機械振動公式

1、彈簧串并聯(lián)串聯(lián)111kk=+,k=12kk1k2k1+k2 并聯(lián) k=k1+k2單自由度無阻尼自由振動xk +kx=0, +n2x=0,n2=,x=x0cosnt+0sinnt,m xxmn02x2-1x0nx=Asin(t+),A=x+(),=tg() n0 nx d(Ek+Ep) (1)求微分方程：定理法，能量法=0;dt k21 (2)求固有頻率：定義法n2=，T=,f=,mnTg靜變形法=;n st 0)(3)求響應：A,(x0,x單自由度有阻尼自由振動cc +cx +kx=0, +2nx +n2x=0,=m xx=,ccr=2mn,2mnccr0+nx0x2( 1)x=xcost+s

2、int,=-n,0ddd d +nx02xx0d2 x=Ae-ntsin(dt+),A=x0+(0),=tg-1() dx0+nx0A12 =lni=nTd=jAi+j -2單自由度有阻尼強迫振動簡諧力直接激勵+cx +kx=Fsint,x=Bsin(t-),m x F2 B=,=tg-1,=,22221-nk(1-)+(2)F 無阻尼時，B= k-2x1F=,x=,- st222xst(1-)+(2)k偏心激勵單自由度有阻尼強迫振動支承運動激勵m x +cx +kx=m20esint,x=Bsin(t-),B=m0e2k(1-2)2+(2)=m0em(1-2)2+(2),=mx2m=(1-)

3、+(2),-0e222單自由度有阻尼強迫振動m x+cx +kx=cx g+kx2g=Xgk+(c)2sin(t+),=tg-1(2),x=Bsin(t+-),=tg-1(21-)B=Xgk2+(c)2)2k(1-2)2+(2)=Xg+(2(1-2)2+(2),=B+(2)2X=g(1-2)2,+(2)2 2, 1,隔振要有適當阻尼單自由度有阻尼強迫振動周期激勵疊加原理mx +cx +kx=f1(t)+f2(t)x=x1+x2傅立葉級數(shù)展開單自由度有阻尼強迫振動任意激勵（1）時域求解：杜哈美積分x=1t-n(t-)mF()esind(t-d0)d（2）頻域求解：傅立葉變換X()=1Z()F()

4、=H()F(),Z()=k-m2+jc,機械阻抗，H()=1Z(),機械導納，頻響函數(shù)，（3）拉氏域求解：拉普拉斯變換X(s)=G(s)F(s),G(s)=1ms2+cs+k,傳遞函數(shù)。兩個自由度振動系統(tǒng)微分方程建立拉格郎日法EEEdEk()-k+d+u=Qi(i=1,2,.,n) i iqidtqqiq式中：EkEdEu分別為系統(tǒng)動能，能量散逸函數(shù)和系統(tǒng)勢能； iqi分別為廣義速度，廣義q位移；Qi為廣義激振力；n為自由度數(shù)；矩陣法 +Cx +Kx=f(t)M x1 1x xxf(t) =,x =,x=1,f(t)=1分別為x 2 2x xx2f2(t) 加速度、速度、位移和激振力向量； 一

5、般矩陣方程可以先用拉格朗日法導出微分方程組 再改寫。兩個自由度無阻尼自由振動m11,m12m1,0式中：M=0,m為質(zhì)量矩陣；m,m22122c,cc1+c2,- c2為阻尼矩陣；C=1112=-c,c+cc,c2122223k11,k12k1+k2,-k2K=-k,k+k為剛度矩陣；k,k2122223+Kx =0M xA1設x=Asin(nt+),A=為振幅向量，A2代入得K-n2MA=0,狀態(tài)方程（兩元一次齊次代數(shù)方程），要A0,有K-n2M=0，特征方程（關于n2的一元兩次方程），2-b b-4ac2n1，=,兩個固有頻率，n1,n2,22a2a=M=m1m2,c=K=k11k12-k

6、12,b=-(m11k22+m22k11);r1,2=k11-n21,2m11-k12,兩個固有振型，r1,r2,畫振型圖，在第2階振型中有一個節(jié)點。求響應，響應應為兩個主振動的迭加，x1=x1(1)+x1(2)=A1(1)sin(n1t+1)+A1(2)sin(n2t+2),(1)(2)x2=x2+x2=r1A1(1)sin(n1t+1)+r2A1(2)sin(n2t+2),四個未知量A1(1)，1，A1(2)，2可由初始條件求出；10x10x 0=，初位移向量x0=,初速度向量x 20x20x一般用下式求D1D2D3D4比較方便，特別有較多零初始條件時：x1=D1cosn1t+D2sinn1t+D3cosn2t+D4sinn2t,x2=r1(D1cosn1t+D2sinn1t)+r2(D3cosn2t+D4sinn2t),10=0,x 20=v,則D1+D3=0,r1D1+r2D3=0,如x10=x20=xD2n1+D4n2=0,r1D2n1+r2D4n2=v,易求D1D2D3D4兩個自由度無阻尼強迫振動F +Kx=Fsint,F=1為力幅向量；M xF2設x=Asint,代入得：22-1K-MA=F,兩元一次非齊次代數(shù)方程，A=K-MF,即k22-2m22,-k122A1-k21,k11-m11F1,=2AK-M2F2當=n1或=n2時有兩個共振點；多自由度