北京市海淀區(qū)2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期中考試高三數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)(理科)2018.11理科第4頁，共4頁本試卷共4頁，150分6考試時長120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上 作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目 要求的一項(xiàng)。1.已知策合/ = "|、一40 , B = 1,2,3,若08 =族，則的取值范圍為B. 1,十8)C. (f,3D.民”)2.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且在(0,+8)上單調(diào)遞增的是A /(x) = x2 - |x|C. /(x) = |lnx| D.f(x) = 3.A.B. 0De4在等差

2、數(shù)列%中，q=1.a=2,則公差d的值為B.-3D.5 .角6的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4)y),且sin6=-不，則Sn8 =A/3C.二4D.6 .已知數(shù)列與的通項(xiàng)公式為(A充分不必要條件= %+：,則“% A aJ是“數(shù)列%單調(diào)遞增”的B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件7.已知向量:22r滿足4 + b + r = 0 ,且/aj/afL則 分、bc、c中最小的值是B. bcC.D.不能確定的2函數(shù)/(x) =工,g(x) = x2 -X + 3若存在$戶2,戶n £。4，使得f(xj+/()+一+/&-1)+ g(z)= g(%)+ g(%) + g(%

3、)+ fX)，則”的最大值為A 5B.63C.7D.8二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。9 .計(jì)算 Ig4 + lg25 =.10 .已知向量。= Q2), b = (3,l),則向量0,分夾角的大小為.11 .已知等比數(shù)列%的前項(xiàng)和為司，下表給出了的部分?jǐn)?shù)據(jù)：則數(shù)列的公比q=，首項(xiàng)】= 012 .函數(shù)/(x)= sin-a在區(qū)間0,何上的最大值為2,則° = 213 .能說明“若/(x)Ag(x)對任意的xe0.2都成立，則/Q)在0,2上的最小值大于g(x)在0,2上的最大值”為假命題的一對函數(shù)可以是/(©=，g(x)=。lnx,Ox<a14 .己知函數(shù)/

4、() = < e 一戶Aa x(1)若函數(shù)f(x)的最大值為1,則。=；(2)若函數(shù)/(兀)的圖像與直線了=且只有一個公共點(diǎn)，則a的取值范圍為e三、解答題共6小題，共SO分。解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程。15 .（本小題滿分13分）設(shè)是等比數(shù)列，S.為其前八項(xiàng)的和，且。2 =2.%+名=0.（I ）求%的通項(xiàng)公式；（II ）若S* 2 SO,求x的最小值一16 .（本小題滿分13分）已知函數(shù)/（x） = 25111X4- . C°S2X .sinr + cosx（I ）求/（0）的值，（II）求函數(shù)f"）在0,£上的單調(diào)遞增區(qū)間.17 .（本小題滿

5、分13分）已知函數(shù) /（x） = X3 + x2 + ax -1.（I ）當(dāng)4 = 一1時，求函數(shù)，（X）的單調(diào)區(qū)間；（II）求證：直線y = ?是曲線丁 = /（x）的切線；27（III）寫出a的一個值，使得函數(shù)/（工）有三個不同零點(diǎn)（只需直接寫出數(shù)值）18 .（本小題滿分13分）? /JA45c中，c = 7 , sinC = -.5（I ）若cos6 = 2,求的值： 7（II）若。十= 11,求A4SC的面積。19 （本小題滿分14分）已知函數(shù)/（外=比2一工一處 m（I）求函數(shù)f（x）的極值；（II）求證：存在%，使得了（X0）Y1的切線;20 .（本小題滿分14分）記無窮數(shù)列%的前

6、力項(xiàng)中最大值為M”，最小值為網(wǎng),，令。=”詈（I 若?！?2"一3，請寫出“力2也也的值；（II）求證：“數(shù)列/是等差數(shù)列”是'數(shù)列他,是等差數(shù)列”的充要條件；（HD若VeN*,同2018,同=1 ,求證二存在ktN*,使得有%1=2理科第4頁,共4頁海淀區(qū)高三年級第一學(xué)期期中練習(xí)參考答案數(shù)學(xué)(理科)2018.11說明：這份只是參考答案，不是評分標(biāo)準(zhǔn)，評分標(biāo)準(zhǔn)等試卷講評之后下發(fā)。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.l.B 2.D3.C4. A 5.C6. C7. A8. D二、填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.9. 210. -11. 3,412.

