高等代數(shù)-北京大學(xué)第三版--北京大學(xué)精品課程(共68頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一學(xué)期第一次課第一章 代數(shù)學(xué)的經(jīng)典課題§1 若干準(zhǔn)備知識(shí)1.1.1 代數(shù)系統(tǒng)的概念一個(gè)集合，如果在它里面存在一種或若干種代數(shù)運(yùn)算，這些運(yùn)算滿(mǎn)足一定的運(yùn)算法則，則稱(chēng)這樣的一個(gè)體系為一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)。1.1.2 數(shù)域的定義定義（數(shù)域） 設(shè)是某些復(fù)數(shù)所組成的集合。如果K中至少包含兩個(gè)不同的復(fù)數(shù)，且對(duì)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算是封閉的，即對(duì)內(nèi)任意兩個(gè)數(shù)、（可以等于），必有，則稱(chēng)K為一個(gè)數(shù)域。例1.1 典型的數(shù)域舉例： 復(fù)數(shù)域C；實(shí)數(shù)域R；有理數(shù)域Q；Gauss數(shù)域：Q (i) = i |Q，其中i =。命題 任意數(shù)域K都包括有理數(shù)域Q。證明 設(shè)為任意一個(gè)數(shù)域。由定義

2、可知，存在一個(gè)元素。于是。進(jìn)而Z, 。最后，Z，。這就證明了Q。證畢。1.1.3 集合的運(yùn)算，集合的映射（像與原像、單射、滿(mǎn)射、雙射）的概念定義(集合的交、并、差) 設(shè)是集合，與的公共元素所組成的集合成為與的交集，記作；把和B中的元素合并在一起組成的集合成為與的并集，記做；從集合中去掉屬于的那些元素之后剩下的元素組成的集合成為與B的差集，記做。定義（集合的映射） 設(shè)、為集合。如果存在法則，使得中任意元素在法則下對(duì)應(yīng)中唯一確定的元素（記做），則稱(chēng)是到的一個(gè)映射，記為如果，則稱(chēng)為在下的像，稱(chēng)為在下的原像。的所有元素在下的像構(gòu)成的的子集稱(chēng)為在下的像，記做，即。若都有 則稱(chēng)為單射。若 都存在，使得，則

3、稱(chēng)為滿(mǎn)射。如果既是單射又是滿(mǎn)射，則稱(chēng)為雙射，或稱(chēng)一一對(duì)應(yīng)。1.1.4 求和號(hào)與求積號(hào) 1求和號(hào)與乘積號(hào)的定義. 為了把加法和乘法表達(dá)得更簡(jiǎn)練，我們引進(jìn)求和號(hào)和乘積號(hào)。設(shè)給定某個(gè)數(shù)域上個(gè)數(shù)，我們使用如下記號(hào)：,.當(dāng)然也可以寫(xiě)成,.2. 求和號(hào)的性質(zhì). 容易證明，事實(shí)上，最后一條性質(zhì)的證明只需要把各個(gè)元素排成如下形狀：分別先按行和列求和，再求總和即可。第一學(xué)期第二次課§2一元高次代數(shù)方程的基礎(chǔ)知識(shí)1.2.1高等代數(shù)基本定理及其等價(jià)命題1. 高等代數(shù)基本定理 設(shè)為數(shù)域。以表示系數(shù)在上的以為變?cè)囊辉囗?xiàng)式的全體。如果，則稱(chēng)為的次數(shù)，記為。定理（高等代數(shù)基本定理） C的任一元素在C中必有零點(diǎn)

4、。命題 設(shè)是C上一個(gè)次多項(xiàng)式，是一個(gè)復(fù)數(shù)。則存在C上首項(xiàng)系數(shù)為的次多項(xiàng)式，使得證明 對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法。推論 為的零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)為的因式（其中）。命題（高等代數(shù)基本定理的等價(jià)命題） 設(shè) 為C上的次多項(xiàng)式，則它可以分解成為一次因式的乘積，即存在個(gè)復(fù)數(shù)，使證明 利用高等代數(shù)基本定理和命題1.3，對(duì)作數(shù)學(xué)歸納法。2高等代數(shù)基本定理的另一種表述方式定義 設(shè)是一個(gè)數(shù)域，是一個(gè)未知量，則等式 （1）（其中）稱(chēng)為數(shù)域上的一個(gè)次代數(shù)方程；如果以帶入（1）式后使它變成等式，則稱(chēng)為方程（1）在中的一個(gè)根。定理（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式） 數(shù)域上的次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)必有一個(gè)根。命題 次代數(shù)方程在復(fù)數(shù)域C內(nèi)有

5、且恰有個(gè)根（可以重復(fù)）。命題（高等代數(shù)基本定理的另一種表述形式）給定C上兩個(gè)n次、m次多項(xiàng)式，如果存在整整數(shù),及個(gè)不同的復(fù)數(shù)，使得，則。1.2.2 韋達(dá)定理與實(shí)系數(shù)代數(shù)方程的根的特性設(shè)，其中。設(shè)的復(fù)根為（可能有重復(fù)），則所以；我們記；（稱(chēng)為的初等對(duì)稱(chēng)多項(xiàng)式）。于是有定理2.5 (韋達(dá)定理) 設(shè)，其中。設(shè)的復(fù)根為。則；命題 給定R上次方程 ， ，如果i是方程的一個(gè)根，則共軛復(fù)數(shù)i也是方程的根。證明 由已知，.兩邊取復(fù)共軛，又由于R，所以.推論 實(shí)數(shù)域上的奇數(shù)次一元代數(shù)方程至少有一個(gè)實(shí)根。證明 因?yàn)樗膹?fù)根（非實(shí)根）必成對(duì)出現(xiàn)，已知它在C內(nèi)有奇數(shù)個(gè)根，故其中必有一根為實(shí)數(shù)。第一學(xué)期第三次課

6、7;3線(xiàn)性方程組 1.3.1數(shù)域K上的線(xiàn)性方程組的初等變換舉例說(shuō)明解線(xiàn)性方程組的Gauss消元法。定義（線(xiàn)性方程組的初等變換） 數(shù)域上的線(xiàn)性方程組的如下三種變換（1） 互換兩個(gè)方程的位置；（2） 把某一個(gè)方程兩邊同乘數(shù)域內(nèi)一個(gè)非零元素；（3） 把某一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的倍，這里的每一種都稱(chēng)為線(xiàn)性方程組的初等變換。容易證明，初等變換可逆，即經(jīng)過(guò)初等變換后的線(xiàn)性方程組可以用初等變換復(fù)原。命題 線(xiàn)性方程組經(jīng)過(guò)初等變換后與原方程組同解證明 設(shè)線(xiàn)性方程組為 （*）經(jīng)過(guò)初等變換后得到的線(xiàn)性方程組為（*），只需證明（*）的解是（*）的解，同時(shí)（*）的解也是（*）的解即可。設(shè)是（*）的解，即（*）中用代入后

