大學(xué)物理一計(jì)算題

1、1、均勻帶電細(xì)線ABC£成如圖所示的形狀, 其線電荷密度為入，試求圓心。處的電勢。解：U10兩段直線的電勢為2ln 240半圓的電勢為O點(diǎn)電勢V2、有一半徑為(2ln 240a的半圓環(huán),左半截均勻帶有負(fù)電荷，電荷線密度為-入，右半截均勻帶有正電荷， 電線密度為入，如圖。試求：環(huán)心處 O點(diǎn)的電 場強(qiáng)度。解:dqdE如圖,dl14在半圓周上取電荷元 dq addq由對稱性ExdExdEcos1cos d o a20a3、一錐頂角為9的圓臺，上下底面半徑分別為R和R,在 它的側(cè)面上均勻帶電，電荷面密度為（T ,求頂點(diǎn)。的電勢。 （以無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)）解：以頂點(diǎn)。作坐標(biāo)原點(diǎn)，圓錐軸線為X軸

2、向下為正. 在任意位置x處取高度為d x的小圓環(huán)，其面積為dx 八 tan , dS 2 r 2 xdxcos cos其上電量為_ tg dq dS 2xdxcos 它在。點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為dU 一4dq220 r xtan dxtan , xdxcosx2U dU tan dx總電勢2 °x14、已知一帶電細(xì)桿，桿長為l ,其線電荷密 度為人=cx,其中c為常數(shù)。試求距桿右端 距離為a的P點(diǎn)電勢。解：考慮桿上坐標(biāo)為x的一小塊dx dx在P點(diǎn)產(chǎn)生的電勢為1 dx c xdxdU4 0 l a x 4 0 l a x 求上式的積分，得P點(diǎn)上的電勢為c l xdx1O5、有一半徑為a的非均勻

3、帶電的半球面,電荷面密度為 cos 0 ,(T0為恒量。試求：球心處 O點(diǎn)的電勢。解：上取一圓環(huán)，ds 2 Rsin Rddq ds2 RsinRd圓環(huán)的電勢dUdq4 0RU dU2 2 Rsin Rd040R0 Rcos sin d2 04 0 01 a xdU2 0 cos d 024 02 06、有一半徑為a的非均勻帶電的半圓環(huán),電荷線密度為 入 =X 0 cos 0 ,入0為恒量。試求：圓心處。點(diǎn)的電勢。在半圓上取電荷元dq, dq dU,40adqdl ad7、有寬度為a的直長均勻帶電薄板，沿長度方向單位長度的 帶電量為入，試求：與板的邊緣距離為b的一點(diǎn)P處的電 場強(qiáng)度(已知電荷線

4、密度為 人的無限長直線的電場強(qiáng)度為- ) °a20r解:如圖，取寬為dx的窄條為研究對象,視為無限長帶電直線，由無限長帶電直線電場電荷線密度為- dx a公式，有dE-dx a2 o(a b x)整個(gè)帶電薄板的電場強(qiáng) 度dEdx a0 2 0(a b x)2 0a,a bInb8、有一瓦楞狀直長均勻帶電薄板，面電荷密度為 6，瓦楞 圓半徑為a ,試求：軸線中部一點(diǎn)P處的電場強(qiáng)度。(已知荷線密度為人的無限長直線的電場強(qiáng)度為E ) 20r解： 如圖，頂視圖，取寬為 dl的窄條為對象，視為無 限長帶電直線，電荷線密度 為 dl addEExdExdEcosdcos0 2 20=0Ey dE

