【高考數(shù)學】四心與向量完美結(jié)合

1、三角形的“四心”與向量的完美結(jié)合三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式知識點總結(jié)1) O 是 ABC 的重心 0A OB 0c 0；1S BOC S AOC S AOBS若0是ABC的重心，則3 1-*f故 OA OB OC 0 ；uuur uur uuu uurPG /(PA PB PC) G 為 ABC 的重心. 32) O 是 abc 的垂心 Oa Ob Ob OC OC Oa若O是ABC （非直角三角形）的垂心,BOC : S AOC : S AOBtan A :tan B ：tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23) O 是 AB

2、C 的外心 |OA| |OB| |OC|(或 OA OB OC)若O是ABC的外心S BOC： S AOC： S AOB sin BOC：sin AOC：sin AOB sin 2A : sin 2B :sin 2c故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04) O是內(nèi)心ABC的充要條件是OC AB AC BA BCOA (-)OB ()|AB | AC| BA | | BC |引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB，BC，CA的單位向量為e1,e2,e3,則剛才。是ABC內(nèi)心的充要條件可以寫成OA (ei e3) OB (ei e2) OC (e2 e3)0O是ABC內(nèi)心

3、的充要條件也可以是 aOA bOB cOC 0若 O 是 ABC 的內(nèi)心，貝U S BOC： S AOC： S AOB故 aOA bOB cOC 0或sin AOA sin BOB sin COC 0;uuur uuuruuin uuu uuu uuu r|AB|PC |BC|PA |CA|PB 0P ABC的內(nèi)心;uuuuiur向量（淄8 -UuUr）（0）所在直線過 abc的內(nèi)心（是|AB| |AC|BAC的角平分線所在直線）；范例（一）.將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1 . O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP OA崔j谷），0,則P點的軌AB AC跡一

4、定通過 ABC的（）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因為售是向量AB的單位向量設Ar與AC方向上的 AB單位向量分別為0和e2,又OP OA AP,則原式可化為AP （q e2）,由菱形的基本性質(zhì)知 AP平分BAC ,那么在ABC中，AP平分BAC ,則知選B.點評：這道題給人的印象當然是 “新穎、陌生”，首先碧AB是什么？沒見過！想想，一個非零向量除以它的模不就是單位向量？ 此題所用的都必須是簡單的基本知識，如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性 質(zhì)等，若十分熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道 題一點問題也沒有。（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“

5、垂心定理”例2 . H是彌BC所在平面內(nèi)任一點，HA HB HB HC HC HA 點H是彌BC的垂心.由 HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB, HA BC.故H是小BC的垂心.（反之亦然（證 略）例3.（湖南）P是9BC所在平面上一點，若PA PB PB PC PCPA,則 P 是出BC 的（D ）A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心 解析：由 PA PB PB PC得 PA PB PB PC 0 .即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0貝u PB CA同理PA BC,PC AB所以P為ABC的垂心.故選D.點評：本題考查

6、平面向量有關(guān)運算，及“數(shù)量積為零，則兩 向量所在直線垂直”、三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形 垂心的定義與平面向量有關(guān)運算及“數(shù)量積為零，則兩向量 所在直線垂直”等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4. G是AABC所在平面內(nèi)一點，GA gb gC=0點G是從BC的重心.證明作圖如右，圖中GB GC GE連結(jié)BE和CE,則CE=GB, BE=GC BGCE為平行四邊形D是BC的中點，AD為BC邊上的中線.將 GB GC GE 代入 GA GB GC = 0 ,得GA EG = 0 GA GE 2GD ,故G是MBC的重心.（反之亦然（證略）例5 . P是小B

7、C所在平面內(nèi)任一點.G是MBC的重心i _ PG -(PA PB PC).證明 PG PA AG PB BG PC CG3PG (AG BG CG) (PA PB PC).G是2BC的重心/.Ga Gb Gc= 0 AGBGCG = 0, 即 3pg pa pb pc由此可得Pg -(PA PB PC).(反之亦然(證略)3uur uuu uuur r,6。為 ABC 內(nèi)一點，OA OB OC 0 ,則'A.而心B.外心 C.垂心a , uuu uuu uur r uuu uur uuu ，一O是ABC的D.重心OB、OC為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊形，則uur uur uuur,OB OC

8、 OD ,由平行四邊形性質(zhì)解析：由OA OB OC 0得OB OC OA ,如圖以uur 1 uuu,知OE 2OD , |OA 2OE,同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì),所以是重心，選D。點評：本題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線 互相平分及三角形重心性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點， 所分這比為2。本題在解題的過程中將平面向量的有關(guān)運1算與平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相 關(guān)知識巧妙結(jié)合。（四）.將平面向量與三角形外心結(jié)合考查uuu uur uuur例7若。為ABC內(nèi)一點，OA OB OC,則。是ABC的（ ）A.內(nèi)心B.外心 C.垂心 D.重心解析：由向量模的定義知O到

9、ABC的三頂點距離相等。故 O是ABC的外心，選B。點評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例8 ,已知向量 OP1, OP2, OP3滿足條件OP1+ oP2 + OP3 = 0 ,|Op1|=| Op2 |=| OP31=1 ,求證 嚀1P2P3是正三角形.（數(shù)學第一冊（下），復習參考題五B組第6題）證明 由已知op1+ op2=- op3 ,兩邊平方得op1 op2 = -2 ,1同理 OP2 OP3 = OP3 OPl =-,/.|P1P21=| P2P31=| P3p1 |= V3,從而PiP2P3 是正三角形.反之