7、成為等式。對(duì)其進(jìn)行初等變換，可以得到代入（*）后也成為等式，即是（*）的解。反之，（*）的解也是（*）的解。證畢。1.3.2線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣以及矩陣的初等變換定義（數(shù)域上的矩陣） 給定數(shù)域K中的個(gè)元素（，）。把它們按一定次序排成一個(gè)行列的長(zhǎng)方形表格稱(chēng)為數(shù)域K上的 一個(gè)行列矩陣，簡(jiǎn)稱(chēng)為矩陣。定義（線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣） 線(xiàn)性方程組中的未知量的系數(shù)排成的矩陣稱(chēng)為方程組的系數(shù)矩陣；如果把方程組的常數(shù)項(xiàng)添到內(nèi)作為最后一列，得到的矩陣稱(chēng)為方程組的增廣矩陣。定義(矩陣的初等變換) 對(duì)數(shù)域上的矩陣的行（列）所作的如下變換（1） 互換兩行（列）的位置；（2） 把某一行（列）乘以K內(nèi)一個(gè)

8、非零常數(shù)；（3） 把某一行（列）加上另一行（列）的倍，這里稱(chēng)為矩陣的行（列）初等變換。定義（齊次線(xiàn)性方程組） 數(shù)域上常數(shù)項(xiàng)都為零的線(xiàn)性方程組稱(chēng)為數(shù)域K上的齊次線(xiàn)性方程組。這類(lèi)方程組的一般形式是命題 變?cè)獋€(gè)數(shù)大于方程個(gè)數(shù)的齊次線(xiàn)性方程組必有非零解；證明 對(duì)變?cè)獋€(gè)數(shù)作歸納。說(shuō)明 線(xiàn)性方程組的解的存在性與數(shù)域的變化無(wú)關(guān)（這不同于高次代數(shù)方程）。事實(shí)上，在（通過(guò)矩陣的初等變換）用消元法解線(xiàn)性方程組時(shí)，只進(jìn)行加、減、乘、除的運(yùn)算。如果所給的是數(shù)域上的線(xiàn)性方程組，那么做初等變換后仍為上的線(xiàn)性方程組，所求出的解也都是數(shù)域中的元素。因此，對(duì)上線(xiàn)性方程組的全部討論都可以限制在數(shù)域中進(jìn)行。第一學(xué)期第四次課第二章

9、向量空間與矩陣第一節(jié) m維向量空間2.1.1 向量和m維向量空間的定義及性質(zhì)定義（向量）設(shè)是一個(gè)數(shù)域。中個(gè)數(shù)所組成的一個(gè)元有序數(shù)組稱(chēng)為一個(gè)m維向量； （）稱(chēng)為一個(gè)m維列向量；而稱(chēng)為一個(gè)m 維行向量。我們用記集合。定義（中的加法和數(shù)量乘法） 在中定義加法如下：兩個(gè)向量相加即相同位置處的數(shù)相加，即.在定義數(shù)量乘法為用中的數(shù)去乘向量的各個(gè)位置，即對(duì)于某個(gè)， 定義（維向量空間） 集合和上面定義的加法、數(shù)乘運(yùn)算組成的代數(shù)系統(tǒng)稱(chēng)為數(shù)域上的m維向量空間。命題（向量空間的性質(zhì)） 向量空間中的元素關(guān)于加法和數(shù)乘運(yùn)算滿(mǎn)足如下性質(zhì)（其中表示數(shù)域，表示中的向量）：（1） 加法結(jié)合律：；（2） 加法結(jié)合律：（3） 向量

10、（0,0,0）（記為）具有性質(zhì)：對(duì)于任意，有；（4） ，令，稱(chēng)其為的負(fù)向量，它滿(mǎn)足；（5） 對(duì)于數(shù)1，有（6） 對(duì)內(nèi)任意數(shù), ，有；（7） 對(duì)內(nèi)任意數(shù), ，有；（8） 對(duì)內(nèi)任意數(shù)，有 。2.1.2 線(xiàn)性組合和線(xiàn)性表出的定義定義（線(xiàn)性組合） 設(shè) ，則稱(chēng)向量為向量組的一個(gè)線(xiàn)性組合。定義（線(xiàn)性表示） 設(shè)，。如果存在，使得，則稱(chēng)可被向量組線(xiàn)性表示。2.1.3 向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義以及等價(jià)表述定義（線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)） 設(shè)。如果存在不全為零的，使得，則稱(chēng)線(xiàn)性相關(guān)，否則稱(chēng)為線(xiàn)性無(wú)關(guān)。注意：根據(jù)這個(gè)定義，線(xiàn)性無(wú)關(guān)可以表述如下：若，使得，則必有。如果，顯然線(xiàn)性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)齊次線(xiàn)性方程組有非零解，線(xiàn)

11、性無(wú)關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)此齊次線(xiàn)性方程組只有零解。命題 設(shè)，則下述兩條等價(jià)：1）線(xiàn)性相關(guān)；2）某個(gè)可被其余向量線(xiàn)性表示。證明 1）2）. 由于線(xiàn)性相關(guān)，故存在不全為零的個(gè)數(shù)，使得。不妨設(shè)某個(gè)。于是，由向量空間的性質(zhì)有2）1）. 如果某個(gè)可被其余向量線(xiàn)性表示，即存在，使得.由向量空間的性質(zhì)有.于是線(xiàn)性相關(guān)。證畢。推論 設(shè)，則下述兩條等價(jià)：1）線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2）任一不能被其余向量線(xiàn)性表示。第一學(xué)期第五次課2.1.4 向量組的線(xiàn)性等價(jià)和集合上的等價(jià)關(guān)系定義（線(xiàn)性等價(jià)） 給定內(nèi)的兩個(gè)向量組 ， （*） ， （*）如果向量組（*）中每一個(gè)向量都能被向量組（*）線(xiàn)性表示，反過(guò)來(lái)向量組（*）中的每個(gè)向量也都能被向量組（*

12、）線(xiàn)性表示，則稱(chēng)向量組（*）和向量組（*）線(xiàn)性等價(jià)。定義（集合上的等價(jià)關(guān)系） 給定一個(gè)集合，上的一個(gè)二元關(guān)系“”稱(chēng)為一個(gè)等價(jià)關(guān)系，如果“”滿(mǎn)足以下三條：（1） 反身性：；（2） 對(duì)稱(chēng)性：；（3） 傳遞性：。與等價(jià)的元素的全體成為所在的等價(jià)類(lèi)。命題 若與在不同的等價(jià)類(lèi)，則它們所在的等價(jià)類(lèi)的交集是空集。進(jìn)而一個(gè)定義了等價(jià)關(guān)系的集合可以表示為所有等價(jià)類(lèi)的無(wú)交并。證明 記所在的等價(jià)類(lèi)為，的等價(jià)類(lèi)為。若它們的交集非空，則存在，于是有。由等價(jià)關(guān)系定義中的對(duì)稱(chēng)性和傳遞性即知，與和在不同的等價(jià)類(lèi)矛盾。這就證明了和所在的等價(jià)類(lèi)交集是空集。而集合包含所有等價(jià)類(lèi)的并集，又集合中的任一個(gè)元素都屬于一個(gè)等價(jià)類(lèi)，于是集合