5、y dEsinJn電荷以相同的面密度o-分布在半徑分別為 R =10 cm和 二 20 cm兩個(gè)同心球面上。設(shè)無限遠(yuǎn)處電勢為零,球心處的電勢為V0 = 300 V。(1)求電荷面密度 ；(2)若要使球心處的電勢也為零，外球面上的電荷面密度 cr ,應(yīng)為多少？ (£ o = X10-12 C2N"m2)q14 RU 20q24r2解：(1)U 10U 20qi4 R1q24r2-(Ri R2)(2) 008.85 10 9c/m2(Ri R2)10、如圖，長直圓柱面半徑 為R,單位長度帶電為 理計(jì)算圓柱面內(nèi)外的電場強(qiáng)度。Qi斛： E ds 0E 0 (0 r R )E- (

6、R r )2 r入,試用高斯定BL _d11、電荷Q均勻分布在長為l的細(xì)桿AB上，P點(diǎn)位于 AB的延長線上，且與B相距為d,求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度。解：dEdx-2 Xdx Qx2 4 l12、電荷Q均勻分布在長為l的細(xì)桿AB上，P點(diǎn)位 于AB的延長線上，且與B相距為d,求P點(diǎn)的電勢。解:dqQdx ldU44 oxUddl乃言一13、電荷Q均勻分布在半徑為R的半圓周上，求曲率中心。處 Q 的電場強(qiáng)度。，RO解：如圖，在圓周上取電荷元dqdqdEQdl Rd R1 dq“TR2Q -d由對稱性，Ey 0E ExdExdEcosdq4 0 R2cosQ2 cos R2Q2 2 0R214、用細(xì)的絕緣棒

7、彎成半徑為 R的圓弧，該圓弧對圓心所張的 角為2 a ，總電荷q沿棒均勻分布，求圓心處的電場強(qiáng)度。解：如圖，在圓弧上取電荷元dqdqdEdl -qRdR21 dq4 o R2由對稱性，Ey 0E ExdExdEcos1 dq 7 cos40 Rq- cos d =q 2 sin4 0 2R4 °Rx15、求均勻帶電圓環(huán)軸線上任一點(diǎn) P處的電場強(qiáng)度（圓環(huán)半徑為R, 帶電量為Q）解:在圓環(huán)上任取電荷兀 dq,則dE1 dqZT22 ，4 0 R x由對稱性知，dE 0E ExdEx1 dq x 1 Qx22':-22-77722、3/24 0 Rxr2x240 (Rx )1、一平

8、板電容器的電容為1X10-11F,充電到帶電荷為X 10-8C后，斷開電源，求極 板間的電壓及電場能量。解：U=Q/C=1000VW=Q/2C= X 10-6J2、點(diǎn)電荷帶電q,位于一個(gè)內(nèi)外半徑分別為 R、的的金屬球殼的球心, 如圖，P為金屬球殼內(nèi)的一點(diǎn)，求：（1）金屬球殼內(nèi)表面和外表面的 感應(yīng)電荷；（2） P點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小和P點(diǎn)的電勢。解：（1）內(nèi)表面感應(yīng)電荷-q ,外表面感應(yīng)電荷 q（2） E=0 V -q40R23、圓柱形電容器，長度為 L,半徑分別為 R和R,二柱面間充滿相對介電常數(shù) 為 j的均勻介質(zhì)。設(shè)電容器充電后，兩極板單位長度上帶電量分別為+入和-入求：(1)(2)(3) 解：

9、兩極板間的電場強(qiáng)度; 圓柱形電容器的電容; 它儲有的電能。（1用高斯定理，柱形電容器極板間電場強(qiáng)度為E2 r 0 r(2)極板間電勢差 V Edr InR-,2 r 0Rir oL,R2ln -R(3)WeQ22LlnR2Ri2C4、如圖，半徑為R的金屬球，帶電Q球外有一層均勻電介質(zhì)的同心球殼，其內(nèi)外半徑分別為 Ri和R2,相對介電常數(shù)為質(zhì)中的一點(diǎn)，離球心為r(1)(2)試用高斯定理求P點(diǎn)的電場強(qiáng)度 E；由E求P點(diǎn)的電勢V由高斯定理，作半徑為r的球形高斯面QP點(diǎn)的電場強(qiáng)度大小2rr方向徑向向外（2）由以上結(jié)論介質(zhì)中2rr真空中Q4 or2P點(diǎn)的電勢R2U EdrrR2EdrR2r 4QQ20

