2011年全國(guó)高考2卷理科數(shù)學(xué)試題及答案

1、2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷II)數(shù)學(xué)本試卷共4頁(yè)，三大題21小題。滿分150分，考1間120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼 在答題卡上指定位置。2 .選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上無(wú)效。3 .填空題和解答題用 0.5毫米黑色墨水簽字筆答在答題卡上每題對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)，答在試題卷 上無(wú)效。4 .考試結(jié)束，請(qǐng)將本試題卷和答題卡一并上交。、選擇題：本大題共 12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中

2、，只有一項(xiàng) 是滿足題目要求的。(C) i (D) 2i0的反函數(shù)為1 .復(fù)數(shù)z 1 i , z為z的共軻復(fù)數(shù)，則zz z 1(A) -2i(B) -i2 .函數(shù)y 26 x2x(B) y x 042(D) y 4x x 0b成立的充分而不必要的條件是b 1 (C)a2b2(D) a3b32 x (A) y x R42(C) y 4x x R3 .下面四個(gè)條件中，使 a(A) a b 1 (B) a4 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若Q 1 ,公差d 2,Sk 2 Sk24,則k=(A) 8(B) 7 (C) 6(D) 55 .設(shè)函數(shù)f x cos x 0 ,將y f x的圖像向右平移 一個(gè)

3、單位長(zhǎng)度后，所得的圖像與原3圖像重合，則的最小值等于(A)1 (B)3(C) 6(D) 936.已知直二面角 l點(diǎn)A , AC l,C為垂足，B , BD l,D為垂足，若AB 2, ACBD 1,則D到平面ABC的距離等于(A)(B)-33.6(C) -y (D)3本，從中取出4本贈(zèng)送給4為朋友，每位朋友1本,7 .某同學(xué)有同樣的畫冊(cè) 2本，同樣的集郵冊(cè) 則不同的贈(zèng)送方法共有(A) 4 種(B) 10 種(C) 18 種(D) 20 種8 .曲線y e2x 1在點(diǎn)0,2處的切線與直線y 0和y x圍成的三角形的面積為(A) 1(B)1(C) 2(D) 13239.設(shè)f x是周期為2的奇函數(shù)，

4、當(dāng)0 x 1時(shí)，f x 2x 1 x ,則f 52(A)1 (B)2(C) 4(D)210 .已知拋物線c： y4x的焦點(diǎn)為F,直線y2x 4與C交于A、B兩點(diǎn)，則cos AFB(A) 4(B)3(C)55(D)11 .已知平面截一球面得圓 M過圓心M且與 成600二面角的平面截該球面得圓N若該球面的半徑為4.圓M的面積為4(A) 7(B) 9(C)r r r r r 12.設(shè)向量a,b,c滿足a b,則圓N的面積為11(D) 13r r 1 ,r r r r、r1,agD-,a c, b c 60°,則c的最大值等于(A) 2(B)3 (C) ,2(D)1、填空題：本大題共4小題，

5、每小題5分，共20分.請(qǐng)將答案填在答題卡對(duì)應(yīng)題號(hào)的位置上題兩空的題，其答案按先后次序填寫13. 1 & 的二項(xiàng)展開式中，x的系數(shù)與x9的系數(shù)之差為14.已知 一，sin2則 tan22 x 15.已知 F2分別為雙曲線C :921的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) A C ,點(diǎn)M的坐標(biāo)為 2,0 , AM 27F1AF2的角平分線，則AF2-10 -16.已知點(diǎn)E、F分別在正方體 ABCDABCiDi 的棱 BBi、CC1 上，且 B1E 2EB , CF 2FCi,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于 .三、解答題：本大題共 6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17 .(

6、本小題滿分10分)ABC的內(nèi)角A B、C的對(duì)邊分別為a,b,c。已知A C 90o,a c J2b ,求C18 .(本小題滿分12分)根據(jù)以往統(tǒng)計(jì)資料，某地車主購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.5,購(gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為0.3,設(shè)各車主購(gòu)買保險(xiǎn)相互獨(dú)立。(I )求該地1為車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率；(n) X表示該地的100為車主中，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的車主數(shù)，求 X的期望。19 .(本小題滿分12分)如圖，四棱錐 S-ABCD中，AB / /CD, BC CD ,側(cè)面SAB為等邊三角形，AB=BC=2 CD=SD=1.(I)證明：SD 平面SAB;(n)求AB與平面SB