13、是等價(jià)類(lèi)的并集。綜上可知，命題成立。證畢。命題 給定內(nèi)兩個(gè)向量組 ， （1） ， （2）且（2）中每一個(gè)向量都能被向量組（1）線(xiàn)性表示。如果向量能被向量組（2）線(xiàn)性表示，則也可以被向量組（1）線(xiàn)性表示。證明 若向量組（2）中的每一個(gè)向量都可以被向量組（1）線(xiàn)性表示，則存在 ，使得 () . （i）由于能被向量組（2）線(xiàn)性表示，故存在 ，使得.將（i）代入，得，即可被線(xiàn)性表示。由此易推知命題 線(xiàn)性等價(jià)是的向量組集合上的等價(jià)關(guān)系。2.1.5向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組和向量組的秩定義（ 向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組） 設(shè)為中的一個(gè)向量組，它的一部分組稱(chēng)為原向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，若（1） 線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（

14、2） 中的每一個(gè)向量都可被線(xiàn)性表出。容易看出向量組和線(xiàn)性等價(jià)。引理 給定上的向量組和，如果可被線(xiàn)性表出，且，則向量組線(xiàn)性相關(guān)。證明 由于可被線(xiàn)性表出，故存在，使得 （*）設(shè) . （*）將（*）代入（*），得.設(shè)各系數(shù)均為零，得到 ， （*）（*）是一個(gè)含有個(gè)未知量和個(gè)方程的其次線(xiàn)性方程組，而，故方程組（*）有非零解，于是存在不全為零的，使得（*）成立。由線(xiàn)性相關(guān)的定義即知向量組線(xiàn)性相關(guān)。定理 線(xiàn)性等價(jià)的向量組中的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等。證明 設(shè)和中的線(xiàn)性等價(jià)的向量組。設(shè)向量組和分別是原向量組的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組，則由線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組的定義和線(xiàn)性等價(jià)的傳遞性知此二極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組線(xiàn)性等

15、價(jià)。由于可將中的每一個(gè)向量線(xiàn)性表出，知（否則由引理知向量組線(xiàn)性相關(guān)，矛盾）。同理。于是。推論 任意向量組中，任意極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)相等。定義（向量組的秩） 對(duì)于內(nèi)給定的一個(gè)向量組，它的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組所含的向量的數(shù)量稱(chēng)為該向量組的秩。第一學(xué)期第六次課第二章 §2矩陣的秩2.1.1矩陣的行秩與列秩、矩陣的轉(zhuǎn)置定義2.1 矩陣的行秩與列秩。一個(gè)矩陣的行向量組的秩成為的行秩，它的列向量組的秩稱(chēng)為的列秩。命題2.1 矩陣的行（列）初等變換不改變行（列）秩；證明 只需證明行變換不該行秩。容易證明，經(jīng)過(guò)任意一種初等行變換，得到的行向量組與原來(lái)的向量組線(xiàn)性等價(jià)，所以命題成立。證畢。定義2.

16、2 矩陣的轉(zhuǎn)置把矩陣A的行與列互換之后，得到的矩陣稱(chēng)為矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣。命題2.2 矩陣的行（列）初等變換不改變列（行）秩。證明 只需證明行變換不改變列秩。列變換可用矩陣的轉(zhuǎn)置證得。假設(shè)的列向量為，它的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組為，而經(jīng)過(guò)初等行變換之后的列向量為，只需證明是變換后列向量的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組即可。只需分別證明向量組（*）線(xiàn)性無(wú)關(guān)和中的任意一個(gè)向量都可以被（*）線(xiàn)性表出。構(gòu)造方程，由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，線(xiàn)性方程組只有零解。而方程是由經(jīng)過(guò)初等行變換得來(lái)的，而初等行變換是同解變換，所以只有零解，于是線(xiàn)性無(wú)關(guān)。對(duì)于的任意一個(gè)列向量，都可被線(xiàn)性表出，利用初等行變換是同解變換同樣可以證明經(jīng)過(guò)初等行變換

17、后，可以被（*）線(xiàn)性表出。證畢。推論 矩陣的行、列秩相等，稱(chēng)為矩陣的秩，矩陣的秩記為r；證明 設(shè)，不妨考慮，經(jīng)過(guò)行、列調(diào)換后，可使左上角元素不等于零。用三種行、列變換可使矩陣化為如下形式其中(*)代表一個(gè)矩陣。若（*）不是零矩陣，重復(fù)上面做法，歸納下去，最后得到形如的一個(gè)矩陣，可知，矩陣的行秩和列秩都等于矩陣中“1”的個(gè)數(shù)。于是由初等變換可逆和推論可以知道，矩陣的行秩等于列秩。定義2.3 一個(gè)矩陣的行秩或列秩成為該矩陣的秩，記作。2.2.2 矩陣的相抵定義2.4 給定數(shù)域上的矩陣和，若經(jīng)過(guò)初等變換能化為，則稱(chēng)矩陣和相抵。命題2.3 相抵是等價(jià)關(guān)系，且秩是相抵等價(jià)類(lèi)的完全不變量。證明 逐項(xiàng)驗(yàn)證等

18、價(jià)類(lèi)的定義，可知相抵是等價(jià)關(guān)系；由于初等變換不改變矩陣的秩，于是矩陣的秩是等價(jià)類(lèi)的完全不變量。2.2.3用初等變換求矩陣的秩用初等行變換或列變換將矩陣化為階梯形，階梯形矩陣的秩這就是原矩陣的秩。第一學(xué)期第七次課第二章 §3線(xiàn)性方程組的理論課題3.1.1齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系對(duì)于齊次線(xiàn)性方程組令，則上述方程組即為 （*）（其中0為零向量）。將（*）的解視為維向量，則所有解向量構(gòu)成中的一個(gè)向量組，記為。命題 中的元素（解向量）的線(xiàn)性組合仍屬于（仍是解）。證明 只需要證明S關(guān)于加法與數(shù)乘封閉。設(shè)，則， ，于是，故；又因?yàn)?，所以。證畢。定義（線(xiàn)性方程組基礎(chǔ)解系） 齊次線(xiàn)性方程組（*）的一組

19、解向量如果滿(mǎn)足如下條件：（1） 線(xiàn)性無(wú)關(guān)；（2） 方程組（*）的任一解向量都可被線(xiàn)性表出，那么，就稱(chēng)是齊次線(xiàn)性方程組（*）的一個(gè)基礎(chǔ)解系。定理 數(shù)域上的齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系中的向量個(gè)數(shù)等于變?cè)獋€(gè)數(shù)減去系數(shù)矩陣的秩；證明 記線(xiàn)性方程組為，其中，設(shè)的秩為，無(wú)妨設(shè)為其極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組，則皆可被線(xiàn)性表出， 即存在，使得 即。于是中含有向量 .只需要證明是解向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組即可。易見(jiàn)，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。只需要再證明能線(xiàn)性表出任意一個(gè)即可。為此，需要證明引理：引理 設(shè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)，可被線(xiàn)性表出，則表示法唯一。證明 設(shè)，兩式相減，得到.由于線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故各的系數(shù)皆為零，于是，即的表示法唯一。引理

