換元積分法word版

1、第二節(jié)換元積分法求解不定積分，能應(yīng)用直接積分法的函數(shù)不多，因此，有必要進(jìn)一步研 究不定積分的求解方法。1、換元積分法的基本思想應(yīng)用換元積分法進(jìn)行積分是常見(jiàn)的積分方法C其實(shí)，換元積分法就是復(fù) 合函數(shù)微分法的逆運(yùn)算?；仡檹?fù)合函數(shù)的微分手法，是將復(fù)合函數(shù)/?6)的復(fù)合變量替換為簡(jiǎn)單變量，然后應(yīng)用簡(jiǎn)單函數(shù)的微分方法得力(")=7'a，)"”，應(yīng)用替換法，同樣可以將復(fù)合函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分： J f(p(x)d(p(x)(p(x) = u于是，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱(chēng)為換元積分法。換元積分法通常分兩類(lèi)：第一類(lèi)換元法和第二類(lèi)換元法。第一類(lèi)換元法是將復(fù)雜變量替換為簡(jiǎn)單變

2、量：p(x) = U ,從而將復(fù)合 函數(shù)的積分轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分：第二類(lèi)換元法是將簡(jiǎn)單變量替換為復(fù)雜變量：X = 8()，從而將復(fù)雜 的被積函數(shù)轉(zhuǎn)化為可積分的函數(shù)。下面分別進(jìn)行分析。一、第一類(lèi)換元法(P210)1、第一類(lèi)換元法的積分思路第一類(lèi)換元法并非一種獨(dú)立存在的積分方法，它建立在直接積分法的基 礎(chǔ)上，依賴直接積分法去最終完成積分?；蛘哒f(shuō)，它以換元法為主要手段, 以直接積分法為解決積分的最終方法。換言之，第一類(lèi)換元法的積分思路，就是將含復(fù)合函數(shù)的積分轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn) 單函數(shù)的積分，從而應(yīng)用直接積分法解決問(wèn)題。1 / 12、第一類(lèi)換元法的基本公式定理1設(shè)/()具有原函數(shù)，=奴工)可導(dǎo)，則有換元公式J

3、 f(p(x)d(p(x)(p(x)=u f(u)du或?yàn)?Jf(px(pxdx(p(x)=u f(u)du公式的要點(diǎn)：可以應(yīng)用第一換元積分法的積分式必須具有結(jié)構(gòu)：J f(PWd(p(x)或 奴換元時(shí)必須對(duì)兩個(gè)位置的復(fù)合變量進(jìn)行一致替換：一個(gè)是復(fù)合函 數(shù)夕(X)的第一中間變量夕")，一個(gè)是微分函數(shù)"夕。)中的待微分函數(shù) 尹。換元后得到的枳分式J/()，/必須是簡(jiǎn)單函數(shù)的積分，如果仍含 有復(fù)合函數(shù)，那么換元失敗或復(fù)合變量認(rèn)定錯(cuò)誤。3、第一類(lèi)換元積分法的步驟分解第一類(lèi)換元法的基本公式在具體運(yùn)用時(shí)，有許多技巧性手法，一下子不 容易掌握，但萬(wàn)變不離其宗，根本的是掌握好基本公式的上述

4、三個(gè)要點(diǎn)。為準(zhǔn)確理解和掌握第一類(lèi)換元法的基本公式，下而進(jìn)行分解說(shuō)明。第一類(lèi)換元法的積分過(guò)程分為五個(gè)步驟：特征判斷，湊微分，變量代換, 直接枳分，變量回代。下面分別對(duì)五個(gè)步會(huì)進(jìn)行詳細(xì)的分解分析。笫一步驟：特征判斷一一檢查被積函數(shù)是否適合應(yīng)用第一換元法第一換元法要求被積函數(shù)具有結(jié)構(gòu)特征:f f(pWd(p(x)或 f(px(pxylx亦即被積式可分解為具有乘積關(guān)系的兩個(gè)部分:復(fù)合函數(shù)/S(x)： 該復(fù)合函數(shù)中間變量0(x)的微分，/p(x)或(px)dx,注意：這里所指的中間變量，與求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)致內(nèi)容中的中間變量是一 致的，專(zhuān)指去掉函數(shù)最外層后所得到的復(fù)合變量。于是，積分的第一步，就是要求被積函數(shù)

