奧數(shù)加法原理

1、例1從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車，還可以乘輪船。一天中火車有4班，汽車有3班，輪船有2班。問：一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地，共有多少種不同走法？分析與解：一天中乘坐火車有4種走法，乘坐汽車有3種走法，乘坐輪船有2種走法，所以一天中從甲地到乙地共有：432=9（種）不同走法。例2旗桿上最多可以掛兩面信號旗，現(xiàn)有紅色、藍(lán)色和黃色的信號旗各一面，如果用掛信號旗表示信號，最多能表示出多少種不同的信號？分析與解：根據(jù)掛信號旗的面數(shù)可以將信號分為兩類。第一類是只掛一面信號旗，有紅、黃、藍(lán)3種；第二類是掛兩面信號旗，有紅黃、紅藍(lán)、黃藍(lán)、黃紅、藍(lán)紅、藍(lán)黃6種。所以一共可以表示出不同的信號36=

2、9（種）。以上兩例利用的數(shù)學(xué)思想就是加法原理。加法原理：如果完成一件任務(wù)有n類方法，在第一類方法中有m1種不同方法，在第二類方法中有m2種不同方法 在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有N=m1+m2+mn種不同的方法。乘法原理和加法原理是兩個重要而常用的計數(shù)法則，在應(yīng)用時一定要注意它們的區(qū)別。乘法原理是把一件事分幾步完成，這幾步缺一不可，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各步方法數(shù)的乘積；加法原理是把完成一件事的方法分成幾類，每一類中的任何一種方法都能完成任務(wù)，所以完成任務(wù)的不同方法數(shù)等于各類方法數(shù)之和。例3兩次擲一枚骰子，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有多少種？分析與解：兩次的數(shù)字

3、之和是偶數(shù)可以分為兩類，即兩數(shù)都是奇數(shù)，或者兩數(shù)都是偶數(shù)。因為骰子上有三個奇數(shù)，所以兩數(shù)都是奇數(shù)的有3×3=9（種）情況；同理，兩數(shù)都是偶數(shù)的也有9種情況。根據(jù)加法原理，兩次出現(xiàn)的數(shù)字之和為偶數(shù)的情況有9918（種）。例4用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？分析與解：本題與上一講的例4表面上十分相似，但解法上卻不相同。因為上一講例4中，區(qū)域A與其它區(qū)域都相鄰，所以區(qū)域A與其它區(qū)域的顏色都不相同。本例中沒有一個區(qū)域與其它所有區(qū)域都相鄰，如果從區(qū)域A開始討論，那么就要分區(qū)域A與區(qū)域E的顏色相同與不同兩種情況。當(dāng)區(qū)域A與

4、區(qū)域E顏色相同時，A有5種顏色可選；B有4種顏色可選；C有3種顏色可選；D也有3種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時不同的染色方法有 5×4×3×3180（種）。當(dāng)區(qū)域A與區(qū)域E顏色不同時，A有5種顏色可選；E有4種顏色可選；B有3種顏色可選；C有2種顏色可選；D有2種顏色可選。根據(jù)乘法原理，此時不同的染色方法有5×4×3×2×2240（種）。再根據(jù)加法原理，不同的染色方法共有180240=420（種）。例5用1，2，3，4這四種數(shù)碼組成五位數(shù)，數(shù)字可以重復(fù)，至少有連續(xù)三位是1的五位數(shù)有多少個？分析與解：將至少有連續(xù)三位數(shù)是1的五

5、位數(shù)分成三類：連續(xù)五位是1、恰有連續(xù)四位是1、恰有連續(xù)三位是1。連續(xù)五位是1，只有11111一種；中任一個，所以有336（種）；3×44×33×333（種）。由加法原理，這樣的五位數(shù)共有163340（種）。在例5中，我們先將這種五位數(shù)分為三類，以后在某些類中又分了若干種情況，其中使用的都是加法原理。例6右圖中每個小方格的邊長都是1。一只小蟲從直線AB上的O點出發(fā)，沿著橫線與豎線爬行，可上可下，可左可右，但最后仍要回到AB上（不一定回到O點）。如果小蟲爬行的總長是3，那么小蟲有多少條不同的爬行路線？分析與解：如果小蟲爬行的總長是2，那么小蟲從AB上出發(fā)，回到AB上，

6、其不同路線有6條（見左下圖）；小蟲從與AB相鄰的直線上出發(fā)，回到AB上，其不同路線有4條（見右下圖）。實際上，小蟲爬行的總長是3。小蟲爬行的第一步有四種情況：向左，此時小蟲還在AB上，由上面的分析，后兩步有6條路線；同理，向右也有6條路線；向上，此時小蟲在與AB相鄰的直線上，由上面的分析，后兩步有4條路線；同理，向下也有4條路線。根據(jù)加法原理，共有不同的爬行路線664420（條）練習(xí)1.南京去上海可以乘火車、乘飛機(jī)、乘汽車和乘輪船。如果每天有20班火車、6班飛機(jī)、8班汽車和4班輪船，那么共有多少種不同的走法？2.光明小學(xué)四、五、六年級共訂300份報紙，每個年級至少訂99份報紙。問：共有多少種不

7、同的訂法？3.將10顆相同的珠子分成三份，共有多少種不同的分法？4.在所有的兩位數(shù)中，兩位數(shù)碼之和是偶數(shù)的共有多少個？5.用五種顏色給右圖的五個區(qū)域染色，每個區(qū)域染一種顏色，相鄰的區(qū)域染不同的顏色。問：共有多少種不同的染色方法？6.用1，2，3這三種數(shù)碼組成四位數(shù)，在可能組成的四位數(shù)中，至少有連續(xù)兩位是2的有多少個？7.下圖中每個小方格的邊長都是1。有一只小蟲從O點出發(fā)，沿圖中格線爬行，如果它爬行的總長度是3，那么它最終停在直線AB上的不同爬行路線有多少條？答案：1.38種。2.10種。提示：沒有年級訂99份時，只有三個年級各訂100份一種訂法；只有一個年級訂99份時，另外兩個年級分別訂100份和101份，有6種訂法；有兩個年級訂99份時，另外一個年級訂102份，有3種訂法。3.8種。4.45個。提示：兩個數(shù)碼都是奇數(shù)的有5×5（個），兩個數(shù)碼都是偶數(shù)的有4×5（個）。5.420種。解：如右圖所示，按A，B，C，D，E順序染色。若B，D顏色相同，則有5×4×3×1×3=180（種）；若B，D顏色不同，則有5×4×3×2×2=240（