直線與圓的方程測試卷(含答案)

1、直線和圓的方程(滿分:150分 時間:120分鐘)一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)1.若直線x+ay-a=0與直線ax-(2a-3)y-1=0垂直,則a的值為( )A.2 B.-3或1 C.2或0 D.1或02.集合M=(x,y)|y=,x、yR,N=(x,y)|x=1,yR,則MN等于( )A.(1,0) B.y|0y1C.1,0 D.解析：y=表示單位圓的上半圓,x=1與之有且僅有一個公共點(diǎn)(1,0).答案：A3.菱形ABCD的相對頂點(diǎn)為A(1,-2),C(-2,-3),則對角線BD所在直線的方程是 ( )A.3x+y+4=0 B.3x+y-4=0C.3x-y+1=0

2、D.3x-y-1=0解析：由菱形的幾何性質(zhì),知直線BD為線段AC的垂直平分線,AC中點(diǎn)O在BD上,故,代入點(diǎn)斜式即得所求.答案：A4.若直線經(jīng)過點(diǎn)M(cos,sin),則 ( )A.a2+b21 B.a2+b21C. D.解析：直線經(jīng)過點(diǎn)M(cos,sin),我們知道點(diǎn)M在單位圓上,此問題可轉(zhuǎn)化為直線和圓x2+y2=1有公共點(diǎn),圓心坐標(biāo)為(0,0),由點(diǎn)到直線的距離公式,有 答案：D5.當(dāng)圓x2+y2+2x+ky+k2=0的面積最大時,圓心坐標(biāo)是( )A.(0,-1) B.(-1,0) C.(1,-1) D.(-1,1)解析：r2=,當(dāng)k=0時,r2最大,從而圓的面積最大.此時圓心坐標(biāo)為(-1

3、,0),故選B.答案：B6.過直線y=x上的一點(diǎn)作圓(x-5)2+(y-1)2=2的兩條切線l1,l2,當(dāng)直線l1,l2關(guān)于y=x對稱時,它們之間的夾角為( )A.30° B.45° C.60° D.90°解析：由已知,得圓心為C(5,1),半徑為,設(shè)過點(diǎn)P作的兩條切線的切點(diǎn)分別為M,N,當(dāng)CP垂直于直線y=x時,l1,l2關(guān)于y=x對稱,|CP|為圓心到直線y=x的距離,即|CP|=,|CM|=,故CPM=30°,NPM=60°.答案：C7.在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域(陰影部分且包括邊界)內(nèi),若是目標(biāo)函數(shù)z=ax+y(a>0

4、)取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)個,則a的值等于( )A. B.1 C.6 D.3解析：將z=ax+y化為斜截式y(tǒng)=-ax+z(a>0),則當(dāng)直線在y軸上截距最大時,z最大.最優(yōu)解有無數(shù)個,當(dāng)直線與AC重合時符合題意.又kAC=-1,-a=-1,a=1.答案：B8.已知直線l1:y=x,l2:ax-y=0,其中a為實數(shù),當(dāng)這兩條直線的夾角在(0,)內(nèi)變動時,a的取值范圍是( )A.(0,1) B. C.(,1)(1,) D.(1,)解析：結(jié)合圖象,如右圖,其中=45°-15°=30°,=45°+15°=60°.需a(tan30

5、6;,1)(1,tan60°),即a(,1)(1,).答案：C9.把直線x-2y+=0向左平移1個單位,再向下平移2個單位后,所得直線正好與圓x2+y2+2x-4y=0相切,則實數(shù)的值為( )A.3或13 B.-3或13 C.3或-13 D.-3或-13解析：直線x-2y+=0按a=(-1,-2)平移后的直線為x-2y+-3=0,與圓相切,則圓心(-1,2)到直線的距離,求得=13或3.答案：A10.如果直線y=kx+1與圓x2+y2+kx+my-4=0交于M、N兩點(diǎn),且M、N關(guān)于直線x+y=0對稱,則不等式組表示的平面區(qū)域的面積是( )A. B. C.1 D.2解析：由題中條件知k

6、=1,m=-1,易知區(qū)域面積為.答案：A11.兩圓與的位置關(guān)系是( )A.內(nèi)切 B.外切 C.相離 D.內(nèi)含解析：兩圓化為標(biāo)準(zhǔn)式為(x+3)2+(y-4)2=4和x2+y2=9,圓心C1(-3,4),C2(0,0).兩圓圓心距|C1C2|=5=2+3.兩圓外切.答案：B12.方程=k(x-3)+4有兩個不同的解時,實數(shù)k的取值范圍是( )A. B.(,+) C.() D. 解析：設(shè)y=,其圖形為半圓;直線y=k(x-3)+4過定點(diǎn)(3,4),由數(shù)形結(jié)合可知,當(dāng)直線y=k(x-3)+4與半圓y=有兩個交點(diǎn)時,.選D.答案：D二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)13.若x,y滿足約束