20、證畢?，F(xiàn)在回到定理的證明。設(shè)，則有 . （1）考慮，則形如，且有 . （2）記，則由引理，它可以被線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組唯一地線(xiàn)性表示，于是由（1）、（2）兩式可知，于是。這就證明了是解向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組。再由矩陣的秩的定義可知命題成立。證畢。基礎(chǔ)解系的求法我們只要找到齊次線(xiàn)性方程組的各自有未知量，就可以獲得它的基礎(chǔ)解系。具體地說(shuō)，我們先通過(guò)初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形，那么階梯形的非零行數(shù)就是系數(shù)矩陣的秩。把每一個(gè)非零行最左端的未知量保留在方程組的左端，其余個(gè)未知量移到等式右端，再令右端個(gè)未知量其中的一個(gè)為1，其余為零，這樣可以得到個(gè)解向量，這個(gè)解向量構(gòu)成了方程組的基礎(chǔ)解系。例 求數(shù)

21、域上的齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。解 用初等行變換把系數(shù)矩陣化為階梯形：，于是r，基礎(chǔ)解系中有 r個(gè)向量。寫(xiě)出階梯形矩陣所對(duì)應(yīng)的方程組移項(xiàng)，得（1）、取，得一個(gè)解向量；（2）、取，得另一解向量.即為方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，方程組的全部解可表示為.解畢。非齊次線(xiàn)性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè)給定一個(gè)一般線(xiàn)性方程組 （*）于是其系數(shù)矩陣和增廣矩陣分別為和。定理 (數(shù)域K上線(xiàn)性方程組有解的判別定理) 對(duì)于數(shù)域K上的線(xiàn)性方程組（*），若rr，則方程組無(wú)解；rr，則有唯一解；rr，則有無(wú)窮多解。證明 寫(xiě)出線(xiàn)性方程組的向量形式，其中，。若rr，則由矩陣秩的定義，可知列向量組的秩小于列向量的秩，即向量組的秩小于向量組

22、的秩。只需證明不可以被向量組線(xiàn)性表出即可證明方程組無(wú)解。事實(shí)上，若可以將線(xiàn)性表出，則向量組與線(xiàn)性等價(jià)，則兩個(gè)向量組的秩相等，矛盾于向量組的秩小于向量組的秩。所以不能將線(xiàn)性表出，方程組無(wú)解得證。若rr，則的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組就是的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組。于是能被線(xiàn)性表出，即線(xiàn)性方程組有解。任取線(xiàn)性方程組的一個(gè)解向量，記為，對(duì)于線(xiàn)性方程組的任意一個(gè)解向量，是由原方程組系數(shù)矩陣所對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組（稱(chēng)為線(xiàn)性方程組（*）的導(dǎo)出方程組）的解向量。事實(shí)上，可以分別將和帶入（*），再將對(duì)應(yīng)方程相減，即可證明上述結(jié)論。反過(guò)來(lái)，容易證明，對(duì)于導(dǎo)出方程組的每一個(gè)解向量，都是線(xiàn)性方程組（*）的解向量。以記導(dǎo)出方程組的

23、解向量組成的集合，則（*）的解為.詳言之，記導(dǎo)出方程組的基礎(chǔ)解系為，則（*）的解為：.如果rr，則，故方程組（*）有唯一解；如果rr，則為無(wú)窮集合，故方程組（*）有無(wú)窮多解。第一學(xué)期第八次課第二章 §4矩陣的運(yùn)算2.4.1矩陣運(yùn)算的定義定義（矩陣的加法和數(shù)乘） 給定兩個(gè)矩陣， ，和加法定義為；給定數(shù)域中的一個(gè)元素，與的數(shù)乘定義為.定義（矩陣的乘法） 給定一個(gè)矩陣和一個(gè)矩陣， ，和的乘法定義為.2.4.2 矩陣的運(yùn)算（加法、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置）的性質(zhì)命題 矩陣和定義在矩陣上的運(yùn)算滿(mǎn)足如下運(yùn)算規(guī)律（其中均為上的矩陣，為數(shù)域中的元素）（1） 加法結(jié)合律 ；（2） 加法交換律 ；（3） 數(shù)乘結(jié)

24、合律 ；（4） 數(shù)乘分配律 ；（5） 乘法結(jié)合律 ；（6） 乘法分配律 ；（7） ;（8） 。2.4.3 矩陣的和與積的秩命題 矩陣的運(yùn)算與秩的關(guān)系滿(mǎn)足如下性質(zhì)（其中均為數(shù)域上的矩陣，為中的元素）：（1） 若，則rr；（2） rr；（3） rrr證明 （1）和（2）顯然成立。關(guān)于（3），由矩陣的秩的定義，只需要證明的列向量組的秩小于等于的列向量組的秩加上的列向量組的秩即可。的列項(xiàng)量可以被和的所有列向量線(xiàn)性表出，于是的秩小于等于所有列向量的所組成的向量組的秩，小于等于秩的和。于是命題成立。命題 設(shè)分別為矩陣和一個(gè)矩陣，則rminrr證明 由矩陣乘法的定義，有.的列向量（記為）可表示為，（），于是

25、每一個(gè)列向量都可以寫(xiě)成的列向量組的線(xiàn)性組合，故rr；同理可證，rr，于是rminrr。命題 rrr.證明 記，設(shè)的列向量為，則的列向量可以表示為 . （1）設(shè)的列向量的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組為，任取的一個(gè)列向量，存在，使得， 將（1）式代入，得到，于是是方程組的一個(gè)特解。設(shè)齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系為，由線(xiàn)性方程組理論知，方程的解可以表示為，其中，由，是方程的解，于是的列向量可以被向量組線(xiàn)性表示，于是rrr，即rrr. 證畢。定義 階方陣自左上角到右下角這一條對(duì)角線(xiàn)稱(chēng)為的主對(duì)角線(xiàn)。主對(duì)角線(xiàn)上的個(gè)元素的連加稱(chēng)為的跡。第一學(xué)期第九次課第二章 §5 n階方陣2.5.1 n階方陣，對(duì)角矩陣，數(shù)