5、可分解為具有上述特征的兩個(gè) 部分。若不能實(shí)現(xiàn)上述分解，則不可應(yīng)用第一類(lèi)換元積分法進(jìn)行積分。由于第一類(lèi)換元積分法要求被積函數(shù)中含有復(fù)合函數(shù)f(px,所以又 可以將第一類(lèi)換元積分法稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)積分方法?！纠?】積分2xjl +防A可否應(yīng)用第一換元法進(jìn)行積分?【分析】被積式24/1十如八可分解為復(fù)合函數(shù)J1 + 9與微分部分之積，該微分部分恰為其中間變量1 + x2的微分”(1 + /) = 2尤以，符 合第一換元積分公式的結(jié)構(gòu)特征，說(shuō)明可以應(yīng)用第一換元法進(jìn)行枳分。【例2】積分jxjrn公可否應(yīng)用第一換元法進(jìn)行積分？【分析】被積式xjl + A公可分解為復(fù)合函數(shù)Jl + Y與微分部分xdx 之積，該

6、微分部分與其中間變量1 + /的微分“(1 +/)=2xdx對(duì)比僅差一 常數(shù)倍2,由于Jxjl +3公可變形為;JZxJlQdx,由上【例1】知， 該積分可以應(yīng)用第一換元法進(jìn)行積分?！纠?】積分卜2 Jl + 'dx可否應(yīng)用第一換元法進(jìn)行積分?【分析】被積式/jt+f公可分解為復(fù)合函數(shù)與微分部分X2dx之積，該微分部分與其中間變量1 + X2的微分4(1 + /) = 2xdx對(duì)比相 差一變量X，不符合第一換元積分公式的結(jié)構(gòu)特征，于是該積分不可以應(yīng)用 第一換元法進(jìn)行枳分。注意：可以對(duì)積分號(hào)內(nèi)外乘、除同一常數(shù)，使其符合公式結(jié)構(gòu)要求:不可將積分式中的變量抽到積分符號(hào)外面，或?qū)Ψe分號(hào)內(nèi)外 乘

7、、除同一變量，強(qiáng)行將積分式“整理”成為結(jié)構(gòu)上符合第一換元法要求的 形式!第二步驟：湊微分將積分式整理成為換元前的形式第一類(lèi)換元法在將積分式整理為可換元形式J f(p(x)d(pM時(shí)常須進(jìn)行湊微分。湊微分，即為將積分式中的微分部分人(x)"x,整理成為中間變量9。) 的微分形式d3(x)時(shí)所應(yīng)用的運(yùn)算手法。運(yùn)算時(shí)，將微分部分與中間變量的微分結(jié)果相對(duì)比，是“湊”的關(guān)鍵。正因?yàn)榈谝活?lèi)換元積分法的這一重要而關(guān)鍵的運(yùn)算手法,常將第一類(lèi)換 元積分法稱(chēng)為湊微分法?！纠?對(duì)積分7dx進(jìn)行湊微分，將積分式整理為第一換元法公式的結(jié)構(gòu)?！窘狻糠e分式中的微分部分為復(fù)合函數(shù)部分J1 + Y的中間變量1 + x

8、2的微分為d( + x2) = 2xdx兩部分恰相等，即得J 2x + xdx = J jf+x2d(l + x2)【例5對(duì)積分卜J1 + F分進(jìn)行湊微分,將積分式整理為第一換元法 公式的結(jié)構(gòu)?！窘狻糠e分式中的微分部分為復(fù)合函數(shù)部分J1+V的中間變量1 + V的微分為"(1 + /)= 2戊,兩部分相差一個(gè)常數(shù)2,將原積分式恒等變形，使得微分部分為即J xJl + x'dx =j 2xj + x2dx =| J + x2d(i + x2)22第三步驟：變量代換一一將復(fù)合函數(shù)的可換元結(jié)構(gòu)奴X)代 換為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分/()”" o第一類(lèi)換元積分法的換元手段為：將復(fù)合函數(shù)