10、，若點O是正三角形 PiP2P3的中心，則顯然有 市+OP2+ OP3= 0 旦|OP1|=| OP21=| OP|.即O是MBC所在平面內(nèi)一點，OP1 + OP2 + OP3 = 0 J=L| OP1 |=| OP21=| OP31 點 O 是正APiP2P3 的 中心.例9.在2BC中，已知Q、G、H分別是三角形的外心、 重心、垂心。求證： Q、G、H三點共線，且 QG:GH=1:2?！咀C明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系。設 A(0,0)、B (xi,0)、C(X2,y2), D、E、F分別為AB、BC、AC的中點,則有:xiD (,0)、E(2Xi X2

11、y2、x2 y2F(,)2 2由題設可設，丫 3)、H (X2,y4),Xi XG(tLUUU AH I2 y 2) "1TLW(X2y3)uurBCLULLQ AHLULLAHy，(X2 Xi,y2)LLLTBCLmr?BC x2(x2X2J2 Xi)丫2Xi)y2y4uur QQFuurQFLULLACuuur ?AC/X2X2(Ty3X2(X2 Xi)2y2XiIy22“2 y2(2y3)uunu QH(X2Xi 7,y4y3)(2X 2I Xi23x 2(X22ylXi)LuurQG(公Xi3Xiy22x X(2-i 6i LLiir= 1QH32 33x2(x26y2y3)

12、Xi)2x26xi y2y26)3(31 2xX2(X2 Xi)2y2xi 3x2(x 2, 2y2Xi)uuuuuuir即QH=3QG,故 Q、G、H 三點共線，且 QG： GH = 1 ： 2【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數(shù)運算和 幾何運算處理，都相當麻煩，而借用向量的坐標形式，將向 量的運算完全化為代數(shù)運算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密 地結(jié)合在一起，從而，很多對稱、共線、共點、垂直等問題 的證明，都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運算的論證。例10 .若O、H分別是4ABC的外心和垂心.求證 OH OA OB OC證明 若MBC的垂心為H,外心為 O,如圖.連BO并延長交外接圓于 D,連結(jié)A

13、D , CD.，AD AB, CD BC.又垂心為H,AH BC , CH AB , AH /CD, CH /AD四邊形AHCD為平行四邊形,/.AH DC DO OC ,故 OH OA AH OA OB OC著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心” 外心、重心、垂心的位置關(guān)系：歐拉線”；(1)三角形的外心、重心、垂心三點共線（2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線 的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11 .設O、G、H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.求證 OG - OH3證明 按重心定

14、理G是AABC的重心 oG J（oA oB oc）3按垂心定理OH OA OB OC由此可得OG -OH .3補充練習1 .已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足1 i 1 op=-（；oa+/B+2 OC）,則點 P一定為二角形 ABC 的322（B ）A.AB邊中線的中點分點（非重心）C.重心B.AB邊中線的三等D.AB邊的中點111.B取AB邊的中點 M，則0A OB 20M，由0P =- (-OA1 2 + OB+2 OC )可得 30P 30M 2MC ，MP MC ,即點23'P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且點P不過重心，故選B.

15、uuur2 .在同一個平面上有ABC及一點o滿足關(guān)系式：0A? +uuuuuu uuuuuuuuuuir uuuuuinuLuuuuBC2 = 0B2+CA2=0C2+AB2,則0為 ABC的(D )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3 .已知AABC的三個頂點 A、B、C及平面內(nèi)一點 P滿足：uuu uuu unrPA PB PC 0 ,則 P 為 ABC 的(C )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心4 .已知0是平面上一定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足：0p 0a (Ab Ac),則P的軌跡一定通過 ABC的(C )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5 .已知

16、AABC, P為三角形所在平面上的動點，且動點 P滿足：uuu uur uur uuu uur unrPA?PC PA?PB PB?PC 0,則P點為三角形的A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心6 .已知AABC , P為三角形所在平面上的一點， 且點P滿足:uuu uuu uura PA b PB c?PC 0 ,則P點為三角形的(B )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心 2 2 7 .在三角形ABC中，動點P滿足：CA CB 2AB?CP,則P點軌跡一定通過 ABC的：(B )A 外心B 內(nèi)心 C 重心D 垂心8 .已知非零向量與滿足(+) =0且=1，則9BC為()A.三邊均不相等

17、的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形uuuuuur解析：非零向量與滿足("AB" -AC-) =0 ,即角A的平分線垂|AB| |AC|uuu uuur 1直于BC,AB=AC ,又8sA德|篦| = 2所以MBC為等邊三角形，選 D.9 . ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為 H,OH m(OA OB OC),貝U實數(shù) m = _19.點O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足OA OB OB OC OC OA ,貝U 點 O 是 ABC 的(B )(A)三個內(nèi)角的角平分線的交點(B)三條邊的垂直平分線的交點(C)三條中線的交點(D)三條高的交10.如圖1 ,已知點G是ABC的重心，