26、量矩陣，單位矩陣，初等矩陣，對(duì)稱(chēng)、反對(duì)稱(chēng)、上三角、下三角矩陣定義（數(shù)域上的階方陣） 數(shù)域上的矩陣成為上的階方陣，上全體階方陣所成的集合記作。定義（階對(duì)角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣） 數(shù)域上形如的方陣被稱(chēng)為n階對(duì)角矩陣，與其他矩陣相乘，有；。形如的方陣被稱(chēng)為n階數(shù)量矩陣，與其他矩陣相乘，有；。矩陣被稱(chēng)為n階單位矩陣，記作，有；。我們記第i行第j列為1，其余位置全為零的n階方陣。定義 初等矩陣我們把形如其中對(duì)角線(xiàn)上除了第i個(gè)元素為k以外，全為1，其他位置全為0的矩陣和形如其中對(duì)角線(xiàn)上的元素全為1，第i行j列位置上為k，其余位置都為0的矩陣和形如其中對(duì)角線(xiàn)上的元素除了第i和第j個(gè)元素為零外，都為1，第

27、i行第列和第（n-i）行第（n-j）列位置上為1，其余位置均為零的矩陣稱(chēng)為初等矩陣，分別用，來(lái)表示。初等矩陣都是由單位陣經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的。定義 對(duì)稱(chēng)矩陣、反對(duì)稱(chēng)矩陣設(shè)為數(shù)域K上的n階方陣，若，稱(chēng)A為對(duì)稱(chēng)矩陣；若，則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)矩陣。若為數(shù)域上的階對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣，則仍為K上的n階對(duì)稱(chēng)（反對(duì)稱(chēng)）矩陣，其中。定義 上三角、下三角矩陣數(shù)域K上形如的n階方陣被稱(chēng)為上三角矩陣；形如的n階方陣被稱(chēng)為下三角矩陣。對(duì)于n階上（下）三角矩陣，同樣有若為數(shù)域K上的n階上（下）三角矩陣，則仍為K上的n階上（下）三角矩陣，其中。命題 矩陣的初等行（列）變換等價(jià)于左（右）乘初等矩陣；證明 我們分別考察三種初等矩陣

28、對(duì)于，有，等價(jià)于初等行變換中將第i行乘以一個(gè)非零數(shù)，等價(jià)于初等列變換中將第i列乘以一個(gè)非零數(shù)；對(duì)于，有等價(jià)于初等行變換中將第j行加上第i行的k倍，等價(jià)于初等列變換中將第j列加上第i列的k倍；對(duì)于，有，等價(jià)于初等行變換中互換i，j兩行，而等價(jià)于初等列變換中互換i，j兩列。于是初等行（列）變換可以等價(jià)為左（右）乘初等矩陣。證畢。定理 一個(gè)方陣是滿(mǎn)秩的當(dāng)且僅當(dāng)它能表示為初等矩陣的乘積。證明 必要性 經(jīng)過(guò)初等變換可以將一個(gè)滿(mǎn)秩n階矩陣（記為A）化為對(duì)角形，由初等變換與乘初等矩陣的等價(jià)性，可知存在初等矩陣和，使得，由于初等變換存在逆變換，于是可知用初等變換的逆變換可以將單位矩陣化為滿(mǎn)秩矩陣A，于是，存在

29、n階初等矩陣和，使得，由矩陣運(yùn)算的結(jié)合律和單位矩陣的性質(zhì)，可以知道，必要性證畢。 充分性 若可以表示成為初等矩陣的乘積，則，表示可由階單位陣經(jīng)過(guò)次初等變換得到，于是滿(mǎn)秩。證畢。推論 設(shè)是滿(mǎn)秩矩陣，對(duì)于任意矩陣，有rr，rr（只要乘法有意義）.證明 由于滿(mǎn)秩矩陣可以寫(xiě)作初等矩陣的乘積，于是存在初等矩陣，使得，于是，由初等矩陣于初等變換的等價(jià)關(guān)系，相當(dāng)于對(duì)B做r次初等行變換。由于初等變換不改變矩陣的秩，所以rr；同理，rr。證畢。第一學(xué)期第十次課2.5.2可逆矩陣，方陣的逆矩陣1、可逆矩陣，方陣的逆矩陣的定義定義 設(shè)A是屬于K上的一個(gè)n階方陣，如果存在屬于K上的n階方陣B，使，則稱(chēng)B是A的一個(gè)逆矩

30、陣，此時(shí)A稱(chēng)為可逆矩陣。2、群和環(huán)的定義定義 設(shè)A是一個(gè)非空集合。任意一個(gè)由到A的映射就成為定義在A上的代數(shù)運(yùn)算。定義 設(shè)G是一個(gè)非空集合。如果在G上定義了一個(gè)代數(shù)運(yùn)算（二元運(yùn)算），稱(chēng)為乘法，記作，而且它適合以下條件，那么就成為一個(gè)群：1、 乘法滿(mǎn)足結(jié)合律對(duì)于G中的任意元素a,b,c有 ；2、 存在單位元素，對(duì)于任意，滿(mǎn)足 ；3、 對(duì)于任意，存在，使得 。關(guān)于群的性質(zhì)，我們有如下命題：命題 對(duì)于任意，同樣有證明 對(duì)于，存在，使得，兩端右乘，得到。命題 對(duì)于任意，同樣有證明 。命題 單位元素唯一證明 假設(shè)存在，均是單位元素，則。命題 對(duì)于任意，存在唯一，使得 ，于是元素就稱(chēng)為的逆元素，記為。證明

31、 設(shè)存在，滿(mǎn)足條件，則。易知，。命題 對(duì)于G中的任意元素a,b，方程有唯一解。定義 一個(gè)群G稱(chēng)為一個(gè)交換群（Abelian Group），若定義在上面的代數(shù)運(yùn)算滿(mǎn)足交換律，即對(duì)于任意，都有。定義 設(shè)L是一個(gè)非空集合，在L上定義了兩個(gè)代數(shù)運(yùn)算，一個(gè)叫加法，記為a+b，一個(gè)叫乘法，記為ab。如果具有性質(zhì)：（1）、L關(guān)于加法成為一個(gè)交換群；（2）、乘法滿(mǎn)足結(jié)合律，即，有；（3）、乘法關(guān)于加法滿(mǎn)足分配律，即，有那么L就稱(chēng)為一個(gè)環(huán)。命題 數(shù)域上的階可逆矩陣的全體關(guān)于矩陣的乘法構(gòu)成群，稱(chēng)為上的一般線(xiàn)性群，記為GL；數(shù)域上的階方陣的全體關(guān)于矩陣的加、乘法構(gòu)成環(huán)，稱(chēng)為上的全矩陣環(huán)，記為M；證明 按定義逐項(xiàng)驗(yàn)證

32、即可。其中GL中乘法的單位元是n階單位矩陣，而M中加法的單位元是n階零方陣。命題 證明 ，由逆矩陣的唯一性可知，命題成立。命題 假設(shè)n階可逆方陣A的逆矩陣是B，則是的逆矩陣。證明 只需要證明即可。事實(shí)上，于是命題得證。命題 矩陣可逆當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)秩；證明 必要性 若n階方陣A可逆，則存在n階方陣B，使得，于是有，于是；充分性 若n階方陣滿(mǎn)秩，則A可以表為初等矩陣的乘積，即存在初等矩陣，使得。只需要證明初等矩陣是可逆的。事實(shí)上，；，所以由命題 。證畢。2.5.3用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣，矩陣方程和的解法（為可逆陣）1、 用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣如果A可逆，則A滿(mǎn)秩。于是A可以經(jīng)過(guò)初等行變換化