7、條件則z=2x-y的最大值為_.解析：作出可行域如圖所示.當(dāng)直線z=2x-y過頂點(diǎn)B時,z達(dá)到最大,代入得z=9.答案：914.在y軸上截距為1,且與直線2x-3y-7=0的夾角為的直線方程是_.解析：由題意知斜率存在,設(shè)其為k,則直線方程為y=kx+1.則.解得k=5或.直線方程為y=5x+1或y=,即5x-y+1=0或x+5y-5=0.答案：5x-y+1=0或x+5y-5=015.設(shè)A(0,3),B(4,5),點(diǎn)P在x軸上,則|PA|+|PB|的最小值是_,此時P點(diǎn)坐標(biāo)是_.解析：點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為A(0,-3),則|AB|=4為所求最小值.直線AB與x軸的交點(diǎn)即為P點(diǎn),求得P(,0)

8、.答案：4 (,0)16.已知圓M:(x+cos)2+(y-sin)2=1,直線l:y=kx,下面四個命題:對任意實數(shù)k與,直線l和圓M相切;對任意實數(shù)k與,直線l和圓M有公共點(diǎn);對任意實數(shù),必存在實數(shù)k,使得直線l和圓M相切;對任意實數(shù)k,必存在實數(shù),使得直線l和圓M相切.其中真命題的序號是.(寫出所有真命題的序號)解析：圓心M(-cos,sin)到直線l:kx-y=0的距離=|sin(+)|(其中tan=k)1=r,即dr,故正確.答案：三、解答題(本大題共6小題,共70分)17.(本小題滿分10分)已知ABC的三個頂點(diǎn)A(4,-6),B(-4,0),C(-1,4),求:(1)AC邊上的高

9、BD所在直線的方程;(2)BC的垂直平分線EF所在直線的方程;(3)AB邊的中線的方程.解：(1)易知kAC=-2,直線BD的斜率kBD=.又BD直線過點(diǎn)B(-4,0),代入點(diǎn)斜式易得直線BD的方程為x-2y+4=0.(2)kBC=,kEF=.又線段BC的中點(diǎn)為(,2),EF所在直線的方程為y-2=.整理得所求的直線方程為6x+8y-1=0.(3)AB的中點(diǎn)為M(0,-3),直線CM的方程為.整理得所求的直線方程為7x+y+3=0(-1x0).18.(本小題滿分12分)已知圓C與y軸相切,圓心C在直線l1:x-3y=0上,且截直線l2:x-y=0的弦長為2,求圓C的方程.解：圓心C在直線l1:

10、x-3y=0上,可設(shè)圓心為C(3t,t).又圓C與y軸相切,圓的半徑r=|3t|.,解得t=±1.圓心為(3,1)或(-3,-1),半徑為3.所求的圓的方程為(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.19.(本小題滿分12分)已知等邊ABC的邊AB所在的直線方程為x+y=0,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,),求邊AC、BC所在的直線方程和ABC的面積.解：由題意,知直線AC、BC與直線AB均成60°角,設(shè)它們的斜率為k,則,解得k=0或k=.故邊AC、BC所在的直線方程為y=,y=x,如圖所示,故邊長為2,高為.SABC=.20.(本小題滿分12分)圓C經(jīng)過不同的

11、三點(diǎn)P(k,0)、Q(2,0)、R(0,1),已知圓C在P點(diǎn)的切線斜率為1,試求圓C的方程.解：設(shè)圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.將P、Q、R的坐標(biāo)代入,得圓的方程為x2+y2-(k+2)x-(2k+1)y+2k=0,圓心為.又kCP=-1,k=-3.圓的方程為x2+y2+x+5y-6=0.21.(本小題滿分12分)過點(diǎn)P(2,4)作兩條互相垂直的直線l1、l2,若l1交x軸于A點(diǎn),l2交y軸于B點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解法一:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),M為線段AB的中點(diǎn),A的坐標(biāo)為(2x,0),B的坐標(biāo)為(0,2y).l1l2,且l1、l2過點(diǎn)P(2,4),PAPB,k

12、PA·kPB=-1.而kPA=kPB=(x1), (x1).整理,得x+2y-5=0(x1).當(dāng)x=1時,A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)、(0,4),線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2),它滿足方程x+2y-5=0.綜上所述,點(diǎn)M的軌跡方程是x+2y-5=0.解法二:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),則A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2x,0)、(0,2y),連結(jié)PM,l1l2,2|PM|=|AB|.而|PM|=,|AB|=化簡,得x+2y-5=0,即為所求的軌跡方程.解法三:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),由l1l2,BOOA,知O、A、P、B四點(diǎn)共圓,|MO|=|MP|,即點(diǎn)M是線段OP的垂直平分線上的點(diǎn).kOP=,線段OP的中點(diǎn)為(1,2),y-2=(x-1),即x+2y-5=0即為所求.22.(本小題滿分12分)實系數(shù)方程f(x)=x2+ax+2b=0的一個根在(0,1)內(nèi),另一個根在(1,2)內(nèi),求:(1)的值域;(2)(a-1)2+(b-2)2的值域;(3)a+b-3的值域.解：由題意易求A(-1,0)、B(-2,0).由C(-3,1