指數(shù)對數(shù)概念及運算公式

1、指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)重難點根式的概念:定義：若一個數(shù)的n次方等于a（n 1,且nN ），則這個數(shù)稱a的n次方根.即，若xn a，則x稱a的n次方根n1且n N ）,1）當(dāng)n為奇數(shù)時，a的n次方根記作n a ；2）當(dāng)n為偶數(shù)時，負(fù)數(shù)a沒有n次方根，而正數(shù)a有兩個n次方根且互為相反數(shù)，記n a(a 0).3）當(dāng)n為偶數(shù)時，:a |a(a 0) a |a(a 0)幕的有關(guān)概念：規(guī)定：1） ana ak工a(nn*, 2) a01(a 0),/n個13) a pp (paQ, 4)man n am(a 0,m、n N 且 n 1)性質(zhì)：1）（n a）n a ；2當(dāng)n為奇數(shù)時，n an a ；性質(zhì)：1)a

2、r as ar s(a 0, r、s G)，r sr s2) (a )a (a 0,r、s G)，3) (a b)r ar br(a 0,b 0,rg)(注)上述性質(zhì)對r、s R均適用例求值2 1(1)83 (2)25 21 5 16 7(3)2( 4)81例.用分?jǐn)?shù)指數(shù)幕表示下列分式(2)（其中各式字母均為正數(shù).a . a a(3)3 (a b)2(4)4 (a b)3(5)3 ab2 a2b(6)4 (a3b3)2例.化簡求值(1)227)3 8(0.002)1'10(. 52)1C.2.3)0(2)1(0.0273)2.5(3)2 12a3b2(5)6123256°12

3、5 ( 32盧0.1 1313pa1 53a6b6指數(shù)函數(shù)的定義:定義:函數(shù)yax(a0,且a 1)稱指數(shù)函數(shù),1)函數(shù)的定義域為 R,3)當(dāng)0 a 1時函數(shù)為減函數(shù)，當(dāng) a1時函數(shù)為增函數(shù)提問:在下列的關(guān)系式中，哪些不是指數(shù)函數(shù)，為什么？(1)x 2y 2(2)yx(2)(3) yx2(4)xy(5)yx2(6) y4x2(7)xy x(8)y(a 1)x(a > 1，且 a2)例:比較下列各題中的個值的大小(1)1. 7Z5 與 1.73(2)0.8 0J與 0.8 0.2(3 )0. 31. 7 與3. 10. 9例：已知指數(shù)函數(shù) f (x)x /a ( a>0且a豐1)的圖

4、象過點(3, n函數(shù)的值域為(0,),2),求f(0), f(1), f( 3)的值.思考：已知a 0.80.7,b0.8嚴(yán)，c 1.2°.8,按大小順序排列a, b, c .xxxxa , (2)y b ,(3)y c , (4)y d例如圖為指數(shù)函數(shù)(1)ya,b, c, d與1的大小關(guān)系為(A)(C)(B) b a 1 d(D) a b 1 d1、函數(shù)y2x奇函數(shù)、偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)2、函數(shù)的值域是(,1,00,1,D 、 (， 1)0,3、已知1,b1 ,則函數(shù)yb的圖像必定不經(jīng)過第一象限、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限例.求函數(shù)yx2的值域和單調(diào)區(qū)間2 1

5、例 若不等式3x 2ax>( )x+1對一切實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值圍為 33x 12x(1.f (x)='，貝U f (x)值域為.31 x 2 x 1,考查分段函數(shù)值域【解析】x ( a ,1 時,x _ 1 w 0,0<3 w 1, 2<f (x) w_ 1x (1,+ a)時，1_x<0,0<31_x<1, 2<f(x)< 1f(x)值域為(一2, 1【答案】(一2, 1例、已知f(ex e x) e2x e 2x 2，則函數(shù)f (x)的值域是例點(2, 1)與(1, 2)在函數(shù)f x2ax b的圖象上，求f x的解析式例.設(shè)

