函數的單調性教案

1、函數的單調性(兩課時)棗莊八中許靜【教學目標】1 .使學生從形與數兩方面理解函數單調性的概念，初步掌握利用函數圖象和單調性定義判斷、證 明函數單調性的方法.2 .通過對函數單調性定義的探究，滲透數形結合數學思想方法，培養(yǎng)學生觀察、歸納、抽象的能 力和語言表達能力；通過對函數單調性的證明，提高學生的推理論證能力.3 .通過知識的探究過程培養(yǎng)學生細心觀察、認真分析、嚴謹論證的良好思維習慣，讓學生經歷從具體到抽象，從特殊到一般，從感性到理性的認知過程.【教學重點】函數單調性的概念、判斷及證明.【教學難點】歸納抽象函數單調性的定義以及根據定義證明函數的單調性.【教學方法】教師啟發(fā)講授，學生探究學習.【

2、教具準備】計算機、投影儀.【教學過程】一、創(chuàng)設情境，引入課題課前布置任務：(1)由于某種原因，2008年北京奧運會開幕式時間由原定的7月25日推遲到8月8日，請查資料說明做出這個決定的主要原因 .(2)通過查閱歷史資料研究北京奧運會開幕式當天氣溫變化情況課上通過交流，可以了解到開幕式推遲主要是天氣的原因，北京的天氣到 8月中旬，平均氣溫、平均 降雨量和平均降雨天數等均開始下降，比較適宜大型國際體育賽事下圖是北京市今年 8月8日一天24小時內氣溫隨時間變化的曲線圖.引導學生識圖，捕捉信息，啟發(fā)學生思考.問題：觀察圖形，能得到什么信息？預案：(1)當天的最高溫度、最低溫度以及何時達到；(2)在某時

3、刻的溫度；(3)某些時段溫度升高，某些時段溫度降低.在生活中，我們關心很多數據的變化規(guī)律，了解這些數據的變化規(guī)律，對我們的生活是很有幫助的.問題：還能舉出生活中其他的數據變化情況嗎？預案：水位高低、燃油價格、股票價格等.歸納：用函數觀點看，其實就是隨著自變量的變化，函數值是變大還是變小.R設計意圖1由生活情境引入新課，激發(fā)興趣.二、歸納探索，形成概念對于自變量變化時，函數值是變大還是變小， 初中同學們就有了一定的認識，但是沒有嚴格的定義,今天我們的任務首先就是建立函數單調性的嚴格定義1.借助圖象，直觀感知»小>1N =工 + Z,尸三x +2,= jc ,y = 一問題1：分別

4、作出函數x的圖象，并且觀察自變量變化時，函數值有什么變化規(guī)律？預案：(i)函數y =在整個定義域內y隨x的增大而增大；函數y = 一4+2在整個定義域內y隨x的增大而減小.(2)函數口 7在0抻)上y隨x的增大而增大，在 9°)上y隨x的增大而減小.1 （3）函數工在（口，蟲切上y隨x的增大而減小，在上y隨x的增大而減小.引導學生進行分類描述 （增函數、減函數）.同時明確函數的單調性是對定義域內某個區(qū)間而言的，是函數的局部性質.問題2：能不能根據自己的理解說說什么是增函數、減函數 ？預案：如果函數,W 在某個區(qū)間上隨自變量 x的增大，y也越來越大，我們說函數 ,（工）在該區(qū) 間上為增

5、函數；如果函數 /（齊）在某個區(qū)間上隨自變量 x的增大，y越來越小，我們說函數 ,（工）在該區(qū) 間上為減函數.教師指出：這種認識是從圖象的角度得到的，是對函數單調性的直觀，描述性的認識.R設計意圖1從圖象直觀感知函數單調性，完成對函數單調性的第一次認識.2 .探究規(guī)律，理性認識2下二天十 （工 0）問題1：下圖是函數三的圖象，能說出這個函數分別在哪個區(qū)間為增函數和減函數嗎？學生的困難是難以確定分界點的確切位置.通過討論，使學生感受到用函數圖象判斷函數單調性雖然比較直觀，但有時不夠精確，需要結合解析式進行嚴密化、精確化的研究.R設計意圖1使學生體會到用數量大小關系嚴格表述函數單調性的必要性.問題

6、2:如何從解析式的角度說明 /同"在。,士為增函數?預案：(1)在給定區(qū)間內取兩個數，例如1和2,因為12<22,所以丁(幻=工在0，+8)為增函數.(2)仿(1),取很多組驗證均滿足，所以 (工)之爐在為增函數.(3)任取元廣電弓2十°°),且工1,因為上1 一工4引(X-巧)，即十7：,所以丁=父在電48)為增函數.對于學生錯誤的回答，引導學生分別用圖形語言和文字語言進行辨析，使學生認識到問題的根源在于自變量不可能被窮舉，從而引導學生在給定的區(qū)間內任意取兩個自變量為，三.R設計意圖1把對單調性的認識由感性上升到理性認識的高度，完成對概念的 第二次認識.事

