高中數(shù)學(xué)異面直線夾角自編

1、淺談異面直線所成的角 第13頁 共13頁異面直線所成角的求法求異面直線夾角主要有三種主要方法，一是幾何法，二是矢量法，三是公式法。一、幾何法：幾何法求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的相交直線，進(jìn)而利用平面幾何知識(shí)求解?；舅悸肥沁x擇合適的點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)。常見三種平移方法：直接平移：中位線平移（尤其是圖中出現(xiàn)了中點(diǎn)）：補(bǔ)形平移法：“補(bǔ)形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補(bǔ)形，可將問題轉(zhuǎn)化為易于研究的幾何體來處理，利用“補(bǔ)形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之一。例：長方體ABCDA1B1C1D1中，

2、若AB=BC=3，AA1=4，求異面直線B1D與BC1所成角的大小。直接平移：常見的利用其中一個(gè)直線a和另一個(gè)直線b上的一個(gè)已知點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)平面，在此平面內(nèi)做直線a的平行線。解法一：如圖，過B1點(diǎn)作BEBC1交CB的延長線于E點(diǎn)。則DB1E就是異面直線DB1與BC1所成角，連結(jié)DE交AB于M，DE=2DM=3，DB1E= DB1E=。解法二：如圖，在平面D1DBB1中過B點(diǎn)作BEDB1交D1B1的延長線于E，則C1BE就是異面直線DB1與BC1所成的角，連結(jié)C1E，在B1C1E中，C1B1E=135°，C1E=3，C1BE=，C1BE=。課堂思考：1.如圖，PA矩形ABCD，已知PA

3、=AB=8，BC=10，求AD與PC所成角的余切值為。ABCD2.在長方體ABCD- A1B1C1D1中，若棱B B1=BC=1，AB=，求D B和AC所成角的余弦值.例2題圖【例2】 如圖所示，長方體A1B1C1D1-ABCD中，ABA1=45°,A1AD1=60°,求異面直線A1B與AD1所成的角的度數(shù).中位線平移法分析：構(gòu)造三角形找中位線，然后利用中位線的性質(zhì)，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面問題，解三角形求之。解法一：如圖連結(jié)B1C交BC1于0，過0點(diǎn)作OEDB1，則BOE為所求的異面直線DB1與BC1所成的角。連結(jié)EB，由已知有B1D=，BC1=5，BE=，BOE=

4、BOE=解法二：如圖，連DB、AC交于O點(diǎn)，過O點(diǎn)作OEDB1，過E點(diǎn)作EFC1B，則OEF或其補(bǔ)角就是兩異面直線所成的角，過O點(diǎn)作OMDC，連結(jié)MF、OF。則OF=，OEF=，異面直線B1D與BC1所成的角為。解法三：如圖，連結(jié)D1B交DB1于O，連結(jié)D1A，則四邊形ABC1D1為平行四邊形。在平行四邊形ABC1D1中過點(diǎn)O作EFBC1交AB、D1C1于E、F，則DOF或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角。在ADF中DF=，DOF=，DOF=。課堂練習(xí)1在正四面體ABCD中，已知E是棱BC的中點(diǎn)，求異面直線AE和BD所成角的余弦值。補(bǔ)形法分析：在已知圖形外補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以例于找

5、出平行線。解法一：如圖，以四邊形ABCD為上底補(bǔ)接一個(gè)高為4的長方體ABCD-A2B2C2D2，連結(jié)D2B，則DB1D2B，C1BD2或其補(bǔ)角就是異面直線DB1與BC1所成的角，連C1D2，則C1D2C2為Rt，C1BD2=，異面直線DB1與BC1所成的角是。課堂練習(xí)：求異面直線A1C1與BD1所成的角在長方體ABCD-A1B1C1D1的面BC1上補(bǔ)上一個(gè)同樣大小的長方體，將AC平移到BE，則D1BE或其補(bǔ)角就是異面直線A1C1與BD1所成的角，在BD1E中，BD1=3，   二、矢量法。利用向量，設(shè)而不找，對(duì)于規(guī)則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。常有向量幾何

6、法和向量代數(shù)法兩種。解法一：如圖，連結(jié)DB、DC1，設(shè)異面直線DB1與BC1所成的角為，而=()=+=，+，BB1DD1 ，=，=D1DB1D1DB1= ，=180°DB1C1DB1C1= ，=DB1C1=7 =，解法二：如圖，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B（3，3，0），B1（3，3，4），D（0，0，0），C1（3，0，4）。設(shè)和的夾角為，則=異面直線與所成的角為。課堂練習(xí)：長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。向量幾何法： 為空間一組基向量   所以異面直線A1C1與BD1所成