10、rr1drQR2 40r2drrrrqP40 R21)5、金屬球半徑為R,帶電qi ,外有一同心金屬球殼，半徑分別為R、 R,金屬球殼帶電q2 ,求金屬球和球殼之間一點(diǎn) P的電勢。解：由靜電感應(yīng)，球殼內(nèi)表 面帶電q1,外表面帶電q1 q2利用迭加原理，P點(diǎn)的電勢U i （qi 曳曳曳）4 0r R2 R3 R36、如圖所示，平板電容器（極板面積為 S,間距為d）中間有 兩層厚度各為di和d2、電 容率各為e1和 的電解質(zhì)，試計(jì) 算其電容。解： D dS D dS D dS D dS= DS S S上下IfflVaVb= -di d212C s1 2sVa Vb d1 2 d2 17、如圖球形電

11、容器，內(nèi)外半徑分別為 R1和R,二球面間充滿相 對介電常 數(shù)為£的均勻介質(zhì)，當(dāng)該電容器充電量為Q時(shí)，求:(1)(3)介質(zhì)內(nèi)D,E的大?。唬?）內(nèi) 外球殼之間的電勢差 AU ；球形電容器的電容C; （4）它儲有的電能解:由高斯定理，作半徑為r的球形高斯面D 4 r2 QR2 UR1Edr(3)CQUQ22Cc QD24 rR2Q2 drR1 40 rr0 rR1R2R2 R1- 2 Q (R2 R)80鄧2D 4-(r R R2(4)We8、圓柱形電容器，長度為L,半徑分別為R1和號，二柱面間充滿相對介電 常數(shù)為口的均勻介質(zhì)，當(dāng)該電容器充電量為Q時(shí)，求：(1)圓柱形電容器的電容；(2)

12、它儲有的電能。解： 由高斯定理，柱形電容 器極板間電場強(qiáng)度為E -一Q極板間電勢差 U2 r 0 r 2 r 0 rL Q 2 r oLC U RTln RiI2 Q2lnR2 (2)We - R12C 4 oLV、r 、D通”的圖斯定理(2)如圖二，試寫出磁場強(qiáng)度矢量Hv沿閉合曲線出通過閉合曲面S的電位移矢量L的環(huán)流的安培環(huán)路定理。(1)圖試寫解： sD dS q v v(2)LHdl (Ii I2 I3)2、如圖所示，一根長為 L ,均勻帶電量為 Q的細(xì)棒，以速 度V沿X軸正向運(yùn)動，當(dāng)細(xì)棒運(yùn)動至與Y軸重合的位置時(shí)，細(xì)棒下端到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為a,求此時(shí)細(xì)棒在。點(diǎn)產(chǎn)生的 磁感應(yīng)弓雖度 B。解

13、：在細(xì)棒上距 O點(diǎn)y取電荷元dq= X dy ,由運(yùn)動電荷的磁 場公式o dqV 0 VQdB2 2dy方向垂直向里4 y 4 Lya L 0 VQ ,0 VQ L2 dya 4 Ly24 L a(a L)a3、在半彳5為a和b的兩圓周之間，有一總匝數(shù)為 N的均勻密繞平面螺線圈(即單位長度半徑上的匝數(shù)為磁感應(yīng)強(qiáng)度。N 、 一 . 、 . . 一一一 n ),通以電流I ,如圖所不。求線圈中心 O點(diǎn)處的b adBBodl 27dB0NIdr2r(b a)RoNIdrr 2r(b a)oNI2(b a)In b a4、一半徑R的圓盤，其上均勻帶有面密度為 6的電荷，圓盤以角 速度繞通過盤心垂直于盤