33、為對(duì)角形，即，則。于是，對(duì)單位矩陣做與把A化為標(biāo)準(zhǔn)形相同的初等行變換（由矩陣乘法和初等變換的等價(jià)性可以知道這是可行的）就可以得到A的逆矩陣，不妨把可逆矩陣A和單位矩陣E并在一起，得到，對(duì)A進(jìn)行初等行變換，將其化為對(duì)角形，即得到；同樣地，將可逆矩陣和單位矩陣拼成如下形狀，進(jìn)行初等列變換，同樣可以得到。2、關(guān)于矩陣方程和的解法（其中為可逆陣）a、關(guān)于矩陣方程，其中A是一個(gè)矩陣，X和B是矩陣。由關(guān)于群性質(zhì)，可以知道，于是將A和B并排拼成一個(gè)矩陣，進(jìn)行初等行變換，將A化為單位矩陣，于是可以得到；b、關(guān)于矩陣方程，其中A是一個(gè)矩陣，X和B是矩陣。 同樣地，我們將A和B拼為，可以得到方程的解。例 設(shè)和為數(shù)

34、域上的和矩陣，則rr+r證明 存在和初等矩陣，使得，其中D為A在初等變換的下標(biāo)準(zhǔn)形，記為的秩。令,則。Q和P均為滿(mǎn)秩方陣，則， 記為，則=，于是的秩為前s個(gè)行向量的秩。而可以被前s個(gè)行向量的極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組和的后n-s個(gè)向量線(xiàn)性表示，于是，于是。證畢。第一學(xué)期第十一次課第二章 §6分塊矩陣2.6.1分塊矩陣的乘法，準(zhǔn)對(duì)角陣的乘積和秩1、矩陣的分塊和分塊矩陣的乘法設(shè)A是屬于K上的矩陣，B是K上矩陣，將A的行分割r段，每段分別包含個(gè)行，又將A的列分割為s段，每段包含個(gè)列。于是A可用小塊矩陣表示如下： ，其中為矩陣。對(duì)B做類(lèi)似的分割，只是要求它的行的分割法和A的列的分割法一樣。于是B可以

35、表示為，其中是的矩陣。這種分割法稱(chēng)為矩陣的分塊。此時(shí)，設(shè)，則C有如下分塊形式：，其中是矩陣，且。 定義 稱(chēng)數(shù)域K上的分塊形式的n階方陣為準(zhǔn)對(duì)角矩陣，其中為階方陣（），其余位置全是小塊零矩陣。2、分塊矩陣的一些性質(zhì)命題 階準(zhǔn)對(duì)角矩陣有如下性質(zhì)：（1）、對(duì)于兩個(gè)同類(lèi)型的n階準(zhǔn)對(duì)角矩陣（其中同為階方陣），有；（2）、；（3）、A可逆可逆，且。命題 分塊矩陣的秩大于等于與的秩的和。證明 記，設(shè)A為矩陣，B為矩陣， A在初等變換標(biāo)準(zhǔn)形為，；B在初等變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為，則對(duì)M前m行前n列做初等變換，對(duì)它的后k行后l列也做初等變換，這樣可以把M化為?，F(xiàn)在利用左上角的“1”經(jīng)過(guò)初等列變換消去它右邊位置中的非零元

36、；再用左上角的“1”經(jīng)過(guò)初等行變換消去它上面處的非零元素，于是把再化作。則有。證畢。容易得出，對(duì)于矩陣，也有同樣的性質(zhì)。對(duì)于上述和，如果，則；如果，則。命題 設(shè)、為數(shù)域上的三個(gè)可以連乘的矩陣，則rrr r證明 假設(shè)A、B、C分別為、和矩陣。令，考慮由可逆矩陣乘法的性質(zhì)（命題 ）和命題 可以知道，2.6.2矩陣分塊技巧的運(yùn)用（挖洞法）和其應(yīng)用可逆矩陣的分塊求逆1、挖洞法設(shè)，其中A為矩陣，B為矩陣，C為矩陣，D為矩陣。不妨設(shè)A可逆，取，則，取，則。由于分塊矩陣的乘法形式上與普通矩陣相同，所以也可以用左乘（或右乘）一個(gè)適當(dāng)?shù)姆謮K方陣來(lái)讀一個(gè)分塊矩陣做類(lèi)似的變換。但是要注意：（1）、兩個(gè)小塊矩陣相乘時(shí)

37、必須遵守左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)這一原則；（2）、兩個(gè)小塊矩陣相乘成不能交換次序，要分清那個(gè)在左，那個(gè)在右。2、矩陣的分塊求逆設(shè)方陣，其中A可逆。令，記，若M可逆，則N可逆，于是可逆。，求得。第一學(xué)期第十二次課第三章 §1，§2 階方陣的行列式3.1.1平行四邊形的有向面積和平行六面體的有向體積具有的三條性質(zhì)在解析幾何中已證明，給定二維向量空間中的單位正交標(biāo)架，設(shè)向量的坐標(biāo)分別為和，則由向量張成的平行四邊形的有向面積為，這里記為；給定三維空間內(nèi)右手單位正交標(biāo)架，設(shè)向量的坐標(biāo)分別為、和，則由向量張成的平行六面體的有向體積為。我們引入如下記號(hào)：對(duì)于二階方陣，定義；對(duì)于三

38、階方陣，定義。不難發(fā)現(xiàn)，（有向面積與有向體積）滿(mǎn)足以下三條性質(zhì)：（1）、如果的某行或某列換為兩個(gè)向量的線(xiàn)性組合，則，其中分別為把該行（列）換為所得的階方陣；（2）、如果不滿(mǎn)秩，則；（3）、當(dāng)為單位矩陣時(shí)，。3.1.2利用上述三條性質(zhì)定義階方陣的行列式函數(shù)的det定義 線(xiàn)性函數(shù)若滿(mǎn)足如下條件：對(duì)中任意向量(寫(xiě)成橫排形式)以及K中任意數(shù)k，都有=+；=，則稱(chēng)為上的一個(gè)行線(xiàn)性函數(shù)。設(shè)滿(mǎn)足如下條件對(duì)中任意向量（寫(xiě)成豎排形式）以及K中任意數(shù)k，都有；，則稱(chēng)為上的一個(gè)列線(xiàn)性函數(shù)。同樣地，行（列）線(xiàn)性函數(shù)的定義還可以寫(xiě)作，有=+和。容易證明它們與上面定義的等價(jià)性。定義 反對(duì)稱(chēng)線(xiàn)性函數(shù)記號(hào)如上，若列線(xiàn)性函數(shù)f

