概率論基本公式

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本公式第一部分 概率論基本公式1、 2、對(duì)偶率：3、概率性率：4、古典概型5、條件概率例：有三個(gè)罐子，1號(hào)裝有2紅1黑共3個(gè)球，2號(hào)裝有3紅1黑4個(gè)球，3號(hào)裝有2紅2黑4個(gè)球，某人隨機(jī)從其中一罐，再?gòu)脑摴拗腥稳∫粋€(gè)球，（1）求取得紅球的概率；（2）如果取得是紅球，那么是從第一個(gè)罐中取出的概率為多少？6、獨(dú)立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),則稱A、B獨(dú)立。(2)伯努利概型如果隨機(jī)試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果：事件A發(fā)生或事件A不發(fā)生，則稱為伯努利試驗(yàn)，即：P(A)=p, (0p1,p+q=1)2 / 13相同條件獨(dú)立重復(fù)n次，稱之為n重伯努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱伯努利概型。伯努利定理：

2、（k=0,1,2） 事件A首次發(fā)生概率為：例：設(shè)事件A在每一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.3，當(dāng)A發(fā)生不少于3次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)，（1）進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。第二章7、常用離散型分布（1）兩點(diǎn)分布：若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能的取值，且其分布為： （0p0）都是常數(shù)。分布函數(shù)為：。當(dāng)稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，概率密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：定理：設(shè)其期望E(X)= ,D(X)= 。9、隨機(jī)變量函數(shù)的分布（1）離散型隨機(jī)變量函數(shù)分布一般方法：先根據(jù)自變量X的所有可能取值確定因變量Y的所有可能值，然后通過(guò)Y的每一個(gè)可能的取值(i=1,2

3、,)來(lái)確定Y的概率分布。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)分布方法：設(shè)已知X的分布函數(shù)或者概率密度，則隨機(jī)變量Y=g(X)的分布函數(shù),其中，進(jìn)而可通過(guò)Y的分布函數(shù)，求出Y的密度函數(shù)。例：設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為，求隨機(jī)變量10、設(shè)隨機(jī)變量XN(,Y=也服從正態(tài)分布.即。11、聯(lián)合概率分布(1)離散型聯(lián)合分布：XY PX=p PY= 1(2)連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布：例：設(shè)隨機(jī)變量（X，Y）的密度函數(shù)求，D(X+Y).解：當(dāng)0x2時(shí)由，得：，當(dāng)x2時(shí)，由，所以，同理可求得:； E(X)=,由對(duì)稱性同理可求得，E(Y)=7/6。因?yàn)镋(XY)= 所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4

4、/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y)=,所以，=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、條件分布：若13、隨機(jī)變量的獨(dú)立性：由條件分布設(shè)A=Yy,且PYy0,則：，設(shè)隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布概率為F（x,y），邊緣分布概率為，若對(duì)于任意x、y有：，即：，則稱X和Y獨(dú)立。14、連續(xù)型隨機(jī)變量的條件密度函數(shù)：設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量（X,Y）的概率密度為,邊緣概率密度函數(shù)為，則對(duì)于一切使0的x,定義在X=x的條件下Y的條件密度函數(shù)為：，同理得到定義在Y=y條件下X的條件概率密度函數(shù)為：，若=幾乎處處成立，則稱X,Y相互獨(dú)立。例：設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率密度函數(shù)為：

5、，求（1）確定常數(shù)c；（2）X,Y的邊緣概率密度函數(shù)；（3）聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y);(4)PYX;(5)條件概率密度函數(shù)；（6）PX2|Y0，D(Y)0，則當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)a，b（），使：附注：設(shè)e=EY-(,稱為用來(lái)近似Y的均方差，則：設(shè)D(X)0，D(Y)0,有：使均方誤差達(dá)到最小。18、切比雪夫不等式：設(shè)隨機(jī)變量X的期望E(X)=,方差D(X)=,則對(duì)于給定任意正數(shù)，有：19、大數(shù)定理：設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立，且具有相同的期望和方差：，i=1,2,3，則對(duì)于任意0,有：20、中心極限定理；（1）設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立，服從同一分布，且， i=1,2,3，則：(2)棣莫佛拉普拉斯定理：設(shè)隨機(jī)變量X,X,X相互獨(dú)立，并且都服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有：第二部分 數(shù)理統(tǒng)計(jì)24、點(diǎn)估計(jì)常用方法（1）矩估計(jì)法：先求E（X）,得到一個(gè)E(X)與未知參數(shù)的式子，用E(X)表示未知參數(shù)，再把E(X)用代替即可。例：已知總體X的概率分布為求參數(shù)的矩估計(jì)。（2）最大似然估計(jì)：一般方法：a、寫(xiě)出最大似然函數(shù)L(;或c、判斷并求出最大