14、面的軸轉(zhuǎn)動，試證其磁矩的大小為14Pm - 3 (T R。4解：取半徑為r寬為dr的圓環(huán)22dpm dI r 2 rdr - rR 314Pmr drR04r3dr5、用兩根彼此平行的半無限長直導(dǎo)線 Li、L2把半徑為R的均勻?qū)?體圓環(huán)聯(lián)到電源上，如圖所示。已知直導(dǎo)線上的電流為I。求圓環(huán) 中心。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小。解：I 工 I I 31I 14 I,I24 Ic 1c 1133 1c I213 IBB1, B22R 2R 432R 2R 432RB B1 B20BL1 0,BL2 -(sin 2 sin 1 )4 R4 R6、內(nèi)外半徑分別為a、b的圓環(huán)，其上均勻帶有面密度為 6的 電荷，圓

15、環(huán)以角速度繞通過圓環(huán)中心垂直于環(huán)面的軸轉(zhuǎn)動， 求：圓環(huán)中心處的磁感強(qiáng)度大小。解:IB2R解：取半徑為r寬為dr的圓環(huán)，dI -Ndr b adqds 2 rdrdi ndq 2 rdr dB dr22r 2bbdBadra 2r(ba)7、如圖，兩段共心圓弧與半徑構(gòu)成一閉合載流回路， 對應(yīng)的圓 心角為0 (rad),電流強(qiáng)度為I。求圓心。處的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大 小和方向。B解：2RBa2a 2BbI2b 2B BaaBb(b1) a8、將通有電流I的導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀 的大小和方向。解：由圓電流公式B求O點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度矢量Ba2RI4aBb4bBaBbab解:dqBQd -dx ba b0d

16、IdI ndq Qdx 2 ba 2X aa b0 0 2x2Qdx bo Q, a b In 4 b b9、如圖所示，電荷Q均勻分布在長為b的細(xì)桿上，桿 以角速度繞垂直于紙面過O點(diǎn)的軸轉(zhuǎn)動。O點(diǎn)在 桿的延長線上，與桿的一端距離為 a,求O點(diǎn)處的磁感 應(yīng)強(qiáng)度B的大小。4R10、將通有電流I的導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀，求O點(diǎn)處的磁感強(qiáng)度Bo解:dBo Idl4R27dl 4 R2oJ2:B? dl oIBi 2 r 0 rBi半徑為a的小圓柱體在p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2為:B2 2a oI oB2空心圓柱體p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B為:11、在半徑為2a的無限長金屬圓柱體內(nèi)挖去一半徑為 a無 限長圓柱體，兩圓

17、柱體的軸線平行，相距為 a,如圖所示。 今有電流沿空心柱體的的軸線方向流動， 電流均勻分布在空 心柱體的橫截面上，設(shè)電流密度為6 0 求P點(diǎn)及。點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解:半徑為2a的圓柱體在p點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1為:B , Bi2B2(2)半徑為2a的圓柱體在o點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B1為:B1B1 2 a oI半徑為a的小圓柱體在o點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B2 o 空心圓柱體 o點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：B= B1 B212、將通有電流I的導(dǎo)線彎成如圖所示的形狀，度Bo解：dB 一 4dBABIdl-2" roIdl4 b2BbcoBABoI4 b2BCDo I4 b2dloIBCD8aoI(3a b)8ab(方向向

18、內(nèi))求O點(diǎn)處的磁感強(qiáng)Bd現(xiàn)沿導(dǎo)線長度方向取長為l銅的磁導(dǎo)率S的磁通S0。B的電荷圓盤圓盤中心處的0dr17RPIoaq/2 R0np1cos0Rxdx o°NI平面S,如圖 計(jì)算通過平面d B dS15、一根很長的銅導(dǎo)線載由電流10A,在導(dǎo)線內(nèi)部作一lB dl16、一半在 以角速度 磁感強(qiáng)度。B dl l2 r 0NI£ 1.0 106 l=1m0 Ix2R2RBldx 0cdIdq 2 rdr,dI n 2 rdr, dB 一 , B 2rB2 r0NIh R2 ln 一2R1oII2 R2B2 xR2型hdr 2 r如圖所示，求螺繞環(huán)IoIR23(a2 R2)'