7、C所成的角的大小。20 .(本小題滿分12分)11設(shè)數(shù)列 an 滿足為 0, 11 an 11aSn1。(I )求an的通項(xiàng)公式；(n)設(shè) bn ,記 Snbk ,證明：,nk 121.(本小題滿分12分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C : X2 1在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，過 F且斜率為 J2的 2直線l與C交于uuu uuir uuirA、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P滿足OA OB OP0.(I)證明：點(diǎn) P在C上；(n)設(shè)點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)為Q,證明：A、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。22.(本小題滿分(I )設(shè)函數(shù)(n)從編號(hào)12分)2xf x ln 1 x證明：當(dāng) x 0時(shí)，f x 0x 21到100的1

8、00張卡片中每次隨機(jī)抽取一張，然后放回，用這種方式連續(xù)抽取20次，設(shè)抽到的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率為 p,證明：p9 19110e2413. 014.315. 616.,235分，滿分60分.D 12. A5分，滿分20分.2011年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷）數(shù)學(xué)試題參考答案（不是標(biāo)準(zhǔn)答案）一、選擇題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題1 . B2.B3.A4.D5. C6. C7.B8.D9.A10. D11.二、填空題：本題考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算.每小題三、解答題：本大題共6小題，共70分.17.（本小題滿分10分）解：由 A C 90°,得 B A C 2c 2故

9、sin A sin C cosC , sin B sin _ 2ccos 2c22由 a c V2b sin A sin C 72sin B ,故 cosC sin C 72cos2C , cosC sin C 近 coJ C sin2C299又顯然 C 一，故 cosC sin C ，再由 cos C sin C 1,22,6 、2解得：cosC，于是C 41218 .（本小題滿分12分）0.3解：（I）設(shè)購(gòu)買乙種保險(xiǎn)的概率為x,因?yàn)橘?gòu)買乙種保險(xiǎn)但不購(gòu)買甲種保險(xiǎn)的概率為故 1 0.5 x 0.3 x 0.6,所以該地1為車主至少購(gòu)買甲、乙兩種保險(xiǎn)中的1種的概率為 11 0.5 1 0.60.

10、8（n）由（I）易知，甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為1 0.8 0.2所以有X個(gè)車主甲、乙兩種保險(xiǎn)都不購(gòu)買的概率為p C急0.2 Xg0.8 100 X顯然，X服從二項(xiàng)分布，即 X : B 100,0.2所以 EX 100 0.2 20X的期望為2019 .（本小題滿分12分）(I)證明：在直角梯形 ABCD 中，AB=BC=2 CD=1, AB/CD,BC CD易算得：AD BD 、5,又因?yàn)閭?cè)面SAB為等邊三角形，SD=1, AB=2,所以 SD2 SA2 5 AD2, SD2 SB2 5 BD2于是 SD SA, SD SB,所以SD 平面SAB（n）設(shè)點(diǎn)A到平面SBC的距離為d,因?yàn)镾

11、D 平面SAB,所以SD AB,從而SD CD ,因而可以算得：SC J2,又SB BC 2,故SSBC 2又因?yàn)镃D/平面SAB,所以點(diǎn)C到平面SAB的距離為SD 1另外，顯然Ssba922 H所以V四棱錐A SBC227 dV四棱錐cSAB33 1設(shè)AB與平面SBC所成的角為，則2、21_sin工且27即AB與平面SBC所成的角為.21 arcsin7（顯然是銳角）20 .（本小題滿分12分）,11_解：（I）由1得：1 an 11 an數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為11 an1 &n ,從而an所以Snan(n.n 1. n< n , n 1nbk國(guó)L1 Ik 121.（本小題滿分

12、12分)（i）證明：易知：F 0,1 ,故：l:y代入橢圓方程得:4x2 2&x 1 0,設(shè) A %, % ,BX2, V2 ,P x, y，則與X2y V2X22 1,uuu 因?yàn)镺AuurOBuuurOP0.所以X2,y2x,y 0,0x, yX1X2,yy21 ,將此坐標(biāo)代入橢圓:12一1 ,2所以點(diǎn)P在C上。4x2 2.2x、.2x 1.2、6A 4于是可以算得:tan PBQ4.2,tanAPB于是四邊形APBQ寸角互補(bǔ),從而22 .（本小題滿分12分）證明：（I） x 0時(shí)，f于是f x(n) pkAQ 、- 62 -一 6 , tan3PAQ4.2 tanA、P、B、Q四點(diǎn)在同一個(gè)圓上。2 x 2 2x 2在0,上單調(diào)增，所以AQB100 99 L 82 81100209998 L100198199 81(98 81