7、的角為 向量代數(shù)法：< 以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DC、DA、DD1分別為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，1，0）、C（2，0，0），B（2，1，0）、D1（0，0，2），   所以異面直線A1C1與BD1所成的角為  三、公式法公式法實(shí)質(zhì)是矢量幾何法的推廣：公式一、定理：四面體ADBCD兩相對(duì)棱AC、BD間的夾角為q則有證明， 所以有：例：長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=AA1=2cm，AD=1cm，求異面直線A1C1與BD1所成的角。 解：連結(jié)BC1、A1B在四面體為，易求得  由定理得：   所以

8、60; 已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相交成j1角，a在a上的射影c與b相交成j2角，則有公式2 用幾何法研究：在平面a的斜線a上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB，垂足為O、B連接OB，則OBb.在直角AOP中，.在直角ABC中，.在直角ABP中，.所以 所以成立（7）已知三棱柱的側(cè)棱與底面邊長都相等，在底面上的射影為的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角的余弦值為（ D ）（A） （B） （C） (D) 解：設(shè)的中點(diǎn)為D，連結(jié)D，AD，易知即為異面直線與所成的角,由三角余弦定理，易知.故選D 講解習(xí)題：例1  在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB=BC

9、=3，AA1=4求異面直線A1B和AD1所成的角的余弦（如圖1）例2  在長方體ABCDA1B1C1D1中，C1BC=45°，B1AB=60°求AB1與BC1所成角的余弦（如圖2）例3  已知正方體的棱長為a，M為AB的中點(diǎn)，N為B1B的中點(diǎn)求A1M與C1N所成的角的余弦（如圖3）（1992年高考題）例4  在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b，且ab求AC1與BD所成的角的余弦（如圖4）作業(yè)：3在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，O是正方形ABCD的中心，E，F(xiàn)分別是AB，BC中點(diǎn)求：（1）異面直線A1

10、D1和CD的距離；（2）異面直線C1O和EF的距離4在長方體ABCDA1B1C1D1中，BAB1=B1A1C1=30°求：（1）AB與A1C1所成的角的度數(shù)；（2）A1A與CB1所成的角的度數(shù)；（3）AB1與A1C1所成的角的余弦5、如圖，在三棱錐S-ABC中，E、F分別是SC、AB的中點(diǎn)，且，則異面直線SA與BC的夾角為多少？將上例中的問題改為 求SF與BE所成角的余弦值. 解：連結(jié)CF，Q取CM的中點(diǎn)G，連結(jié)EG、BG ，則EG/SF，BEG為異面直線SF、BE所成的角.在BEG中，利用余弦定理可解得：COSBEG= . 高考題:例1(2005年全國高考福建卷)如圖，長方體ABC

11、DA1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點(diǎn)E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點(diǎn)，則異面直線A1E與GF所成的角是（ ）ABCD 解：連B1G，則A1EB1G，知B1G F就是異面直線A1E與GF所成的角在B1GF中，由余弦定理，得 cosB1GF0， 故B1G F90°，應(yīng)選(D)評(píng)注：本題是過異面直線FG上的一點(diǎn)G，作B1G，則A1EB1G，知B1G F就是所求的角，從而納入三角形中解決例2(2005年全國高考浙江卷)設(shè)M、N是直角梯形ABCD兩腰的中點(diǎn)，DEAB于E(如圖)現(xiàn)將ADE沿DE折起，使二面角ADEB為45°，此時(shí)點(diǎn)A在平面BCDE內(nèi)的射影恰為

12、點(diǎn)B，則M、N的連線與AE所成角的大小等于_解：取AE中點(diǎn)G, 連結(jié)GM、BGGMED，BNED，GMED，BNED GMBN，且GMBNBNMG為平行四邊形，MN/BGA的射影為BAB面BCDEBEABAE45°，又G為中點(diǎn)，BGAE即MNAEMN與AE所成角的大小等于90度故填90°三、平移(或構(gòu)造)幾何體有些問題中，整體構(gòu)造或平移幾何體，能簡(jiǎn)化解題過程.例3(2005年全國高考天津卷)如圖，平面，且，則異面直線PB與AC所成角的正切值等于_解：將此多面體補(bǔ)成正方體，與所成的角的大小即此正方體主對(duì)角線與棱所成角的大小，在RtPDB中，即故填點(diǎn)評(píng)：本題是將三棱柱補(bǔ)成正方體，從而將問題簡(jiǎn)化例4在棱長為a的正方體ABCDABCD中，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn).(2)解：如圖所示，在平面ABCD內(nèi)，過C作CPDE，交直線AD于P，則ACP(或補(bǔ)角)為異面直線AC與DE所成的角.在ACP中，易得AC