消元法在解題中的應用

1、消元法在解題中的應用方法精要在一些較復雜的題目中，若含有兩個或兩個以上的未知數(shù)時，為了保證先求出其中的一種數(shù)量，往往要通過對某些數(shù)量的比較，設法先消去一個或幾個未知量，從而把一道數(shù)量關系復雜的題目變成簡單的題目解出來，這種解題方法就是消元法用消元法解題時注意以下幾點：1把條件寫成幾個等式，并排列在一起進行比較，如果有一種量的數(shù)相同，就很容易把這種量消去2如果兩種量的數(shù)都不相同，可以用一個數(shù)去乘等式的兩邊，使其中的一個量的數(shù)相同然后消去這個量3解答后，可以把結果代入條件列出的每一個等式中計算，檢驗是否符合題意題型一消元法在平面向量中的應用例1設a，b，c，d，e，且2ab，cbd,2e3b4d，

2、求證：點C是線段AE的中點破題切入點本題涉及到的向量比較多，觀察結論，根據(jù)結論的要求，只需證明c(ae)，因此，只要不斷消元，即可得到向量c，a，e的關系證明因為2ab，cbd，所以b2a，dc2a，代入2e3b4d，可得2e3×2a4×(c2a)，整理得c(ae)，所以點C是線段AE的中點題型二消元法在解析幾何中的應用例2已知雙曲線1(a>1，b>0)的焦距為2c，離心率為e，若點(1,0)與(1,0)到直線1的距離之和Sc，則e的取值范圍是_破題切入點根據(jù)已知的不等式找a，c所滿足的不等式，轉化為關于離心率e的不等式，通過這個不等式解得雙曲線的離心率的范圍答

3、案，解析Sc，2c25ab，即4c425a2(c2a2)，即4c425a2c225a40，即4e425e2250，解得e25，即e.總結提高消元思想是中學數(shù)學的重要思想方法之一，它既可以顯性的表現(xiàn)為具體的技能，如降冪、減少變量的個數(shù)等，又指導著思維的方向，如對題設或結論的簡化意識等，在解題的動態(tài)思維過程中，如能緊扣消元的數(shù)學思想，重視消元法的應用，就會嘗到柳暗花明又一村帶來的樂趣1已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)和偶函數(shù)g(x)滿足f(x)g(x)axax2(a>0，且a1)，若g(2)a，則f(2)的值為()A2B.C.Da2答案B解析因為f(x)g(x)axax2，則f(x)g(x)a

4、xax2，聯(lián)立可得g(x)2，又因為g(2)a，故a2.因為f(2)g(2)a2a22，g(2)a，則f(2)a2a22a222222.2(2013·浙江)已知R，sin2cos，則tan2的值為()A.B.CD答案C解析因為sin2cos，又sin2cos21，聯(lián)立解得或故tan，或tan3，代入可得tan2，或tan2.3設m>1，在約束條件下，目標函數(shù)zxmy的最大值小于2，則m的取值范圍為()A(1,1) B(1，)C(1,3) D(3，)答案A解析畫出可行域，或分別解方程組得到三個區(qū)域端點(0,0)，(，)，(，)，當且僅當直線zxmy過點(，)時，z取到最大值z&l

5、t;2，解得m(1,1)4若橢圓1(a>b>0)的離心率e，右焦點為F(c,0)，方程ax22bxc0的兩個實根分別是x1和x2，則點P(x1，x2)到原點的距離為()A.B.C2D.答案A解析因為e，所以a2c，由a2b2c2，得，x1x2，x1·x2，點P(x1，x2)到原點(0,0)的距離d.5過拋物線y28x的焦點F作傾斜角為135°的直線交拋物線于A，B兩點，則弦AB的長為()A4B8C12D16答案D解析拋物線y28x的焦點F的坐標為(2,0)，直線AB的傾斜角為135°，故直線AB的方程為yx2代入拋物線方程y28x，得x212x40.設

6、A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦AB的長|AB|x1x2|16.6拋物線y24x的焦點為F，點P(x，y)為該拋物線上的動點，又點A(1,0)，則的最小值是()A.B.C.D.答案B解析由題意知x0，則焦點F(1,0)，|PF|x1，|PA|，當x0時，1；當x>0時，1<(當且僅當x1時取等號)因此當x0時，1，1，的最小值是.7已知雙曲線：1(a>0，b>0)的離心率e2，過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若直線AB過原點，則k1k2的值為()A2B3C.D.答案B解析由題意知e2，則b23a2，雙曲線方程可化為3

7、x2y23a2，設A(m，n)，M(x，y)，則B(m，n)，k1k2·3.8已知圓C1：x2y22x2y20和圓C2：x2y24x4y10，則過兩圓交點的公共弦所在直線方程為_答案2x2y10解析聯(lián)立兩圓的方程，消去二次項即得公共弦所在直線的方程2x2y10.9設x，yR，且xy0，則(x2)(4y2)的最小值為_答案9解析(x2)(4y2)54x2y2529，當且僅當x2y2時“”成立10設a，b，c，d，m，n，p，q是不同時為零的實數(shù)，如果manbpcqd0，且(mn)2(pq)20.求證：A，B，C，D共線或ABCD.證明因為(mn)2(pq)20，m，n，p，q是不同時為

8、零的實數(shù)，mn，pq，代入manbpcqd0得n(ba)q(dc)nq，n0，(否則m，p，q均為零)，即A，B，C，D共線或ABCD.11.如圖，已知拋物線C：y22px(p>0)上橫坐標為3的一點，與其焦點的距離為4.(1)求p的值；(2)設動直線yxb(b>3)與拋物線C相交于A、B兩點，問在直線l：y2上是否存在與b的取值無關的定點M，使得AMB被直線l平分？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由解(1)由已知得|3|4，p>0，p2.(2)令A(x1，y1)，B(x2，y2)，設存在點M(a,2)滿足條件，由已知得kAMkBM，即有0，x1，x2；整理得y1y

9、2(y1y2)4a(y1y2)2(yy)16a0；由得y24y4b0，即y1y24，y1y24b有4b·(4)4a(4)2(4)28b16a0，a1，因此存在點M(1,2)，而當b>3時線段AB在點M(1，2)的左上方，滿足題意12已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓C的離心率為，且經(jīng)過點M(1，)(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在過點P(2,1)的直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，滿足·2？若存在，求出直線l1的方程；若不存在，請說明理由解(1)設橢圓C的方程為1(a>b>0)，由題意得解得a24，b23.故橢圓C的方程為1.(2)假設存在直線l1且由題意得斜率存在，設滿足條件的方程為yk1(x2)1，代入橢圓C的方程得，(34k)x28k1(2k11)x16k16k180.因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，所以8k1(2k11)24(34k)·(16k16k18)32(6k13)>0，所以k1