數(shù)學(xué)建模案例分析3隨機(jī)性人口模型概率統(tǒng)計(jì)方法建模_第1頁(yè)
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1、3 隨機(jī)性人口模型如果研究對(duì)象是一個(gè)自然村落或一個(gè)家族人口，數(shù)量不大，需作為離散變量看待時(shí)，就利用隨機(jī)性人口模型來(lái)描述其變化過(guò)程。記 時(shí)刻的人口數(shù)（只取整數(shù)值） 人口為的概率模型假設(shè) 1、在 出生一人的概率與 成正比，記作，出生二人及二人以上的概率為；2、在 死亡一人的概率與 成正比，記作，死亡二人及二人以上的概率為；3、出生與死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件；4、進(jìn)一步設(shè)和均為與成正比，記和分別是單位時(shí)間內(nèi)時(shí)一個(gè)人出生和死亡的概率。模型建立 由假設(shè)，可知可分解為三個(gè)互不相容的事件之和： 且內(nèi)出生一人；且 內(nèi)死亡一人；且內(nèi)無(wú)人出生或死亡。按全概率公式 即 令，得關(guān)于的微分方程 又由假設(shè)4，方程為 （1

2、）若初始時(shí)刻人口為確定數(shù)量，則的初始條件為 （2）（1）在（2） 條件下的求解非常復(fù)雜，且沒(méi)有簡(jiǎn)單的結(jié)果，不過(guò)人們感興趣的是 和 （以下簡(jiǎn)記成和）。按定義 （3）對(duì)（3）求導(dǎo)并將（1）代入得 （4）注意到 代入（4） 并利用（3），則有 （5）由（2）得 的初始條件，求解微分方程（5）在此初始條件下的解為 （6）可以看出這個(gè)結(jié)果與指數(shù)模型形式上完全一致。隨機(jī)性模型（6）中出生率與死亡率之差 即凈增長(zhǎng)率，人口期望值呈指數(shù)增長(zhǎng)，是在人口數(shù)量很多的情況下確定性模型的特例。對(duì)于方差 ，按照定義，用類(lèi)似求 的方法可推出 （7）的大小表示人口在平均值附近的波動(dòng)范圍。（7）式說(shuō)明這個(gè)范圍不僅隨著時(shí)間的延續(xù)和凈增長(zhǎng)率 的增加而變大，而且即使當(dāng) 不變時(shí)，它也隨著 和 的

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