39、滿(mǎn)足，則稱(chēng)f為列反對(duì)稱(chēng)函數(shù)。定理 設(shè)為列線(xiàn)性函數(shù)，則下述四條等價(jià)：i）、反對(duì)稱(chēng)；ii）、；iii）、；iv）、若M不滿(mǎn)秩，則。證明 i）ii） 若反對(duì)稱(chēng)，則，于是。ii）iii） 若，由于列線(xiàn)性，則iii）iv） 若，則由已知，不滿(mǎn)秩矩陣必有一個(gè)列向量可以被其他列向量線(xiàn)性表出。若記M的列向量為，則必存在一個(gè)，滿(mǎn)足，其中，于是。iv）ii） 矩陣不滿(mǎn)秩，則。ii）i） 若，則，于是，則有。證畢定義 函數(shù)被稱(chēng)為一個(gè)行列式函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列3條性質(zhì)：1、列線(xiàn)性；2、反對(duì)稱(chēng)；3、。2.3.3行列式函數(shù)的存在性與唯一性引理 設(shè)和為烈現(xiàn)行反對(duì)稱(chēng)函數(shù)，。則若經(jīng)過(guò)相同的初等列變換化為和，則。證明 由初等變

40、換的可逆性，只需證“”。只需分別對(duì)三類(lèi)基本初等列變換進(jìn)行證明。定理 行列式函數(shù)存在且唯一。證明 首先證明若行列式函數(shù)存在，則唯一。設(shè)是行列式函數(shù)，若A不滿(mǎn)秩，則；若A滿(mǎn)秩，則可以經(jīng)過(guò)初等列變換化為， ，于是由引理，即和在上取值相等，于是。唯一性證畢。再證明行列式函數(shù)的存在性。定義函數(shù)det如下：設(shè)，定義；設(shè)在集合內(nèi)函數(shù)已定義，那么，對(duì)，定義其中表示劃去A的第i行和第j列后所剩的n-1階方陣的值，為。用記號(hào)來(lái)代表，如果，可以寫(xiě)成下面要證明上述定義的函數(shù)是行列式函數(shù)，從而說(shuō)明了行列式函數(shù)的存在性。對(duì)作歸納，可分別證明； 是列線(xiàn)性函數(shù)和反對(duì)稱(chēng)，于是是行列式函數(shù)。命題 行列式函數(shù)是行線(xiàn)性函數(shù)。證明 對(duì)

41、作歸納。3.2.4行列式的六條性質(zhì)命題 行列式函數(shù)滿(mǎn)足以下六條性質(zhì)：1、；2、， 類(lèi)似地，對(duì)行向量，有 ；3、若A的某列（行）為兩列（行）之和，則為兩個(gè)相應(yīng)的行列式之和；4、A不滿(mǎn)秩，則，特別地，A有兩行（列）相等，則；5、將A的一行（列）的若干倍加到B的另一行（列）上去，行列式值不變；6、兩行（列）互換，行列式反號(hào)。第一學(xué)期第十三次課第三章 §2 階方陣的行列式（續(xù)）3.2.5行列式的按任意列展開(kāi)和特殊矩陣的行列式1、行列式的按任意行（列）展開(kāi)定義 命，稱(chēng)為的代數(shù)余子式。命題 按行列式的第行展開(kāi)，有。 證明 將第行先后與第行交換，再展開(kāi)。推論 行列式按第行展開(kāi)，有。2、范德蒙行列式

42、形如的行列式稱(chēng)為范德蒙行列式。命題 。證明 對(duì)作歸納。3、準(zhǔn)對(duì)角陣的行列式命題 。證明 對(duì)作歸納。推論 。推論 。4、可微函數(shù)的方陣的行列式的微商命題 設(shè)在上可導(dǎo)，則。證明 對(duì)作歸納。第一學(xué)期第十四次課第三章 §3行列式的初步應(yīng)用3.3.1行列式的應(yīng)用：用行列式求逆矩陣；克萊姆法則定義 設(shè)矩陣，矩陣稱(chēng)為的伴隨矩陣。由行列式的性質(zhì)容易證得，其中，為Kronecker記號(hào)。于是有命題 對(duì)于階滿(mǎn)秩方陣，有，若，則。考察線(xiàn)性方程組，將其記為，若滿(mǎn)秩，則，而，就是把的第列換成后的行列式，記，于是有：定理 若數(shù)域上的個(gè)未知量個(gè)方程的線(xiàn)性方程組的系數(shù)矩陣的行列式，則它有唯一的一組解。這個(gè)定理稱(chēng)為C

43、ramer法則。3.3.2矩陣乘積的行列式、用矩陣的子式的行列式刻畫(huà)矩陣的秩命題 設(shè)，則。證明 對(duì)討論滿(mǎn)秩與不滿(mǎn)秩的情況。定義 設(shè)，取，稱(chēng)為的一個(gè)階子式，記為。引理 存在非零的階子式。證明 “” 若，則由矩陣的秩的定義，存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的行向量，設(shè)它們?yōu)樾?，取它們?gòu)成一個(gè)秩為的矩陣存在個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列向量，設(shè)它們?yōu)榱?，于是；“?若存在，則此子式的個(gè)列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，將它們擴(kuò)充成為原矩陣的第，它們?nèi)跃€(xiàn)性無(wú)關(guān)。證畢。命題 對(duì)于上的階方陣，當(dāng)且僅當(dāng)存在某個(gè)階子式不等于零，但所有階子式都等于零。證明 “” 若，則由引理，存在某個(gè)階子式不等于零。若存在某個(gè)階子式不等于零，則由引理，矛盾于，必要性得證；“”

44、若對(duì)于，存在某個(gè)階子式不等于零，則，而但所有階子式都等于零，則，于是，證畢。第一學(xué)期第十五次課第三章 §4行列式的完全展開(kāi)式3.4.1一些基本概念定義 給定個(gè)互不相同的自然書(shū)，把它們按一定次序排列起來(lái)：，稱(chēng)為該個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列。在上述排列中，如果有一個(gè)較大的自然豎排在一個(gè)較小的自然數(shù)前面，則稱(chēng)為一個(gè)反序。一個(gè)排列中包含的反序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的反序數(shù)。排列的反序數(shù)計(jì)作。一個(gè)排列的反序數(shù)為奇數(shù)時(shí)，該排列稱(chēng)為奇排列；如果反序數(shù)時(shí)偶數(shù)，則稱(chēng)為偶排列。的算法給定個(gè)自然數(shù)，按大小順序排列：，現(xiàn)在把它們按任意次序重排，得元排列，這個(gè)排列的反序數(shù)可用下法計(jì)算：先找出排在前面的數(shù)字有多少，設(shè)為，然后