7、實上也給出了證明單調性的方法，為證明單調性做好鋪墊3 .抽象思維，形成概念問題：你能用準確的數學符號語言表述出增函數的定義嗎？師生共同探究，得出增函數嚴格的定義，然后學生類比得出減函數的定義.(1)板書定義(2)鞏固概念(3判斷題：已知= L因為/(-1)匕丁(2),所以函坳是增函數 萬 .若函數/滿足則函物在區(qū)間內上為增函數若函數(X)在區(qū)間口二和(2,3)上均為增函數，則函數 ”工)在區(qū)間(1,3)上為增函數.因為函數在區(qū)間9°)和(°聲上都是減函數，所以""嚏在(-犯。)山。,2)上是減函數通過判斷題，強調三點：（如（或單調性是對定義域內某個區(qū)間而

8、言的，離開了定義域和相應區(qū)間就談不上單調性.對于某個具體函數的單調區(qū)間，可以是整個定義域（如一次函數），可以是定義域內某個區(qū)間二次函數），也可以根本不單調（如常函數）.函數在定義域內的兩個區(qū)間 AB上都是增（或減）函數，一般不能認為函數在上是增減）函數.思考：如何說明一個函數在某個區(qū)間上不是單調函數？R設計意圖1讓學生由特殊到一般，從具體到抽象歸納出單調性的定義，通過對判斷題的辨析，加深學生對定義的理解，完成對概念的第三次認識.三、掌握證法，適當延展2例：證明函數克在74+0叼上是增函數.1.分析解決問題針對學生可能出現的問題，組織學生討論、交流.設元求差變形證明：任取'.匚 '

9、;,/（zi） 一心）-（a + -） - d4）-（瓦一）+ （=5-?。?叫3三每一/XI-）斷號.”口足0,即. 函數"' 元 天在（逝18）上是增函數.定論2.歸納解題步驟 引導學生歸納證明函數單調性的步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.練習：證明函數 /三石在朝上是增函數.問題：要證明函數在區(qū)間（必）上是增函數，除了用定義來證，如果可以證得對任意的工1,/e （%右），且勺w X?有一可以嗎？引導學生分析這種敘述與定義的等價性.讓學生嘗試用這種等價形式證明函數,=石在上是增函數.R設計意圖1初步掌握根據定義證明函數單調性的方法和步驟.等價形式進一步發(fā)展可以得到導數法

10、，為用導數方法研究函數單調性埋下伏筆. 四、歸納小結，提高認識學生交流在本節(jié)課學習中的體會、收獲，交流學習過程中的體驗和感受，師生合作共同完成小結.1 .小結（1） 概念探究過程：直觀到抽象、特殊到一般、感性到理性.（2）證明方法和步驟：設元、作差、變形、斷號、定論.（3） 數學思想方法和思維方法：數形結合，等價轉化，類比等.2 .作業(yè)書面作業(yè)：課本第 60頁習題2.3第4, 5, 6題.課后探究：證明：函數/（七在區(qū)間（”金）上是增函數的充要條件是對任意的£工+ “£ （見可，且“二0,有力尸二工+工5 > 0）（2）研究函數工的單調性，并結合描點法畫出函數的草圖.

11、函數的單調性教學設計說明、教學內容的分析函數的單調性是學生在了解函數概念后學習的函數的第一個性質，是函數學習中第一個用數學符號語言刻畫的概念，為進一步學習函數其它性質提供了方法依據對于函數單調性，學生的認知困難主要在兩個方面：（ 1 ）要求用準確的數學符號語言去刻畫圖象的上升與下降，這種由形到數的翻譯，從直觀到抽象的轉變對高一的學生是比較困難的；（2 ）單調性的證明是學生在函數內容中首次接觸到的代數論證內容，而學生在代數方面的推理論證能力是比較薄弱的根據以上的分析和教學大綱的要求，確定了本節(jié)課的重點和難點二、教學目標的確定根據本課教材的特點、 教學大綱對本節(jié)課的教學要求以及學生的認知水平， 從三個不同的方面確定了教學目標，重視單調性概念的形成過程和對概念本質的認識；強調判斷、證明函數單調性的方法的落實以及數形結合思想的滲透；突出語言表達能力、推理論證能力的培養(yǎng)和良好思維習慣的養(yǎng)成三、教學方法和教學手段的選擇本節(jié)課是函數單調性的起始課，采用教師啟發(fā)講授，學生探究學習的教學方法，通過創(chuàng)設情境，引導探究，師生交流，最終形成概念，獲得方法本節(jié)課使用了多媒體投影和計算機來輔助教學，目的是充分發(fā)揮其快捷、 生動、 形象的特點， 為學生提供直觀感性的材料， 有助于學生對問題的理解和認識四、教學過程的設計為達到本節(jié)課的教學目標，突出重點，突破難點，教學上采取了以下的措施：（ 1）在探索概念階段