最近九年北京高考數學(理)壓軸題(共14頁)

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上1(北京17)設an和bn是兩個等差數列，記cn=maxb1a1n,b2a2n,bnann(n=1,2,3,)，其中maxx1,x2,xs表示x1,x2,xs這s個數中最大的數（）若an=n，bn=2n1，求c1,c2,c3的值，并證明cn是等差數列；（）證明：或者對任意正數M，存在正整數m，當nm時，；或者存在正整數m，使得cm,cm+1,cm+2,是等差數列2（北京16）設數列A： ， , (N2)。如果對小于n(2nN)的每個正整數k都有，則稱n是數列A的一個“G時刻”。記“G（A）是數列A 的所有“G時刻”組成的集合。（I）對數列A：-2，2，-1，1，3，寫

2、出G（A）的所有元素；(II)證明：若數列A中存在使得>，則G（A）；(III）證明：若數列A滿足- 1（n=2,3, ,N）,則G（A）的元素個數不小于-。3（北京15）已知數列滿足：，且記集合（）若，寫出集合的所有元素；（）若集合存在一個元素是3的倍數，證明：的所有元素都是3的倍數；（）求集合的元素個數的最大值4（北京14）對于數對序列，記，其中表示和兩個數中最大的數，（1） 對于數對序列 P(2,5),(4,1)，求的值.（2） 記為四個數中最小值，對于由兩個數對組成的數對序列g 和，試分別對和的兩種情況比較和的大小.（3）在由5個數對組成的所有數對序列中，寫出一個數對序列 使最小

3、，并寫出的值.（只需寫出結論）.5（北京13）已知是由非負整數組成的無窮數列，該數列前項的最大值記為，第項之后的各項，的最小值記為，（1）若為，是一個周期為4的數列（即對任意，）寫出，的值。（2）設為非負整數，證明：（）的充分必要條件為是公差為的等差數列。（3）證明：若，（）則的項只能是1或2，且有無窮多項為1.6（北京12）設A是由m×n個實數組成的m行n列的數表，滿足：每個數的絕對值不大于1，且所有數的和為零，記S(m，n)為所有這樣的數表構成的集合。對于AS(m,n),記ri(A)為A的第行各數之和（1m），Cj(A)為A的第j列各數之和（1jn）：記K(A)為r1(A),R2

4、(A),Rm(A),C1(A),C2(A),Cn(A)中的最小值。（1） 對如下數表A，求K（A）的值；11-0.80.1-0.3-1（2）設數表AS（2,3）形如11CAB-1求K（A）的最大值；（3）給定正整數t，對于所有的AS（2,2t+1），求K（A）的最大值。7（北京11）若數列（）滿足，則稱為數列，記。（）寫出一個滿足，且的數列；（）若，證明數列是遞增數列的充要條件是；8（北京10）已知集合對于，定義A與B的差為A與B之間的距離為（）證明：，且;（）證明：三個數中至少有一個是偶數() 設P，P中有m(m2)個元素，記P中所有兩元素間距離的平均值為(P). 證明：（P）.9（北京09

5、）已知數集具有性質；對任意的，與兩數中至少有一個屬于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）分別判斷數集與是否具有性質，并說明理由；（）證明：，且；（）證明：當時，成等比數列.k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 1(北京17) 【解析】（1）易知，且，下面我們證明，對且，都有當且時，且，因此，對且，則又，故對均成立，從而為等差數列（2）設數列與的公差分別為，下面我們考慮的取值對，考慮其中任意項（且），下面我們分，三種情況進行討論（1）若，則若，則則對于給定的正整數而言，此時，故為等差數列若，則則對于給定的正整數而言，此時，故為等差數列此時取，則是等差數列，命題成立（2

6、）若，則此時為一個關于的一次項系數為負數的一次函數故必存在，使得當時，則當時，（，）因此，當時，此時，故從第項開始為等差數列，命題成立（3）若，則此時為一個關于的一次項系數為正數的一次函數故必存在，使得當時，則當時，（，）因此，當時，此時令，下面證明對任意正數，存在正整數，使得當時，若，則?。ū硎静淮笥诘淖畲笳麛担┊敃r，此時命題成立若，則取當時，此時命題也成立因此，對任意正數，存在正整數，使得當時，綜合以上三種情況，命題得證2（北京16）解：（）根據題干可得，a1=2，a2=2，a3=1，a4=1，a5=3，a1a2滿足條件，2滿足條件，a2a3不滿足條件，3不滿足條件，a2a4不滿足條件，4