6、函數(shù)f(x)2|x 1 |x 1 ,求使f(x) 2.2的x取值圍.例已知定義域為 R的函數(shù)f (x)21 b是奇函數(shù)。2 a(I)求a,b的值;(n)若對任意的t R，不等式f(t2 2t) f(2t2 k) 0恒成立，求k的取值圍;對數(shù)的概念： 定義：如果a（a 0,且a 1）的b次幕等于N,就是abN，那么數(shù)b稱以a為底N的對數(shù)，記作loga N b,其中a稱對數(shù)的底，N稱真數(shù).1） 以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，log10 N記作|g N，2） 以無理數(shù)e（e 2.71828 ）為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，log e N記作In N 基本性質(zhì)：1） 真數(shù)N為正數(shù)（負(fù)數(shù)和零無對數(shù)），2）log

7、a 10，3）log a a 1，4） 對數(shù)恒等式：alogaNN例將下列指數(shù)式化為對數(shù)式,4(1) 5=645對數(shù)式化為指數(shù)式丄64(2) 2 61（3）（護 573（4） log1 1642例：求下列各式中x的值2（1） log64x3(5)log10 0.01(2) logx86(6) loge102.303(3) lg100x ( 4) ln e2xx.分析：將對數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運算性質(zhì)求出1(1) 5 2175(2)log 4x(3) 3x 丄27（4）（1）x464(5)lg 0.0001 x5(6) lne利用對數(shù)恒等式alogaNN求下列各式的值：(1) (1嚴(yán)4

8、3（丄嚴(yán)5 4G）log3543log1 4log 1 :23 310 log0.01 27弓(3) 25log5249log73100lgJ6x的值例練習(xí)：將下列指數(shù)式與對數(shù)式互化，有x的求出log4l2log 9 27運算性質(zhì)：如果a 0,a0,M0, N 0,則1) log a (MN ) log a M log a N ；M2) log a logaM log a N ；N3) log a M n n log a M (n r).換底公式：log a N log m N (a 0, a 0, m 0, m 1, N 0), logm a1) log a b log b a 1 ,2 )

9、 log m bn log ab.a對數(shù)函數(shù)的運算規(guī)律例.用logax， loga y， log a z表示下列各式:(1) logaxy ；( 2)z解: ( 1) loga 翌zloga(xy) loga zlogaX loga y loga z ；例.求下列各式的值：(1) log2 47 25 ；解：(1)原式=log 2 47(2) lg5 面lx2jyloga.(2) loga 學(xué)Vz loga(x y) loga3 z logaX2 loga .y loga 3 z1 12loga X -loga y 3logaz.5log2 2 =7log 24 5log 2 27 2 5 1

10、19 ；1 2 2 2(2)原式=|g102 lg10 -555例.計算：(1) lg14 21g7 lg 7 lg18 ；3lg 243lg9ig2 lg50+(lg5)(5)lg25+lg2 lg50+(lg2)解：（1）Ig14 2lg- Ig7 Ig183lg(2 7) 2(lg7 Ig3)Ig 7 Ig(3 2)lg 2 Ig7 2Ig72Ig3 Ig7 2Ig3 Ig 20 ；5,2) Ig 243 Ig35Ig3 5(2)2Ig 9Ig32Ig3 2例.計算：（1）解：（1）原式=（2） 原式=例.求值：;51 Iogo.23.5IOg0.2IOg53(2)15 ;Iog4 3I

11、og92Iog2 4 32 .12 Iog2 32也2沁2；例.求值(1) Iog 89 Iog 2732(4) (Iog 2125+Iog 425+Iog 85)(Iog 1258+Iog 254+Iog s2)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)典型例題例比較下列各組數(shù)中兩個值的大小：（1） Iog 2 3.4，Iog 2 8.5 ；（ 2） Iog o.a1.8，Iogo.3 2.7 ；解：（1）對數(shù)函數(shù)y Iog2 x在（0,）上是增函數(shù)，于是 Iog 2 3.4 Iog 2 8.5 ；（2）對數(shù)函數(shù)y Iog 0.3 x在（0,）上是減函數(shù)，于是 Iog0.a1.8 Iog 0.3 2.7 ；2、比較大?。?/p>