45、劃去，再看前面未劃去的數(shù)字有多少，設(shè)為，然后劃去，再看前面未劃去的數(shù)字有多少，設(shè)為，然后劃去，經(jīng)過(guò)次后，即得。命題 給定數(shù)域上的矩陣，（），取定個(gè)自然數(shù)，按大小次序排列：，又設(shè)是這個(gè)自然數(shù)的一個(gè)排列，則。推論 將命題中的互換，則其奇偶性發(fā)生變化。定理 數(shù)域上的階行列式有如下展開(kāi)式。證明 令，證明是行列式函數(shù)。推論 設(shè)，則。第一學(xué)期第十六次課期中考試第一學(xué)期第十七次課第四章 線(xiàn)性空間與線(xiàn)性變換§1 線(xiàn)性空間的基本概念4.1.1線(xiàn)性空間的定義及例1、線(xiàn)性空間的定義定義4.1 線(xiàn)性空間設(shè)V是一個(gè)非空集合，且V上有一個(gè)二元運(yùn)算“+”，又設(shè)K為數(shù)域，V中的元素與K中的元素有運(yùn)算數(shù)量乘法“”，且

46、“+”與“”滿(mǎn)足如下性質(zhì)：1、 加法交換律 ，有；2、 加法結(jié)合律 ，有；3、 存在“零元”，即存在，使得；4、 存在負(fù)元，即，存在，使得；5、 “1律” ；6、 數(shù)乘結(jié)合律 ，都有；7、 分配律 ，都有；8、 分配律 ，都有，則稱(chēng)V為K上的一個(gè)線(xiàn)性空間，我們把線(xiàn)性空間中的元素稱(chēng)為向量。注意：線(xiàn)性空間依賴(lài)于“+”和“”的定義，不光與集合V有關(guān)。2、零向量和負(fù)向量的唯一性，向量減法的定義，線(xiàn)性空間的加法和數(shù)乘運(yùn)算與通常數(shù)的加、乘法類(lèi)似的性質(zhì)命題4.1 零元素唯一，任意元素的負(fù)元素唯一。證明： 設(shè)與均是零元素，則由零元素的性質(zhì)，有； ，設(shè)都是的負(fù)向量，則，于是命題得證。由于負(fù)向量唯一，我們用代表的

47、負(fù)向量。 定義4.2 減法 我們定義二元運(yùn)算減法“-”如下：定義為。 命題4.2 線(xiàn)性空間中的加法和數(shù)乘滿(mǎn)足如下性質(zhì)：1、 加法滿(mǎn)足消去律 ；2、 可移項(xiàng) ；3、 可以消因子 且，則；4、 。3、線(xiàn)性空間的例子例4.1令V表示在上可微的函數(shù)所構(gòu)成的集合，令，V中加法的定義就是函數(shù)的加法，關(guān)于K的數(shù)乘就是實(shí)數(shù)遇函數(shù)的乘法，V構(gòu)成K上的線(xiàn)性空間。4.1.2線(xiàn)性空間中線(xiàn)性組合和線(xiàn)性表出的定義，向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)的定義以及等價(jià)表述，向量組的秩，向量組的線(xiàn)性等價(jià)；極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組定義4.3 線(xiàn)性組合給定V內(nèi)一個(gè)向量組，又給定數(shù)域K內(nèi)s個(gè)數(shù)，稱(chēng)為向量組的一個(gè)線(xiàn)性組合；定義4.4 線(xiàn)性表出給定V內(nèi)一個(gè)

48、向量組，設(shè)是V內(nèi)的一個(gè)向量，如果存在K內(nèi)s個(gè)數(shù)，使得，則稱(chēng)向量可以被向量組線(xiàn)性表出。定義4.5 向量組的線(xiàn)性相關(guān)與線(xiàn)性無(wú)關(guān)給定V內(nèi)一個(gè)向量組，如果對(duì)V內(nèi)某一個(gè)向量，存在數(shù)域K內(nèi)不全為零的數(shù)，使得，則稱(chēng)向量組線(xiàn)性相關(guān)；若由方程必定推出，則稱(chēng)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)。命題4.3 設(shè)，則下述兩條等價(jià)：1）線(xiàn)性相關(guān)；2）某個(gè)可被其余向量線(xiàn)性表示。證明同向量空間。定義4.6 線(xiàn)性等價(jià)給定V內(nèi)兩個(gè)向量組 （）， （），如果（）中任一向量都能被（）線(xiàn)性表示，反過(guò)來(lái)，（）中任一向量都能被（）線(xiàn)性表示，則稱(chēng)兩向量組線(xiàn)性等價(jià)。定義4.7 極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組給定V內(nèi)一個(gè)向量組，如果它有一個(gè)部分組滿(mǎn)足如下條件：（i）、線(xiàn)性無(wú)關(guān)

49、；（ii）、原向量組中任一向量都能被線(xiàn)性表示，則稱(chēng)此部分組為原向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組。由于在向量空間中我們證明的關(guān)于線(xiàn)性表示和線(xiàn)性等價(jià)的一些命題中并沒(méi)有用到的一些特有的性質(zhì)，于是那些命題在線(xiàn)性空間中依然成立。定義4.8 向量組的秩一個(gè)向量組的任一極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組中均包含相同數(shù)目的向量，其向量數(shù)目成為該向量組的秩。例4.2 求證：向量組的秩等于2（其中）證明：方法一：設(shè)，滿(mǎn)足，則，假若不全為零，不妨設(shè)，則有，而由于，等號(hào)左邊為嚴(yán)格單調(diào)函數(shù)，矛盾于等號(hào)右邊為常數(shù)。于是。所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)，向量組的秩等于2。證畢。方法二：若在上，兩端求導(dǎo)數(shù)，得，以代入，而，于是。證畢。第一學(xué)期第十八次課4.1.

50、3 線(xiàn)性空間的基與維數(shù)，向量的坐標(biāo) 設(shè)V是數(shù)域K上的線(xiàn)性空間，定義4.9 基和維數(shù)如果在V中存在n個(gè)向量，滿(mǎn)足：1）、線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2）、V中任一向量在K上可表成的線(xiàn)性組合，則稱(chēng)為V的一組基。基即是V的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)部分組。基的個(gè)數(shù)定義為線(xiàn)性空間的維數(shù)。命題4.4 設(shè)V是數(shù)域K上的n維線(xiàn)性空間，而。若V中任一向量皆可被線(xiàn)性表出，則是V的一組基。證明：由與V的一組基線(xiàn)性等價(jià)可以推出它們的秩相等。命題4.5 設(shè)V為K上的n維線(xiàn)性空間，則下述兩條等價(jià)：1）、線(xiàn)性無(wú)關(guān)；2）、V中任一向量可被線(xiàn)性表出。定義4.10 向量的坐標(biāo)設(shè)V為K上的n維線(xiàn)性空間，是它的一組基。任給，由命題 ，可唯一表示為的線(xiàn)性組合，即，使得 ，于是我們稱(chēng)為在基下的坐標(biāo)。易見(jiàn)，在某組基下的坐標(biāo)與V/K中的向量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。第一學(xué)期第十九次課4.1.4線(xiàn)性空間的基變換，基的過(guò)渡矩陣設(shè)V/K是n維線(xiàn)性空間，設(shè)和是兩組基，且將其寫(xiě)成矩陣形式，定義4.11 我們稱(chēng)矩陣為從到的過(guò)渡矩陣。命題4.6 設(shè)在n維線(xiàn)性空間V/K中給定一組基。T是K上