7、-1 或24 213. f(x)=x,g(x)=x-l14. c, (O,c三、解答題：本大題共6小題，共80分.15 .解：(I )設(shè)4的公比為g因?yàn)閝+S2 = q + q +%=2al +/=0又4 =2，所以q=1所以4=幺=2所以4 =可式】=1(2尸=(2產(chǎn)(II)因?yàn)?s =%(1-垢)_一1(1一(一2廠)_(一2廠一1 l-q - 1-(-2)-3所以 S>80,即'、-2；二1280,即(一2)” 之241顯然為奇數(shù)時，不等式不成立，當(dāng)為偶數(shù)時，即2”之241,解得之8所以的最小值為8.2/8cosO16 .解：(I ) /(0) = 2sinO += 1si

8、nO + cosO兀(II )因?yàn)閟inx + cosx wO ,所以x# An， 4即函數(shù)/(x)的定義域?yàn)閤|xhE-;，七gZ“、c cos2j f(x) = 2sinx +sin x +costc cos2 x-sin2 x2sinx +sinx+cosx= 2sinx + cosx-sinx= sinx + cosx = V2sin(x+)4-<x + < 2hc + 2423冗7E解得2E<x<2Jai + 9 kwZ44令我 = 0,得到一包4x4工，447T 因?yàn)閄/E,4所以/(x)在區(qū)間嗚上單調(diào)遞增區(qū)間為(0$17.解=()函數(shù)的定義域?yàn)?9,&qu

9、ot;”當(dāng)”=一1 時,+ -x-1所以才一 1令力(力=0.得天M-L&N；當(dāng)力變化時,廣6 /(分的變化情況如下表：XS-1)-1(-013*00+/極大值極小值/所以函數(shù)/(力的單調(diào)遞增區(qū)間為(a-1), (gm), J單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,3(II)法一；因?yàn)?Kx) = 3jc2+2x+/令尸(幻=3工*十2屬十。=，解得乙=。聲=一(因?yàn)?位)=-1,直線尸一雪不經(jīng)過(0,-1) 乙I而2、223而八一#一鏟-金，所以曲線廣/在點(diǎn)(金/(，處的切縷為尸(一卜一品=心一(一，化簡得到了=歌一高 £(所以無論"為何值，直線以-|1都是曲線廠/在點(diǎn)嚀/(管)處

10、的切線(EQ)取。的值為-2這里a的值不唯一,只要取。的值小于-1即可.V818.解：（I）在A/14C 中，因?yàn)閏osB = ,且8c（0,兀），所以sin8 = 2&b c根據(jù)正弦定理=；sin 4 sinC代入c = 7,sinC = /,解得方=5.（II）法一：在 A/14C 中，因?yàn)?sinC 二手，所以 cosC = ±*當(dāng)cosC = g時，根據(jù)余弦定理C”二標(biāo)十及-2abeosC且a+6 = ll,c = 7 ,得至|49 = 1212。6警，所以 a/>=30所以解得:;或： = ：ab = 306 = 56=6所以AABC的面積S用°二!