7、不滿足條件，a1，a2，a3，a4，均小于a5，因此5滿足條件，因此G（A）=2，5（）因為存在ana1，設數列A中第一個大于a1的項為ak，則aka1ai，其中2ik1，所以kG（A），G（A）；（）設A數列的所有“G時刻”為i1i2Lik，對于第一個“G時刻”i1，有a1ai（i=2，3，L，i11），則ai1對于第二個“G時刻”i1，有ai（i=2，3，L，i11），則1類似的1，1于是，k（）+（）+L+（）+（a1）=a1對于aN，若NG（A），則=aN若NG（A），則aN，否則由（2）知，L，aN，中存在“G時刻”與只有k個“G時刻”矛盾從而ka1aNa13（北京15）解：（） （

8、）因為集合存在一個元素是3的倍數，所以不妨設是3的倍數。 由 當時，都是3的倍數。 如果，則集合的所有元素都是3的倍數。 如果，因為或， 所以是3的倍數， 于是是3的倍數。 類似可得，都是3的倍數。綜上，若集合存在一個元素是3的倍數，則的所有元素都是3的倍數。（）若，由，可歸納證明， 因為是正整數，由， 所以是2的倍數。 從而當時，時4的倍數。 如果是3的倍數，由（）知對所有正整數，是3的倍數。 因此當時，.這時的元素個數不超過5. 如果不是3的倍數，由（）知對所有正整數，不是3的倍數。因此當時，這時的元素個數不超過8. 當時，由8個元素。 綜上可知：集合的元素個數的最大值為8.4（北京14）

9、解：（I）=8（） .當m=a時，=因為，且，所以當m=d時，因為，且所以。所以無論m=a還是m=d，都成立。（）數對序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，=10，=26，=42，=50，=525（北京13）解：（1）， （2）充分性：若是公差為的等差數列，則于是，必要性：若（），假設是第一個使得的項，則，與矛盾因此是不減的數列進而，即因此是公差為的等差數列。（3）首先，中的項不能是，否則，矛盾 其次，中的項不能超過，用反證法證明如下： 若中有超過的項，設是第一個大于的項，中一定存在某項為，否則與矛盾。當時，否則與矛盾；因此存在最大的在到之間，使得，

10、此時綜上，中沒有超過的項所以中的項只能是或下面證明有無數個，用反證法證明如下：若為最后一個，則，矛盾因此有無數個6（北京12）解：（1）由題意可知，（2）先用反證法證明：若，則，同理可知，由題目所有數和為即與題目條件矛盾易知當時，存在的最大值為1（3）的最大值為.首先構造滿足的：，.經計算知，中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且，.下面證明是最大值. 若不然，則存在一個數表，使得.由的定義知的每一列兩個數之和的絕對值都不小于，而兩個絕對值不超過1的數的和，其絕對值不超過2，故的每一列兩個數之和的絕對值都在區(qū)間中. 由于，故的每一列兩個數符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于.設中

11、有列的列和為正，有列的列和為負，由對稱性不妨設，則. 另外，由對稱性不妨設的第一行行和為正，第二行行和為負.考慮的第一行，由前面結論知的第一行有不超過個正數和不少于個負數，每個正數的絕對值不超過1（即每個正數均不超過1），每個負數的絕對值不小于（即每個負數均不超過）. 因此，故的第一行行和的絕對值小于，與假設矛盾. 因此的7（北京11）解：（）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數列A5。（答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個滿足條件的E的數列A5）（）必要性：因為E數列A5是遞增數列，所以.所以A5是首項為12，公差為1的等差數列.所以a2000=12+（20001）×1=201

12、1.充分性，由于a2000a10001，a2000a10001a2a11所以a2000a19999，即a2000a1+1999.又因為a1=12，a2000=2011, 所以a2000=a1+1999.故是遞增數列.綜上，結論得證。（）令因為所以因為所以為偶數,所以要使為偶數,8（北京10）證明：（I）設， 因為，所以, 從而 又由題意知，.當時，; 當時，所以(II)設， ，. 記，由（I）可知 所以中1的個數為，的1的個數為。 設是使成立的的個數，則 由此可知，三個數不可能都是奇數， 即,三個數中至少有一個是偶數。（III）,其中表示中所有兩個元素間距離的總和，設種所有元素的第個位置的數字中共有個1，個0則=由于所以從而9（北京09）（）由于與均不屬于數集，該數集不具有性質P. 由于都屬于數集， 該數集具有性質P. （）具有性質P，與中至少有一個屬于A，由于，