2-7-1向量與四心-重心

1、1如圖5-19所示，設(shè)6是厶OAB的重心，過 G的直線與OA , OB分別交于P和Q,已知OP =h,OQ =k，求證：113.OA OBh k局二0 31耳,由P，G，Q三點共線,解析 證明：設(shè)為的中點，因為 是LOAB的重心，為的中點，故OG OM (OA ：!i'33得 1 + 1 =1,即 卩 1 + 1 =33h 3kh k,此時33門32 2評注 若本題作為填空題或選擇題，則可以使用特殊化思想，若使得直線OP OG2OQOG2211h=, k=，即 h=k=，所以 -OA OM3OBOM33khT T2.若 O ABC 內(nèi)一點，OA OB-OC =0,則O是厶ABC的A.外

2、心B.內(nèi)心C.垂心D.重心解析 如圖5-20所示，以O(shè)B,OC為鄰邊作平行四邊形 OBDC.取BC的中點為E，則 T T 1 一OB OC =OD = 2OE ,的一OA = 2OE，即 AO = 2OE，故 oABC 的重心.故選D.圖 5-203.在厶ABC中，O為平面上任意一點，證明：OC)u G ABC3的重心.解析證明：OGJ(OA OB3T T r T T T T 斗OC)= (OA _OG) (OB _OG) (OC _OG)二 0,TTTT iTTrOG GA GB GC) =OG,所以(OA OB OC) = OG。 3得Ga Gb GC =0知是LABC的重心。若為 ABC

3、的重心="gb"GC0 ,11 1(OA OB OC)= (3OG GA334.已知點 O, N,P在厶ABC所在平面內(nèi)，且T T T T T TPA 卩B = PB PC 二 PA PC，則點 o, N, P 依次是 ABC 的OA = OB = OC，"NA "NB NC ="0，( )A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、內(nèi)心C. 外心、重心、垂心D.外心、重心、內(nèi)心解析由點滿足OA|=OB =OC ,故點為L ABC的外心。點 滿足TTTT .FLtTtNA NB NC =0,故點為L ABC 的重心.點滿足 PALPB = PB_P

4、C = PA故點為L ABC的垂心。5.已知 ABC和點M滿足 立，貝U m=().T T T +T TA. 2C. 4B. 34 +A.解析 因為MA MB MC =0 ,所以，點M是 ABC的重心，所以AB AC = 3AM , 所以m =3，故選B .D.5MA MB MC =0 .若存在實數(shù)m使得AB AC6. 在-ABC中, AB = 1, BC = . 2, AC =3，若 G 為 ABC的重心，則AG AC=.解析由勾股定理知，丄ABC是直角三角形，.B=90°,所以AG *AC =1（AC Ab） *Ac =1（ ACAB ） =1（i. 3）=4.7. 已知 ABC和點M滿足MA+ MB + MC = 0,若存在實數(shù) m使得AB+ AC= mAM成立，則m=.解析 由已知條件得MB+ MC = MA，如圖，延長AM交BC于D點，貝U D為BC的中