拋物線專題復(fù)習(xí)講義及練習(xí)答案

1、拋物線1 .拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)（p0）:2 .拋物線的焦半徑、焦點(diǎn)弦2 py( p 0)的焦半徑PFy22Px(p0)的焦半徑PFx-；X22過焦點(diǎn)的所有弦中最短的弦，也被稱做通徑.其長(zhǎng)度為2P.AB為拋物線y22Px的焦點(diǎn)弦，則xAXB2p2，NaIbp，|AB|=xaxb4考點(diǎn)1拋物線的定義題型利用定義，實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換例1 已知點(diǎn)P在拋物線y2 = 4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q （2, 1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和的最小值為【解題思路】將點(diǎn) P到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離解析過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線l交準(zhǔn)線于點(diǎn)R,由拋物線的定義知,P

2、Q PF PQ PR,當(dāng)P點(diǎn)為拋物線與垂線l的交點(diǎn)時(shí)，PQPR取得最小值，最小值為點(diǎn)Q到準(zhǔn)線的距離，因準(zhǔn)線方程為x=-1，故最小值為3【名師指引】靈活利用拋物線的定義，就是實(shí)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離之間的轉(zhuǎn)換，一般來說，用定義問題都與焦半徑問題相關(guān)1.已知拋物線y2 2 px（ p【新題導(dǎo)練】0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(x1，y)F2(x2,y2),(x%y)在拋物線上，且|pf|、|P2F|、|rf|成等差數(shù)列，則有（）Axx2x3Cx1x32x2b.yy2y3D.yy32y2解析1 C 由拋物線定義,2.已知點(diǎn)A（3,4）, F是拋物線y22d6)(X)(x36),即：x1x32

3、228x的焦點(diǎn),m是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)MAMF最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是A.(0,0)B.(3,26)C.(2,4)D.(3,2.6)解析設(shè)M到準(zhǔn)線的距離為MK，則|MA|MF|MAMK,當(dāng)MAMK最小時(shí),M點(diǎn)坐標(biāo)是（2,4）,選C考點(diǎn)2拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程題型：求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對(duì)應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：過點(diǎn)(-3,2)(2)焦點(diǎn)在直線x2y40上【解題思路】以方程的觀點(diǎn)看待問題，并注意開口方向的討論解析(1)設(shè)所求的拋物線的方程為y22Px或x22py(p0),(-3,2)42p(3)或92p294拋物線方程為2 4f29yx或x-y,3 219刖者的傕線萬程是x

4、-,后者的準(zhǔn)線方程為y-38(2)令x0得y2,令y0得x4,拋物線的焦點(diǎn)為(4,0)或(0,-2),當(dāng)焦點(diǎn)為(4,0)時(shí)，K4,2P8,此時(shí)拋物線方程y216x;焦點(diǎn)為(0,-2)時(shí)衛(wèi)22P4,此時(shí)拋物線方程x28y.所求拋物線方程為y216x或x28y,對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x4,y2.【名師指引】對(duì)開口方向要特別小心，考慮問題要全面【新題導(dǎo)練】23 .若拋物線y22Px的焦點(diǎn)與雙曲線弋y21的右焦點(diǎn)重合，則p的值解析E,甲7p424 .若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，開口向上，F(xiàn)為焦點(diǎn)，M為準(zhǔn)線與Y軸的交點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，且|AM|<17,|AF|3,求此拋物線的方程解析設(shè)點(diǎn)A'是

5、點(diǎn)A在準(zhǔn)線上的射影，則|AA'|3,由勾股定理知|MA'|2J2,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為(2衣,3多，代入方程x22py得P2或4,拋物線的方程x24y或x28y考點(diǎn)3拋物線的幾何性質(zhì)題型：有關(guān)焦半徑和焦點(diǎn)弦的計(jì)算與論證2例3設(shè)A、B為拋物線y2Px上的點(diǎn)，且AOB90(O為原點(diǎn)，則直線AB必過的定點(diǎn)坐標(biāo)為.【解題思路】由特殊入手，先探求定點(diǎn)位置、，ykx2p2p解析1設(shè)直線OA方程為ykx,由9解出A點(diǎn)坐標(biāo)為(，,2p)y22pxkkk(x 2pk2)人2，y1 k21y-x-k解出B點(diǎn)坐標(biāo)為(2pk,2pk),直線AB方程為y2pky22pxy0得x2p,直線AB必過的定點(diǎn)(2p,

