怎樣的三角形才能一刀分割成兩個(gè)等腰三角形

1、怎樣的三角形才能一刀截成兩個(gè)等腰三角形 浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校 鄭建元(315400) 圖形的分割與組合是對(duì)圖形研究的重要內(nèi)容之一，也是近幾年來(lái)新教材及中考中頻頻出現(xiàn)的題型之一圖形的分割主要涉及到兩種類(lèi)型：一類(lèi)是把圖形分割成規(guī)定形狀的圖形，另一類(lèi)是把圖形分割成規(guī)定面積的圖形本文就第一種類(lèi)型提出：怎樣的三角形才能一刀截成兩個(gè)等腰三角形這一問(wèn)題作如下探究圖1如圖1：為ABC中上一點(diǎn), 問(wèn)：當(dāng)ABC滿(mǎn)足怎樣的條件? ABD與ADC均為等腰三角形我們不妨倒過(guò)來(lái)研究：假定ABD與ADC均為等腰三角形不失一般性，我們作如下分類(lèi)討論:若，我們?cè)俜秩N情形討論：(1)若,則有,，又，故ABC為直角三角形.（注：

2、用定理“三角形一邊上的中線(xiàn)是這邊的一半的三角形是直角三角形”證明之更簡(jiǎn)捷）(2)若,則有,，故ABC中存在兩內(nèi)角滿(mǎn)足3倍關(guān)系；(3)若,顯然,故ABC中存在兩內(nèi)角滿(mǎn)足倍關(guān)系；2若,我們?cè)俜謨煞N情形討論：(1)若，類(lèi)同1(3)可證，故ABC中兩內(nèi)角仍滿(mǎn)足倍關(guān)系；()若，顯然ADB，BAC +B+=ADB+ADC=180°，這與定理“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，因此不成立；()若，顯然ADB，DACADC，BAC+B+DA=ADB+ADC=180°，這與定理“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，因此不成立若,我們?cè)俜秩N情形討論：(1)若，類(lèi)同1(2)，可證

3、BAC=3C，故ABC中存在兩內(nèi)角滿(mǎn)足3倍關(guān)系；()若 類(lèi)同2(3)，可證B+BAC+BA+AD+=BDA+ADC=180°，這與定理“三角形內(nèi)角和等于180°”矛盾，因此不成立；()若,AB+AC=BD+DC=BC，這與定理“三角形任何兩邊之和大于第三邊”矛盾，因此不成立綜上：如果一個(gè)三角形能被一刀截成兩個(gè)等腰三角形，則此三角形必定至少滿(mǎn)足下列條件中的一個(gè)：（1）直角三角形；（2）其中兩內(nèi)角有3倍關(guān)系；（3）其中兩內(nèi)角有2倍關(guān)系那么反過(guò)來(lái)成立嗎？即滿(mǎn)足上述三個(gè)條件中的一個(gè)，此三角形一定能一刀截成兩個(gè)等腰三角形嗎？顯然，滿(mǎn)足條件（1）時(shí)，成立如圖2，在RTABC中，BAC=

4、RT，設(shè)B=，C=，在BC上取一點(diǎn)D，使BAD=，易證DAC=，從而DA=DB，DA=DC，即ABD與ADC均為等腰三角形圖2其次，滿(mǎn)足條件（2）時(shí)亦成立如圖3，在ABC中，BAC=3B，設(shè)B=，則BAC=3，在BC上取一點(diǎn)D，使BAD=，易證DAC=ADC=2，從而DA=DB， AC=DC，即ABD與ADC均為等腰三角形圖4圖3若滿(mǎn)足條件（3），則不一定成立如圖4，在ABC中，C=2B，設(shè)B=，則C=2再分三種情況討論：BAC；在BC上取一點(diǎn)D，使BAD=，易證ADC=C =2，從而DA=DB， AD=AC，即ABD與ADC均為等腰三角形，但此時(shí)2必小于90°，又BAC， BAC=

5、；B+BAC+C=180°，4=180°2=90°此時(shí)ABC為直角三角形，從銳角頂點(diǎn)A出發(fā)不能把ABC分成二個(gè)等腰三角形，但從直角頂點(diǎn)出發(fā)C，仍能把ABC分成二個(gè)等腰三角形BAC；B+BAC+C=180°，+2180°4180°，290°，C=290°此時(shí)ABC為鈍角三角形, 從最小角頂點(diǎn)A出發(fā)不能把ABC截成二個(gè)等腰三角形，但當(dāng)B=3BAC，或B=2BAC，或C=3BAC時(shí)分別從頂點(diǎn)B、頂點(diǎn)C、頂點(diǎn)C出發(fā)仍能把ABC分成二個(gè)等腰三角形由此可見(jiàn)，當(dāng)三角形有兩內(nèi)角滿(mǎn)足2倍關(guān)系時(shí)，此三角形不一定能一刀分割成兩個(gè)等腰三角

6、形，但當(dāng)兩銳角有2倍關(guān)系時(shí)，從第三角的頂點(diǎn)出發(fā)引“割線(xiàn)”能一刀分割成兩個(gè)等腰三角形綜上研究，有如下定理：當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件之一時(shí)，一個(gè)三角形必定能被一刀截成兩個(gè)等腰三角形：（1）直角三角形（從直角頂點(diǎn)出發(fā)引“割線(xiàn)”）；（2）兩內(nèi)角有3倍關(guān)系（從有3倍關(guān)系的兩內(nèi)角中較大一角的頂點(diǎn)出發(fā)引“割線(xiàn)”）；（3）兩銳角有2倍關(guān)系（從有2倍關(guān)系的兩內(nèi)角之外的第三角的頂點(diǎn)出發(fā)引“割線(xiàn)”）對(duì)于這個(gè)定理的應(yīng)用，因篇幅所限，僅舉二例1已知一等腰三角形能被一刀分割成兩個(gè)等腰三角形，求原等腰三角形頂角的度數(shù)應(yīng)用本文定理，可知原等腰三角形三內(nèi)角必定至少滿(mǎn)足下列幾種情況：，,，中的一種根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180。，從而得

7、頂角的度數(shù)為、或四種情況2如何把一個(gè)正三角形分割成四個(gè)等腰三角形？圖660°60°60°60°60°60°60°圖730°30°30°30°60°60°60°60°60°圖560°30°30°30°30°60°30°30°60°圖820°20°40°40°80°80°40°40°思考之一：先分出一個(gè)等腰三角形，再把剩下的梯形分成三個(gè)等腰三角形；（如圖5、圖6）思考之二：先分成兩個(gè)三角形