第一節(jié)線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型

1、第一章 線性規(guī)劃及單純形法習(xí)題1.用圖解法求解下列線性規(guī)劃問題,并指出問題具有唯一最優(yōu)解、無(wú)窮最優(yōu)解還是無(wú)可行解。（1） (2) (3) (4) 2.將下列線性規(guī)劃問題化成標(biāo)準(zhǔn)形式。(1) (2) 3.對(duì)下列線性規(guī)劃問題找出所有基本解，指出哪些是基可行解，并確定最優(yōu)解。 (1) (2) 4.分別用圖解發(fā)法和單純形法求解下述問題，并對(duì)照單純形表中的各基本可行解對(duì)應(yīng)圖解法中可行域的哪一頂點(diǎn)。 (1) (2) 5.上題（1）中，若目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?，討論c,d的值如何變化，使該問題可行域的每一頂點(diǎn)依次使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)。6.考慮下述線性規(guī)劃問題： 式中, , , ,，試確定目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的下界和上界。7.

2、分別用單純形法中的大M法和兩階段法求解下列線性規(guī)劃問題，并指出屬哪一類解。 (1) (2) (3) (4) 8.已知某線性規(guī)劃問題的初始單純形表和單純形法迭代后得到的表1-1，試求括號(hào)中未知數(shù)al的值。表1-1x1x2x3x4x5x46(b)(c)(d)10x51-13(e)01(a)-1200x1(f)(g)2-11/20x54(h)(i)11/210-7(j) (k)(l)9.若 均為某線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解，證明在兩點(diǎn)連線上的所有點(diǎn)也是該問題的最優(yōu)解。10. 線性規(guī)劃問題max z=CX，AX=b，X0，設(shè)為問題的最優(yōu)解。若目標(biāo)函數(shù)中用C*代替C后，問題的最優(yōu)解變?yōu)椋笞C:(C*-C)(

3、X*- X0)011. 考慮線性規(guī)劃問題模型中,為參數(shù)，要求：(1)組成兩個(gè)新的約束根據(jù)以x1，x2為基變量，列出初始單純形表；(2)在表中，假定,則為何值時(shí)，x1，x2為問題的最優(yōu)基；(3)在表中，假定,則為何值時(shí)，x1，x2為問題的最優(yōu)基。12. 線性規(guī)劃問題max z=CX，AX=b，X0，如X·是該問題的最優(yōu)解，又且>0為某一常數(shù)，分別討論下列情況時(shí)最優(yōu)解的變化。(1)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙axzCX；(2)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙ax2(C+)X；(3)目標(biāo)函數(shù)變?yōu)閙axz x，約束條件變?yōu)锳X=13. 某飼養(yǎng)場(chǎng)飼養(yǎng)動(dòng)物出售，設(shè)每頭動(dòng)物每天至少需700克蛋白質(zhì)、30克礦物質(zhì)、100毫克

4、維生素。現(xiàn)有五種飼料可供選用，各種飼料每公斤營(yíng)養(yǎng)成分含量及單價(jià)如表12所示：表1-2飼料蛋白質(zhì)(g)礦物質(zhì)(g)維生素(mg)價(jià)格(元kg)1234532161810.50.220.50.51.00.220.80.20.70.40.30.8要求確定既滿足動(dòng)物生長(zhǎng)的營(yíng)養(yǎng)需要，又使費(fèi)用最省的選用飼料的方案。(建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型，不求解)14. 某醫(yī)院護(hù)士值班班次、每班工作時(shí)間及各班所需護(hù)士數(shù)如表1-3所示。每班護(hù)士值班開始時(shí)向病房報(bào)到，試決定：（1）若護(hù)士上班后連續(xù)工作8小時(shí)。該醫(yī)院最少需多少名護(hù)士，以滿足輪班需要？（2）若除22點(diǎn)上班的護(hù)士連續(xù)工作8小時(shí)外，其他護(hù)士由醫(yī)院排定上14班中的

5、兩個(gè)，則該醫(yī)院又需多少名護(hù)士，以滿足輪班需要？ 表1-3 班 次 工作時(shí)間所需護(hù)士人數(shù)16:00-10:0060210:00-14:0070314:00-18:0060418:00-22:0050522:00-2:002062:00-6:003015. 一艘貨輪分前、中、后三個(gè)艙位，它們的容積與最大允許載重量如表1-4所示。現(xiàn)有三種貨物待運(yùn)，已知有關(guān)數(shù)據(jù)列于表1-5。表1-4前 艙中 艙后 艙最大允許載重量（t）200030001500容 積（m3）400054001500表1-5商品數(shù)量(件)每件體積(m3/件)每件重量(t/件)運(yùn)價(jià)(元/件)A6001081000B100056700C80

6、075600又為了航運(yùn)安全，前、中、后艙的實(shí)際載重量上大體保持各艙最大允許載重量的比例關(guān)系。具體要求：前、后艙分別與中艙之間載重量比例上偏差不超過(guò)15，前、后艙之間不超過(guò)10。問該貨輪應(yīng)裝載A、B、C各多少件運(yùn)費(fèi)收入才最大?試建立這個(gè)問題的線性規(guī)劃模型。16. 時(shí)代服裝公司生產(chǎn)一款新的時(shí)裝，據(jù)測(cè)今后6個(gè)月的需求量如表16所示。每件時(shí)裝用工2小時(shí)和10元的原材料非，售價(jià)40元。該公司1月初又4個(gè)工人，每人每月可工作200小時(shí)，月薪2000元。該公司可于任何一個(gè)月初新雇工人，但每雇一人需要一次額外支出1500元，也可辭退工人，但每辭退1人需要補(bǔ)償1000元。如當(dāng)月生產(chǎn)數(shù)超過(guò)需求，可留到后面月份銷售

7、，但需付庫(kù)存每件每月5元。當(dāng)供不應(yīng)求時(shí)，短缺數(shù)不需要補(bǔ)上。試幫助該公司決策，如何使6個(gè)月的總利潤(rùn)最大。表16月份1 2 3 4 5 6需求 500 600 300 400 500 80017 童心玩具廠下一年度的現(xiàn)金流（萬(wàn)元）如表17所示，表中負(fù)號(hào)所示該月現(xiàn)金流出大于流入，為此該廠需借款。借款有兩種方式：一是于上一年末借一年期貸款，一次得全部貸款額，從1月份起每月還息1，于12月歸還本金及最后一次利息；二是得到短期貸款。每月初獲得，于月底還，月息1.5，當(dāng)該廠有多余現(xiàn)金時(shí)，可短期存款，月初存入，月末取出，月息0.4。問該廠應(yīng)如何進(jìn)行貸款操作，即能彌補(bǔ)可能出現(xiàn)得負(fù)現(xiàn)金流，又可使年末現(xiàn)金總量最大？表17月份1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12現(xiàn)金流12108 10 4 5 7 2 15 12 7 45 18. 宏銀公司承諾為某建設(shè)項(xiàng)目從2003年起得4年中每年初分別提供以下數(shù)額貸款：2003年100萬(wàn)元，2004年150萬(wàn)元，2005年120萬(wàn)元，2006年110萬(wàn)元。以上貸款均于2002年底籌集齊。但為了充分發(fā)揮這筆資金得作用，在滿足每年貸款額得前提下，可將多于資金分別用于下列投資項(xiàng)目：（1） 于2003年初購(gòu)買A種債券，期限3年，到期后本息合計(jì)為投資額得140，但限購(gòu)60萬(wàn)元；（2） 于2003年初購(gòu)買B種債券，期限2，到期后本息合計(jì)為投資額得125限購(gòu)90萬(wàn)