11、而sinC = 6而2當(dāng)cosC = -q時，根據(jù)余弦定理c? =。2+力2-2abcosC又Q + b = ll,c = 7,得至ijab = 45此時方程組ky”無解an = 45綜上，A48c的面積S35c二。AinC = 66.法二：在A4BC中，因?yàn)?622（° 二位:=擔(dān)>。227 22根據(jù)余弦定理cosC =4,得到cosC>02ab因?yàn)閟inC=晉，所以cosC=根據(jù)余弦定理。2=42+62一2而8$。和。+=11箝=7 ,得至 iJab=30所以2M8C的面積Spc二:而sinC = 6指 乙19.解：(I)函數(shù)，(x)的定義域?yàn)?0,”)且mO .尸(

12、x) = 2m11 2w2x2 -tmx-1 (2tmx+1)(7mx-1)tux mxmx令尸皿得到寸一表用= 當(dāng)加>0時，X, /'(X), /(x)的變化情況如下表:X(0.-) mm(*+°°) m一0一極小值/所以函數(shù)/(X)在工=工處取得極小值工)=如mtn m當(dāng)加<0時，當(dāng)x變化時，/0)，/(x)的變化情況如下表:X(0，-；) 2m2m(2產(chǎn)/'(X)+0一/極大值所以函數(shù)/(X)在工=-3處取得極大值/(-，) =2-+比網(wǎng)2m2m 4m m(II)當(dāng)機(jī)<0時，/(1) = 7«-1<0<1,結(jié)論成

13、立當(dāng)機(jī)>0時，由(I )知道，由(I )可知，/(%)的最小值是/(1) 二 皿，m m“存在%，使得等價于“人與<1 ”m而心_1二巴已m m設(shè)耳(%)=必不一冗，則8'(%)=工_1 = -x x當(dāng)0cx<1時，gf(x)>0 , g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)1<%時，gr(x)<0, g(x)單調(diào)遞減所以g(x)的最大值為g(l) = -l<0,所以/(上)一1 =皿匕竺<0,結(jié)論成立.m m8/820.解：（I）因?yàn)?=2"3，所以q=1，%=-2， %=-1，4 =43所以 4=T, b2=-,，3=一鼻，4=1（II）（必要

14、性）當(dāng)數(shù)列4是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為d當(dāng)4>0時,&一% =d>0,所以凡所以 =&，mn =a9當(dāng)d<0時,4 一% =d<°,所以4T所以此=%，而=勺，當(dāng)"=0時，一/_=4 = 0，所以41=勺_1所以此=q, mn =an綜上，總有2=43 2所以“&=&1色烏!用L = q,所以數(shù)列他是等差數(shù)列（充分性）當(dāng)數(shù)列%是等差數(shù)列時，設(shè)其公差為d*rod、1M'+叫 M. -7M, M-M, f W -7/L 1因?yàn)?-b = -= 1+- 口 = 4 ,'2222根據(jù)也的定義，有以下結(jié)論:M13M

15、lt，且兩個不等式中至少有一個取等號當(dāng),>。時，則必有此>“1，所以4 =M >M-i之凡-產(chǎn)所以。是一個單調(diào)遞增數(shù)列，所以力。=薛，/=%,所以b 如=生色= *以=d* ）2所以%-q1T=2，,即?！盀榈炔顢?shù)列當(dāng)d* <0時，則必有mn <叫t，所以q=JHn <如 <q.所以&是一個單調(diào)遞減數(shù)列，所以力% =，叫=為，所以 一d 1=- = = d 222所以4一4-1 = 2d*,即4為等差數(shù)列q八4 7 二M, + ?,，Mn 1一取 1 Mr-Mn 一 取一叫 1當(dāng)d =OH、j, b -b = -= 十- = 0刀 ”一12222因?yàn)榈靡谎c，乙一7丁1中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0,則另一個亦為0，所以/T，所以%為常數(shù)數(shù)列，所以4為等差數(shù)列 綜上，結(jié)論得證.(III)假設(shè)結(jié)論不成立.因?yàn)?41=1，即4=1或者”=一1，所以對任意KwN', 一定存在iNK,使得4抱+符號相反所以在數(shù)列依中存在,牝,牝,.,瓦,九“.，其中尢 卜且 -1 ="|=42 ="，=, = "，=4 小1=%41 ="2門="# = = "/Mk +nikMk 0 +力 4 +1因?yàn)椤埃?_1,&川=1,即. 叱2乜“=1注意至