幾種常見的數(shù)列的通項公式的求法

1、幾種常見的數(shù)列的通項公式的求法一 觀察法例1：根據數(shù)列的前4項，寫出它的一個通項公式：（1）9，99，999，9999，（2）（3）（4）解：（1）變形為：1011，1021，1031，1041， 通項公式為： （2） （3） （4）.點評：關鍵是找出各項與項數(shù)n的關系。 二、公式法例2： 已知數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列，數(shù)列bn是公比為q的(qR且q1)的等比數(shù)列，若函數(shù)f (x) = (x1)2，且a1 = f (d1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q1)，(1)求數(shù)列 a n 和 b n 的通項公式；解：(1)a 1=f (d1) = (d2)2

2、，a 3 = f (d+1)= d 2，a3a1=d2(d2)2=2d，d=2，an=a1+(n1)d = 2(n1)；又b1= f (q+1)= q2，b3 =f (q1)=(q2)2，=q2，由qR，且q1，得q=2，bn=b·qn1=4·(2)n1例3. 等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且=48，=12，則數(shù)列的通項公式是（ ）(A) (B) (C) (D) 解析：設等差數(shù)列的公差位d，由已知，解得，又是遞減數(shù)列， ， ，故選(D)。例4. 已知等比數(shù)列的首項，公比，設數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。解析：由題意，又是等比數(shù)列，公比為，故數(shù)列是等比數(shù)列， 點評：當已知數(shù)列為等差或

3、等比數(shù)列時，可直接利用等差或等比數(shù)列的通項公式，只需求得首項及公差公比。三、      疊加法例5：已知數(shù)列6，9，14，21，30，求此數(shù)列的一個通項。解 易知 各式相加得點評：一般地，對于型如類的通項公式，只要能進行求和，則宜采用此方法求解。例6. 若在數(shù)列中，求通項。解析：由得，所以，將以上各式相加得：，又所以 =四、疊乘法例7：在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達式。解：由(n+1)·=n·得，=··= 所以例8. 已知數(shù)列中，前項和與的關系是 ，試求通項

4、公式。解析：首先由易求的遞推公式：將上面n1個等式相乘得：點評：一般地，對于型如=(n)·類的通項公式，當?shù)闹悼梢郧蟮脮r，宜采用此方法。五、Sn法利用 (2)例9：已知下列兩數(shù)列的前n項和sn的公式，求的通項公式。（1）。 （2）解： （1）=3此時，。=3為所求數(shù)列的通項公式。（2），當時 由于不適合于此等式 。 點評：要先分n=1和兩種情況分別進行運算，然后驗證能否統(tǒng)一。六、待定系數(shù)法： 例10：設數(shù)列的各項是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項的和，若c1=2，c2=4，c3=7，c4=12，求通項公式cn解：設 例11. 已知數(shù)列中，其中b是與n無關的常數(shù)，且。求出用n和b表示的an的關系式。解析：遞推公式一定可表示為的形式。由待定系數(shù)法知： 故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，故點評：用待定系數(shù)法解題時，常先假定通項公式或前n項和公式為某一多項式，一般地，若數(shù)列為等差數(shù)列：則，（b、為常數(shù)），若數(shù)列為等比數(shù)列，則，。七、輔助數(shù)列法例12：已知數(shù)的遞推關系為，且求通項。解： 令則輔助數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列即 例13：在數(shù)列中，求。解析：在兩邊減去，得 是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，由累加法得= = 例14： 已