中丙已有兩條線段相連，所以丙只與甲、乙賽過。由上頁右圖清楚地看出，小強賽過2盤，分別與甲、乙比賽。例2 一群人在兩片草地上割草，大的一片草地比小的正好大1倍。他們先全體在大的一片草地干了半天，下午留下一半人在大草地上繼續(xù)干，收工時正好把草割完；另一半人到小草地上干，收工時還余下一塊，這塊再用1人經(jīng)1天也可割完。問：這群干活的人共有多少位？分析與解：本題有多種解法，其中利用圖解法十分簡潔。設(shè)一半人干半天的工作量為1份。因為在大

3、草地上全體人干了半天，下午一半人又干了半天，正好割完，所以大草地的工作量是3份。由題意，小草地因為下午有一半人在小草地上干了半天，即干了1份，所以小草地沒干完的是例3 A，B兩地間有條公路，甲從A地出發(fā)步行到B地，乙騎摩托車從B地同時出發(fā)，不停頓地往返于A，B兩地之間。80分鐘后他們第一次相遇，又過了20分鐘乙第一次超越甲。求甲、乙速度之比。分析與解：在行程問題中，通常先畫出運行圖，這樣直觀清晰，可以幫助我們分析各個量之間的關(guān)系。依照題意畫運行圖如下：第一次相遇時甲、乙各行了80分鐘，到第一次超越時，甲共行100分鐘，而乙在第一次相遇到第一次超越的這20分鐘內(nèi)行的路程，相當(dāng)于甲行80100=1

4、80（分）的路。所以甲、乙的速度之比為2018019。例4 兩名運動員在長為50米的游泳池里來回游泳。甲運動員的速度是1米/秒，乙運動員的速度是0.5米/秒，他們同時分別在游泳池的兩端出發(fā)，來回共游了5分鐘，如果不計轉(zhuǎn)向時間，那么在這段時間里共相遇了幾次？分析與解：甲游完一個全程要50÷1=50（秒），乙游完一個全程要50÷0.5=100（秒），畫出這兩人的運行圖。圖中實線段和虛線段的每個交點表示兩運動員相遇了一次，從圖上可以看出，甲、乙兩運動員在5分鐘內(nèi)共相遇了5次，其中，有2次在游泳池的兩端相遇。例4中，如果按照相遇、追及的過程分別計算，是十分麻煩的。通過畫出運行圖，結(jié)果一目了然。例5 容器中有某種酒精含量的酒精溶液，加入一杯水后酒精含量降為25；再加入一杯純酒精后酒精含量升為40。那么原來容器中酒精溶液的酒精含量是多少？分析與解：把加完水和酒精后的酒精溶液分成5份，因為酒精含量是40，所以其中有2份純酒精，3份水（見左下圖，表示純酒精，表示水）。加入純酒精前酒精含量為25，即純酒精與水之比是13，因此應(yīng)該是1個和3個（見下中圖），推知加入的一杯純酒精相當(dāng)于1個，則一杯水是1個，原來容器中有1個和2個（見右下圖），酒精含量為33.3。例6 有三堆圍棋子，每堆棋子數(shù)相等。第一堆中的黑子與第二堆中的白子部棋子的幾分之幾？分析與解：因為三堆圍棋子數(shù)量相同，我們