12、1） Iog2?Iog2（a2 a 1） og a Ioga e,（a 1）4 已知 a log 0.7 0.8, b log1.1 0.8,c 1.107，貝U a,b,c的大小關(guān)系是()(A) a b c(B) b a例 比較下列各組數(shù)中的兩個值大?。?1) log 23.4，log 28.5(2) log 0.31.8，log 0.32.7c(C) cab(D) b c a(A) (0,1)1(B) (0,)21(C)(J)(D) (1，)(3)log a5.1 , log a5.9(a >0 且 1)例 如何確定圖中各函數(shù)的底數(shù)a, b, c, d與1的大小關(guān)系?提示：作一直線y

13、 = 1，該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標(biāo)即為它們相應(yīng)的底數(shù)dv 1 v av b例求下列函數(shù)的定義域(1) y= y=ln(ax-k 2x)(a > 0 且 a 工 1, k R).例求函數(shù)yloglog 1 (x2 2x23)的單調(diào)區(qū)間解:設(shè)y1u，22 u x2x23，由u 0得x2x 30，知定義域為(,1)(3,)又u(x21)4，則當(dāng)x (,1)時，u是減函數(shù)；當(dāng)x (3,)時，u是增函數(shù)，而 y log1 u在R上是減函數(shù)2(x2 3x 3)y log-,的單調(diào)增區(qū)間為(，1)，單調(diào)減區(qū)間為(3,)2例 函數(shù)ylog°.52x log0.5 x 2的單調(diào)減區(qū)間是

14、。 2例 已知 y=log4(2x+3 x ).(1) 求定義域；(2) 求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；(3) 求y的最大值，并求取最大值時x值.考點 考查對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的單調(diào)性、最值2【解】(1)由2x+3 x >0,解得1<x<3 f(x)定義域為x| 1<x<3(2)令 u=2x+3 x，則 u>0, y=log 4u 由于 u=2x+3 x2= (x 1)2+4再考慮定義域可知，其增區(qū)間是(一 1, 1),減區(qū)間是1, 3又y=log 4U為(0,+ g)增函數(shù)，故該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為(一1,1,減區(qū)間為1, 3)2 2(3)v u=2x+3 x =

15、 (x 1) +4< 4二 y=log 4u< log 44=1故當(dāng)x=1時，u取最大值4時，y取最大值1.2例 求函數(shù)y log3(x 6x 10)的最小值.變式求函數(shù)f(x) lg( x2 8x 7)的定義域及值域.例 已知函數(shù)y=f(2)定義域為1, 2:,則y=f (log次)的定義域為()A. : 1, 2B. : 4, 16C. 0, 1 :D. ( g ,0 :考查函數(shù)定義域的理解【解析】由K XW 2 2< 2x< 4, y=f(x)定義域為2, 4由 2< log 2XW 4,得 4W xw 16【答案】B 例作出下列函數(shù)的圖像，并指出其單調(diào)區(qū)間

16、.(1) y=lg( x),y=log 2區(qū) +1|(3)y =|log 1 (x 1)|, (4)y=log2(1 x).2例已知函數(shù) f ( t) =log 2t , t . 2,8.(1) 求f ( t)的值域G2 2(2) 若對于G的所有實數(shù)x，不等式x +2mx- m+2mc 1恒成立，數(shù) m的取值圍.已知函數(shù)f (x)= lgx x124 a2"a a 1其中a為常數(shù)，若當(dāng)x ( g, 1時，f (x)有意義,數(shù)a的取值圍.分析：參數(shù)深含在一個復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)的表達式中，欲直接建立關(guān)于a的不等式(組)非常困難，故應(yīng)轉(zhuǎn)換思維角度，設(shè)法從原式中把 a分離出來，重新認(rèn)識 a與其它