9、/w(x)的中間變量 夕(外，以及微分函數(shù)4p(x)中的變量夕(X), 一致轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單變量”，即令 ?(x) = ，將復(fù)合函數(shù)的積分7例幻"以幻變換成為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分 Jf(u)du ,從而可通過(guò)直接積分解決問(wèn)題。第一類(lèi)換元積分法正是由此而得名?！纠?】對(duì)積分卜J1 + Y分進(jìn)行換元,將積分式轉(zhuǎn)換為簡(jiǎn)單函數(shù)的積 分?！窘狻縅x + x2dx = 1J71+77(1 + x2)1+.= =；|瘋，為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分。注意：第三步驟中，被積函數(shù)能否轉(zhuǎn)換成簡(jiǎn)單函數(shù)，是成功積分的關(guān)鍵。而這一轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵，又在于函數(shù)關(guān)系A(chǔ) ）是否為最外層的。第四步驟：直接積分應(yīng)用直接積分法進(jìn)行積分這是回到本章第一

10、節(jié)的內(nèi)容一一直接積分法。注意：積分符號(hào)消失的同時(shí)，應(yīng)在積分結(jié)果的末尾加上不定常數(shù)【例7】求;J瘋1 r l 1 r -1 -【解】J y/udu = Jw3 u = +x2 （1 + x2）2+C -一變量回代4、第一類(lèi)換元積分法要點(diǎn)歸納第一類(lèi)換元積分法的主要思路，是通過(guò)將復(fù)合函數(shù)的中間變量置換成 du =z/2 +C第五步驟：變量回代一一對(duì)積分結(jié)果恢復(fù)原積分變量即：將簡(jiǎn)單函數(shù)的積分結(jié)果作變量回代 =8"），恢復(fù)原積分變量。注意：若積分的最終結(jié)果中，函數(shù)變量與原來(lái)的變量不相一致，則屬于 錯(cuò)誤的結(jié)果。至此，得到w/tt總儀的積分全過(guò)程：【例8】求解卜J1 + W公0【解】Jxy + x

11、2dx =ljgx2 - 2xdx 一一 檢查并配型=Jjjm/（i+x2） 一一一 湊微分1 + X、= yjudlt 換元=-3+c-直接積分3為簡(jiǎn)單變量，使含復(fù)合函數(shù)的被積式轉(zhuǎn)換成為簡(jiǎn)單函數(shù)的被積式，達(dá)到可應(yīng) 用直接積分法的目的，從而解決含復(fù)合函數(shù)的積分。因此，第一換元法也可 稱(chēng)為含復(fù)合函數(shù)的積分方法第一類(lèi)換元積分法在對(duì)中間變量進(jìn)行置換前，首先應(yīng)檢查被積式的結(jié) 構(gòu)特征。檢查的結(jié)果無(wú)非為如下三種情況：假設(shè)含復(fù)合函數(shù)的積分為J f(p(x)h(x)dx,于是中間變量的微分d叭X)與被積式中的微分部分人。)心完全一致，則直接將/?(x)dx轉(zhuǎn)換成功(X)；中間變量的微分，/3")，與

12、被枳式中的微分部分力(x)”x僅相差一個(gè)常數(shù)倍4則將h(x)dx作恒等變換，hxdx = Ad(px：中間變量的微分”以幻與被積式中的微分部分人(x)公不一致，且 存在變量的差異，則第一類(lèi)換元法失效或分析有誤(可能對(duì)中間變量選擇錯(cuò) 誤)。綜上所述，第一換元法的特征判斷、湊微分和變量代換這三個(gè)主要步驟, 目標(biāo)就是為使置換后的積分可以進(jìn)行直接積分。若實(shí)現(xiàn)不了這個(gè)目標(biāo)，則說(shuō) 明第一換元法失效或中間變量的設(shè)置失當(dāng)。例如：【例9】中復(fù)合函數(shù)一_:的中間變量是1一4/,則j / ' dx1-4=為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分：而f- "x的中間變量是2x,則J Vl-4x2Vl-4?J-(2x產(chǎn)”(2

13、x)2x="為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分,但若后一積分也用1 -4工2作中間變量，則無(wú)法進(jìn)行一致?lián)Q元成為簡(jiǎn)單函數(shù)的積分。硬換會(huì)成為r 1, 4，/ dx 1 -4廠=u導(dǎo)致積分函數(shù)的變量 yJU特征判斷湊微分2x = ucosudu換元=sin u + C直接積分u = 2x sin2x + C變量回代與積分變量x不一致，無(wú)法正確積分。【例 10】求 J2cos(P196 例 2)【解】J2cos2xdx = cos2x- 2dx=jcos 2xd2x特征判斷湊微分3x+2 = m - 3【例11】求f*0 (P197例3)J 3x + 2解=-I -!3dxJ 3x + 2 3J 3x + 2