19、13、如圖，有一邊長為a的正方形導(dǎo)線回路，載有電流I,求 正方形中心處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小和方向。解：14、螺繞環(huán)通有電流I ,總匝數(shù)為No 內(nèi)的磁感強(qiáng)度。°Idl sina°Idl0 .解：dB 20 丁，a 900, B dBx dBsin4 r 4 r18、如圖，一無限長薄平板導(dǎo)體，寬為 a ,通有電流I ,求和導(dǎo)體共面的距導(dǎo)體一邊距離為d的P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：如圖，在薄板上取窄條，視為無限長直線電流,dIdB-dx aodl2 (a d x)0 1dx2 a(a d x)dBa 01dx0 2 a(a d x)011adIn 2 a d方向垂直紙面向里1、一半徑為R

20、的均勻帶電圓盤，電荷面密度為，當(dāng)它 繞其軸線以角速度 轉(zhuǎn)動時(shí)，磁矩為多少？若圓盤置于 均勻磁場B中，B的方向平行盤面，如圖所示，圓盤所 受磁力矩大小為多少？解：取半徑為r,寬為dr的圓環(huán)為研究對象dPm SdI2 rdr2S r2di dq TdPm34r dr R4MPmBsin R4B242、正方形線圈可繞Y軸轉(zhuǎn)動，邊長為l ,通有電流I。今將線圈放置在方向平行于 X軸的均勻磁場B 中，如圖所示。求：(1)線圈各邊所受的作用力； (2)要維持線圈在圖示位置所需的外力矩。解: df Idl B fif3IBlf2f4IBlsin300 MPm B MISBsin1200IBl 2 sin12

21、003、如圖所示，在XOY平面內(nèi)有四分之一圓弧形狀的導(dǎo)線， 半徑為R,通以電流I ,處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場中， 磁場方向垂直向里。求圓弧狀導(dǎo)線所受的安培力。解：df IBdlRd IBRIBRV2IBR 方向：與x軸正向成45度dfIdl Bfx2 IB cos0同理 fyff-fy4、如圖所示，在XOY平面內(nèi)有四分之一圓弧形狀的導(dǎo)線， 半徑為R,通以電流I,處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B ak的均勻 磁場中，a為正常數(shù)，求圓弧狀導(dǎo)線所受的安培力。解：dF Idl B IBdl dFx IB cos dl dFy 舊sin dl2FxIB cos dl IBR0F . Fx2Fy22IBRFy IB

22、R5、如圖所示，在XOYF面內(nèi)有四分之一圓弧形狀的導(dǎo)線，半 徑為R通以電流I ,處于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B ai bj的均 勻磁場中，a、b均為正常數(shù)，求圓弧狀導(dǎo)線所受的安培力。dF Idl B I (dxi dyj ) (ai bj ) I (bdx ady) kRdF I 0 (bdxady) k IR(b a) k6、半徑為R的平 面圓形線 圈中載有電流I2,另一無限長直導(dǎo)線 AB中載有電流設(shè)AB通過圓心，并和圓形線圈在同一平面內(nèi)（如圖），求圓形線圈所受的磁力。解:dFB112dldF0 I1I2 . dl2 rdl RddFxdF coso"2 Rcos d2 rdFx0 I1I 2 dr RcosFx0（方向向右）7、如圖所示，一平面半圓形線圈放在一無限長直導(dǎo)線 旁，且兩者共面。長直導(dǎo)線中通有電流I,半圓形線圈 中也通有電流I ,半圓形線圈的半徑為R,中心到直 導(dǎo)線的距