6、0)【名師指引】(1)由于是填空題，可取兩特殊直線AB,求交點(diǎn)即可；(2)B點(diǎn)坐標(biāo)可由A一一1點(diǎn)坐標(biāo)用一換k而得。k【新題導(dǎo)練】26 .若直線axy10經(jīng)過拋物線y4x的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a解析-17 .過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于兩點(diǎn)A、B,若A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1,B1,則A1FB1()A.45B.60C.90D.120解析C基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練21.過拋物線y4x的焦點(diǎn)作一條直線與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)之和等于2a22a4(aR),則這樣的直線()A.有且僅有一條B.有且僅有兩條C.1條或2條D.不存在解析C|AB|xAxBpa22a5(a1)244,而通徑的長(zhǎng)為4.2.2

7、 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若拋物線x4y上的點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為5,則點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為()A.3B.4C.5D.6解析B利用拋物線的定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線y1的距離為5,故點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為4.3 .兩個(gè)正數(shù)a、b的等差中項(xiàng)是9,一個(gè)等比中項(xiàng)是25且ab,則拋物線y2(ba)x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(0,ii4)B.叼)C.(112，0)D-(4，0)解析D.a5,b4,ba124.如果R , P2,，P8是拋物線y24x上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為Xi,X2,，X8,F是拋物線的焦點(diǎn)，若Xi,X2,Xn(n().A.5B.6解析B根據(jù)拋物線的定義，可知N)成等差數(shù)列且XiX2X945,則IP5F尸

8、C.7D.9PFXE為1(i1,2,，n),2X1,X2,Xn(nN)成等差數(shù)列且X1X2X945,X55,|F5F|=65、拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,l與x軸相交于點(diǎn)E,過F且傾斜角等于60。的直線與拋物線在X軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AB±1,垂足為B,則四邊形ABEF的面積等于()A.373B,473C.6,3D.8V3解析C.過A作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H,設(shè)A(m,n),則AFABm1,FHOHOFm1,m12(m1)m3,n213四邊形ABEF的面積=12(31)2v36v322uuu6、設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線y24x的焦點(diǎn)，A是拋物線上的一點(diǎn)，F(xiàn)A與x軸正向u

9、uu的夾角為60°,則OA為.解析V21.過A作ADx軸于D,令FDm,則FA2m即2m2m,解得m2.綜合提高訓(xùn)練7.在拋物線y4x2上求一點(diǎn)，使該點(diǎn)到直線y4x5的距離為最短，求該點(diǎn)的坐標(biāo)解析解法1：設(shè)拋物線上的點(diǎn)P(x,4x2),點(diǎn)P到直線的距離d214x24x5117,z12.|4(x2)4|51717當(dāng)且僅當(dāng)1,_，-X一時(shí)取等號(hào)，故所求的點(diǎn)為21(2，1)解法2：當(dāng)平行于直線y4x5且與拋物線相切的直線與拋物線的公共點(diǎn)為所求，設(shè)該直線方程為y4xb,代入拋物線方程得4x24xb0,1 1由1616b0得b1,x,故所求的點(diǎn)為(,1)2 28.已知拋物線C:yax2(a為非

10、零常數(shù))的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為拋物線c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P且與拋物線c相切的直線記為l.(1)求F的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P在何處時(shí)，點(diǎn)F到直線l的距離最??？1解：(1)拋物線方程為x2-ya1 、故焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,)4a2(2)設(shè)P(xo,yo)則yoaxo直線l的方程是yax(22ax0(xx0)9.設(shè)拋物線y22Px(p0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)點(diǎn)C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BC/X軸.證明直線AC經(jīng)過原點(diǎn)O.證明：因?yàn)閽佄锞€y22Px(p0)的焦點(diǎn)為F衛(wèi),0,所以經(jīng)過點(diǎn)F的直線AB的方程2可設(shè)為xmyE,代人拋物線方程得222y2pmyp0.若記Ax1,y1,Bx2,y2，則y1，y2是該方程的兩個(gè)根，所以2yy2p.因?yàn)锽C/X軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x9上，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為-,y2,22故直線CO的斜率為k上2PM.Ey1x12即k也是直線OA的斜率，所以直線AC經(jīng)過原點(diǎn)Q2210.橢圓、1上有一點(diǎn)M(-4,9)在拋物線y22px(p>0)的準(zhǔn)線l上，拋物a2b25線的焦點(diǎn)也是橢圓焦點(diǎn).(1)求橢圓方程;(2)若點(diǎn)N在拋物線上，過N作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為Q距離，求|MN|+|NQ|的最小值.22解：(1)_y2_1上的點(diǎn)M在拋物線y22pxab(p>0)的準(zhǔn)線l上，拋物線