14、d(3x + 2)換元= |ln|w| + C- 直接積分u = 3x+2 = 1 In|3x + 2| + C一一變量回代5、第一類(lèi)換元積分法的簡(jiǎn)化第一類(lèi)換元積分法在應(yīng)用熟練后，可以大大簡(jiǎn)化積分過(guò)程：合并特征判斷與湊微分兩個(gè)步驟；免除變量代換與回代過(guò)程。具體做法是：合并特征判斷與湊微分兩個(gè)步躲應(yīng)用口訣“復(fù)合函數(shù)照抄，中間變量放d后面，檢查相等關(guān)系若前后相等，或補(bǔ)乘常數(shù)后相等，則可以繼續(xù)積分，否則湊微分出 錯(cuò)或第一換元積分法失效。免除變量代換與回代過(guò)程。與復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)方法類(lèi)似，只須將中間變量視作簡(jiǎn)單變量，直接進(jìn) 行積分運(yùn)算。或者將中間變量寫(xiě)成空括號(hào)，運(yùn)算后再填入原中間變量。其中 的運(yùn)算過(guò)程，可

15、以僅在草稿上進(jìn)行而不須書(shū)寫(xiě)在解題過(guò)程中。熟能生巧，只要多練習(xí)，多歸納提煉，不定積分的第一換元積分法就容 易掌握了。6、第一換元枳分法的一般分析步驟將積分式分離成相乘的兩部分：復(fù)合函數(shù)/即（、）和微分部分h（x）dx:（2）以基本導(dǎo)數(shù)公式的結(jié)果與積分中復(fù)合函數(shù)部分/°（刈進(jìn)行結(jié)構(gòu)對(duì)比，從而判斷簡(jiǎn)單函數(shù)積分是否可積；應(yīng)用口訣“復(fù)合函數(shù)照抄，中間變量放d后而，檢查相等關(guān)系。設(shè)法構(gòu)造可換元的積分結(jié)構(gòu)對(duì)7m切的V)。在被積函數(shù)較為簡(jiǎn)單時(shí)，可以直接進(jìn)入第步驟。將換元后的簡(jiǎn)單積分力/的積分結(jié)果回代復(fù)合變量3(X)= 得到積分結(jié)果。下面通過(guò)具體的例解進(jìn)行引導(dǎo)說(shuō)明。7、一次換元對(duì)于只進(jìn)行一次換元的，可

16、以免寫(xiě)換元過(guò)程，將中間變量當(dāng)作簡(jiǎn)單 變量處理即可?！纠?2】求卜/公° (P197例4)【分析】復(fù)合函數(shù)為e,，微分式為您戊，于是【解】J xex dx = | ex dx' -dx = xdx22= gj+c eudx=eu+C【例 13求.Jl-R/x a (P197 例 5)【分析】復(fù)合函數(shù)為J1=7,微分式為xdx,于是解Jx-x 2 = -(l-x2)2+Cdx=-l-x2d(i-x2)-d(-x2) = xdx2J2 23*7 3(1-x2)2 +C J yfuclu = zr +C2 33【例14求卜皿乂公。（P197例6）【分析】被積式中只有單一函數(shù)tanx,

17、而導(dǎo)數(shù)公式中，沒(méi)有哪個(gè)函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)結(jié)果是tanx,說(shuō)明tanx不能直接積分，應(yīng)嘗試應(yīng)用第一換元積分 法，即先將tan.X分解為復(fù)合函數(shù)與微分式兩部分，由于tan X = ! sin x = ! (-cosx)', 即得 cosx cosx-d cos x = sin xdx【解】ftanxdx = -f !dcosx JJ cosx=ln|cosx| + C JJzz = ln|w| + C【例 15求 f xdx , (P198 例 7)J cr + 廠【分析】被積式中只有單一函數(shù)，而求導(dǎo)結(jié)果為平方和的倒數(shù)cr +廠的導(dǎo)數(shù)公式只有：（arctanx）' = 對(duì)比被積函數(shù)應(yīng)該先

18、將 1 +廠。一+廠其變形為丁二的結(jié)構(gòu)，得=二 =L一!一，于是，以上為中間變l + zrcr +x* cr + 己尸aa量，就成為干的積分了。1 + ir這時(shí)，積分式分解為復(fù)合函數(shù)一!一和微分部分得1 + （-）2 ° a【解】一!一dx 屋廠+廠 1 + （與a=arctan + CfT du = arctan u + CJ 1 + M-【例16】求Jx-a【分析】求導(dǎo)結(jié)果為一次式的倒數(shù)的有（ln）' = L,于是，以X。為 u中間變量，即可積分為【解】f!=!J x-a J x-a=1 巾-a| + C J6/w = ln|z/| + C【例 17求 f - 1 -dx