17、變元(x)的依存 關(guān)系，利用新的函數(shù)關(guān)系，?？墒乖瓎栴}“柳暗花明”解:1 2xxa2 a 1且 a2 a+1=(a )2+ >0,24x x1+2 +4 a>0, a>),11當(dāng)x ( g , 1時,y= -與y= -都是減函數(shù),4x2x1 1y= (rx)在(g , 1上是增函數(shù),423 3a>,故a的取值圍是(一，+ g).4 41 _3x) max= 72 4a1例 已知 a>0 且 a 豐 1 ,f (log a x ) = (x )a21x(1) 求 f(x)；(2) 判斷f(x)的奇偶性與單調(diào)性；(3) 對于 f(x),當(dāng) x ( 1 , 1) 時，有

18、 f( 1 m ) +f (1 解：(1)令 t=log ax(t R)，貝U2m ) < 0 , 求m的集合M .xat, f (t)2 at), f(x)a x),(xR).f( x)a/XX2 (a a )a 1u(x)ax a乂為增函數(shù)，當(dāng)0 aaf (x),且x R, f (x)為奇函數(shù)當(dāng)a 1時,二 0, a 11時,類似可判斷f(x)為增函數(shù)綜上，無論a 1或0 a 1,f(x)在R上都是增函數(shù).(3) f (1 m) f(1 m2)0, f(x)是奇函數(shù)且在R上是增函數(shù)，f(1 m) f(m2 1)又x ( 1,1)11 m112 .m 111 m . 212m m111

19、 v例 已知函數(shù)f(x) 1 log2，求函數(shù)f (x)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.x1 x例、已知函數(shù)f(x) lg兇，(k RMk 0).x 1(i)求函數(shù)f(x)的定義域；(n)若函數(shù)f(x)在10, +g)上單調(diào)遞增，求 k的取值圍.1 函數(shù)f(x)lg(3x 1)的定義域是1 1A ( 3' ) B ( 了)2 已知函數(shù)f (x) =lg (2x b) (b為常數(shù))，若x1, +g時，f (x)> 0恒成立, 則3.4.A bw 1B. bv 1C. b> 1D. b=1函數(shù)y= x2 2x 3的單調(diào)遞減區(qū)間為A . (8, 3)B . (8, 1)C.

20、: 1,設(shè)f(x)是定義在A上的減函數(shù)，且f( x) > 0,則下列函數(shù):(x) ,y=1 f (x)，其中增函數(shù)的個數(shù)為C. 3n p=A.y|y>1B.y|y> 1C .121.56、設(shè)y140.9,y280.48,y3，則Ay3y1y2b 、y2y1y3C7、在blog(a 2) (5a)中，實數(shù)a的取值圍是Aa 5或 a2B 、2a3或 3a 5n 3n10&已知函數(shù)f(n)ff(n5)n10 ,(A)2(B)4(C)65、y1C其中ny|y>0 .若集合 M=y|y=2), P=y|y=_ x 1 , My3xxa9、D. : 3, 1 :y=3 2f

21、 (x) ,y=1+ 2D. 4.y|yf (x)y2、y1y2N ，則f (8)的值為(D)7,y=f2y3Fl1 / ql / I » 1IJ丿 1'0"x口0 二廠>-l、?-L卜1/>-1/LI: 1)函數(shù)ya 1)的圖象的大致形狀是(010 .當(dāng)a>0且a豐1, x > 0, y> 0, n N*，下列各式不恒等 的是A . log anx = 1 log ax nB. log ax = nlog an xC.xlogax = xD. log axn+ log ayn= n (log ax+ log ay)11 log8 9的值是() log2 32 3A.B . 1 C . - D . 23 2212函數(shù)