19、. （P198 例 8）J r-cr【分析】求導(dǎo)結(jié)果為平方差的倒數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式絕無(wú)僅有，倒是有（nuy = -9即求導(dǎo)結(jié)果為一次式的倒數(shù)，于是考慮將r分拆為兩個(gè) u一次式的倒數(shù)的代數(shù)和。由于1 1 11 1 =(X2 - a2 (x-4)(x + a) 2a x-a x + aX = = = = 21 -2X fj 1解而一!一與一!一均可利用fL/ = lnM + C積分，可得 x-a x + aJ uJ(-)dxJx-f x-a J x + a"(x-a)- f !d(x + a) aJ x + a|-ln|x + «| + CJ x-a x+a【例18】求竺。（P199

20、例9）J + x2【分析】易見(jiàn)一dx = d arctan x,于是1 +廠【解】J *皿 £ = J emd arctan x=*皿+。j>" = e+C八.【例 19 JR f arccos2 x . o (P199 例 10)Jy/l-X2【分析】易見(jiàn) =c/x = darccosx,于是VT7【解】 arccos2 x = arccos2 xd arccos xJ VTT7 J=arccos' x + Cf icdu = -ic +C33【例20】求fo (P199例11)J x(l + 21nx)【分析】由于而矢h于是有【解】dxx(l + 21n

21、x)=-!6/(1+ 2 In x) 2J l + 21nx=；In |1 +21nxi+ C1 ”(1 + 2 In x) = dx2x= ln|z/| + C8、多次換元對(duì)于一些較為復(fù)雜的積分，有時(shí)須作多次換元，在這種情況下，書(shū) 寫(xiě)換元過(guò)程有利于步驟的分析。當(dāng)然，在熟練的情況下，也可以將中間變量當(dāng)作簡(jiǎn)單變量處理。【例21求衛(wèi)匚。（P199例12） J COSX【分析一】被積函數(shù)為單一函數(shù)，但求導(dǎo)結(jié)果為上的導(dǎo)數(shù)公式絕無(wú)COSX-1* dxcos xdxcl sin x 十1一僅有，倒是有 > 于是考慮變形=；=L，于是可cos* xcosx cos" x 1-sin"

22、; x以換元成為出，由P198例8知道，可以將空分拆為兩個(gè)一次分母的分J 1-w式和，分別積分即可。 f dx c dsinx/【解法一】=變形J cosx J 1-sin- xsin ,= u = f .換元；Jj-= -( + )du一一 分拆J 2 j 1 + M,1 + sin x =In+ Ccosx= ln|secx + tanx若將中間變量當(dāng)作簡(jiǎn)單變量處理， 解比一】dsnx一一整理化簡(jiǎn)|+c 一一整理化簡(jiǎn) 則過(guò)程可以簡(jiǎn)化很多。J cos x J 1-sirTX1 f .)d sin x1 + sin x= ；J J-C加+J4$4 一一分別積分=-f 6/(1 - W) + f

23、 6/(1 + W) 一湊微分 2 J 1-zzJ 1 + u= -ln|l-z/| + lrL |l + w| =In + C2 I1-/J/ = sin x = - in21 . (1+sinx)2=In ；2 1-sin' x1, (1+sinx)2 = -ln ；2cos"xi|14-m| + C j -clu = ln|z/| + CMlnMlnN = ln N1 + sinx +C 回代1-sinx+c一一整理化簡(jiǎn)+c整理化簡(jiǎn)=_ jd( _ sin x) + jd(l + sin x)=?T 皿-2 J I-sinxJ 1 + sinxsinx| + ln|l+

24、sin本結(jié)果也可以恒等變形為= Wsecx+tanx| + C?！痉治龆颗c中學(xué)里對(duì)三角函數(shù)的處理差不多，對(duì)不太熟悉的三角函數(shù) 可以有兩種處理方法，一是化為正弦、余弦進(jìn)行處理，二是利用“萬(wàn)能變換” 進(jìn)行處理?！叭f(wàn)能變換”是將三角函數(shù)化為正切函數(shù)的表達(dá)式，如本題中cos-+ sm 1 + tan sec 2乜=2 =于是cos* - -sin" -1- tan*1-tan2222【解法三】J”=2COS X)X sec"j上1-tan 222d- = dx2=7r/t 嗚1-tair-sec2 lulu = d tan u= 2j()d tan 分拆2+xx1 - tan 1

25、 + tan 22d tan + fd tan )t x 2 J x 22 一 tan 1 + tan 3 2d(l - tan ) + Id( + tan. YX=2- In 1 - tan +ln 1 + tan + C222 J i x1 - tan 1 + tan 2 2= 21n本結(jié)果也可以恒等變形為=ln&ecx + tanx| + C【例22】求fo （P200例13）J xlnxlnlnx【分析一】易見(jiàn)，4 = "lnx,于是一-一 =一!一Jinx, xxlnxlnlnx In xIn In x可以換元成為一"，又再有4, = 從而得u In it

26、u In uIn u【解法一】f=f!Jinx 一 = dnxJ xlnxlnlnx J In xIn In xxIn x = f!du 換元,J u In u=f!J Inw - = J In uJ In uu= ln|ln/| + C j = ln|v| + C =In x = In |ln In x + C 回代1dx【分析二】被積函數(shù)可以分解為復(fù)合函數(shù)一和微分部份一受一， In In xxnx而由于復(fù)合函數(shù)一 的中間變量為Inlnx,而41nlnx = '-1dx,于 In In xIn x x是有【解法二】|-= f!-d In In xJ xnx In In x J In

27、In x= ln|lnlnx| + C9、聯(lián)合換元有時(shí)替換為簡(jiǎn)單變量的中間變量?jī)xx）由多個(gè)函數(shù)的和差、枳、商構(gòu)成,但換元的手法還是如上的口訣，但有時(shí)須通過(guò)恒等變形才能獲得了火工業(yè)/磔衿的結(jié)構(gòu)?！纠?23求1-Sin /.v ° (P200 例 14) J x + cosx【分析】被積函數(shù)可以分解為復(fù)合函數(shù)一!一和微分部份X + COSX(1-sinx) ,可見(jiàn)復(fù)合函數(shù)一!的中間變量為x+cosx,而X + cos Xd(x+cos x) = (1sin x)dx,即得 r 1-sinx , r 1、解dx = "(x + cosx)J X + COSXJ x + cosx=

28、ln|.v + cosx| + C一件印州 + C【例24】求Jcos 2x(sin a + cos xYdx. (P200 例 15)【分析】由于分子、分母的三角函數(shù)不同角，應(yīng)先將分子的兩倍角化為單角，即cos 2xcos' x-sin - x(sin x + cos Ji)' (sin x + cos x)，(cos x - sin x)(sin x + cos x)(sinx + cosx)3cos x - sin x(sin x + cosx)2這時(shí)，被積函數(shù)可以分解為復(fù)合函數(shù)!r和微分部份(cosx-sinx)Jx ,可見(jiàn)復(fù)合函數(shù)(sin x +cos x- = (s

29、inx + cos x)-2 的中間 (sinx + cosx)-變量為 sin x + cos x,且 J (sin x + cos x) = (cos x - sin xdx，即得【解】Jcos 2x(sinx + cosx)dx = j (sin x + cos x)2 "(sin x + cos x)=一(sin x + cos x)-i + C【例25】求(""此(P201例16) J + xex【分析】被積函數(shù)可以分解為復(fù)合函數(shù)下和微分部份1 + M(l + x)eZx,可見(jiàn)復(fù)合函數(shù)的中間變量為1 + xel且”(l + xe) + xe=(ex +

30、xex )dx =(1 + x)exdx,于是【解】J " + '')' dx = | 一1一 J(1 4- x")J l + xe xJ + xex=In 1+ xex + C【例 26求 Jsin3Mxe, (P201 例 17)【分析】明顯可見(jiàn)sh?x不可直接積分，故需要將sin，xdx分解為復(fù)合 函數(shù)與微分部份，考慮到sinx公= -dcosx,而sin? x = l-cos? x ,于是【解】|sin' xdx = |sin' x-sinxdx= -J(l- cos2 x)d cos x= -(cosx-cos3 x) + C 利用 疝 的積分規(guī)律：當(dāng)被積函數(shù)是sinx或cosx的奇數(shù)次耗時(shí)，分離出1次部分湊微分，而余下偶數(shù)次某部分