圓錐曲線難題

1、第I卷（選擇題）請點擊修改第I卷的文字說明評卷人得分一、選擇題（題型注釋）1已知點在雙曲線上，直線過坐標原點，且直線、的斜率之積為，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】試題分析：因為直線過原點，且在雙曲線上，所以兩點關于原點對稱，則可設，所以，由題意得，又由，相減得，即，所以.故正確答案為A.考點：1.直線與雙曲線；2.雙曲線的離心率.2已知橢圓上一點A關于原點的對稱點為點B，F(xiàn)為其右焦點，若，設，且，則該橢圓離心率的取值范圍為（ ） A、 B、 C、 D、【答案】A【解析】試題分析：B和A關于原點對稱B也在橢圓上設左焦點為F根據(jù)橢圓定義：又 是的斜邊中點，又 代入

2、即,所以.考點：橢圓的性質3已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線的斜率的取值范圍是（ ）A. B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：雙曲線的漸近線方程是，過右焦點分別作兩條漸近線的平行線和，由下圖圖像可知，符合條件的直線的斜率的范圍是.故應選A.考點：直線與圓錐曲線的關系；直線的斜率；雙曲線的簡單性質.4設、分別為雙曲線的左、右焦點若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的離心率為 （ ）A B2 C D【答案】D【解析】試題分析：由已知得，在中，=，由雙曲線定義得，過點作，垂足為，則在中有，化簡得，得考點：1

3、、雙曲線的標準方程；2、雙曲線的簡單幾何性質5已知雙曲線的離心率為，則此雙曲線的漸近線方程為（ ） A. B. C. D.【答案】C【解析】試題分析：由已知得，故，所以雙曲線的漸近線方程為考點：雙曲線的標準方程和簡單幾何性質.6拋物線的焦點為， 為拋物線上一點，若的外接圓與拋物線的準線相切（為坐標原點），且外接圓的面積為9，則（ ）A2 B4 C6 D8【答案】B【解析】試題分析：設的外接圓圓心為，且半徑為3，由已知得點到拋物線準線的距離等于，故點在拋物線上，且點的橫坐標為，由拋物線定義得，所以考點：拋物線的標準方程和定義.7已知，橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程

4、為( )A. B. C. D.【答案】A.【解析】試題分析：由題意可得，橢圓的離心率，雙曲線的離心率，雙曲線的漸近線方程為，即.考點：橢圓與雙曲線的標準方程.8已知直線與拋物線交于兩點，為拋物線的焦點，若，則的值是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】試題分析：直線y=k（x-2）（k0）恒過定點（2，0）即為拋物線y2=8x的焦點F過A，B兩點分別作準線的垂線，垂足分別為C，D，再過B作AC的垂線，垂足為E，設|BF|=m，|FA|=2|FB|，|AF|=2mAC=AF=2m，|BD|=|BF|=m如圖，在直角三角形ABE中，AE=AC-BD=2m-m=m，AB=3m，cosBAE=

5、直線AB的斜率為：k=tanBAE=2,故選 D.考點：直線與圓錐曲線的關系.9已知是橢圓的兩個焦點，過的直線與橢圓交于、兩點，則的周長為 . 16 . 8 . 25 . 32【答案】A【解析】試題分析：由題意可知：的周長為 . 考點：橢圓的定義即應用.10如圖所示，已知雙曲線的右焦點為，過的直線交雙曲線的漸近線于、兩點，且直線的傾斜角是漸近線傾斜角的2倍，若，則該雙曲線的離心率為（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】試題分析：雙曲線的漸近線方程為，直線l的傾斜角是漸近線OA傾斜角的2倍，直線l的方程為，與聯(lián)立，可得或，c=2b，故選：B考點：雙曲線的簡單性質.11已知雙曲線的右焦點

6、是拋物線的焦點，兩曲線的一個公共點為，且，則雙曲線的離心率為A B C D【答案】C【解析】試題分析：由題意可得：雙曲線的焦點為，且兩曲線的一個公共點為在y軸右側，因為，因此可設點,所以,所以，所以雙曲線的離心率為考點：雙曲線、拋物線的定義及性質12對于任意給定的實數(shù)，直線與雙曲線，最多有一個交點則，雙曲線的離心率等于A B C D【答案】D【解析】試題分析：由條件可得：雙曲線的漸近線方程為，又因為直線與雙曲線，最多有一個交點，所以直線與漸近線方程平行，所以，所以雙曲線的離心率考點：雙曲線的性質13橢圓的中心在原點，焦點在軸上，長軸長為，焦距為4，則該橢圓的方程為（ ） A B +=1 C +

7、=1 D +=1【答案】C【解析】試題分析：由題意可設所求橢圓方程為，又因為長軸長為和焦距為4，所以、，即，再由，故所求橢圓方程為，故選C考點：橢圓的標準方程14拋物線（）的焦點為，已知點，為拋物線上的兩個動點，且滿足.過弦的中點作拋物線準線的垂線，垂足為，則的最大值為（ ）A. B.1 C. D.2【答案】A.【解析】試題分析：設，連接AF、BF，由拋物線的定義知，在梯形ABPQ中，；應用余弦定理得，配方得，又因為，所以，得到.所以，即的最大值為，故選A. 考點：拋物線的簡單性質.15已知雙曲線=1（a0，b0），F(xiàn)是左焦點，A、B分別是虛軸上、下兩端，C是它的左頂點，直線AC與直線FB相交

8、于點D，若雙曲線的離心率為，則BDA的余弦值等于（）A B C D【答案】【解析】試題分析：由離心率可知a=b，因此BAD=，sinABD=，cosABD=，在三角形ABD中，cosBDA=cos-（BAD+ABD）=cos（BAD+ABD）=，答案選B.考點：1.雙曲線的圖象及其幾何性質；2.三角函數(shù)的定義及和角公式；3.三角形的內角和定理16已知F2、F1是雙曲線-=1(a>0，b>0)的上、下焦點，點F2關于漸近線的對稱點恰好 落在以F1為圓心，|OF1|為半徑的圓上，則雙曲線的離心率為（ ）A3 B C2 D【答案】C【解析】試題分析：設關于漸近線的對稱點為，的中點為，連接

9、，則，又，點到漸近線的距離，即，考點：雙曲線性質的應用.17已知雙曲線，以右頂點為圓心，實半軸長為半徑的圓被雙曲線的一條漸近線分為弧長為1：2的兩部分，則雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：由題意知圓的圓心半徑圓的方程，漸近線方程即漸近線分弧長為1：2，劣弧所對角為由余弦定理得弦長，圓心到直線的距離化簡得考點：雙曲線性質的綜合應用.18拋物線：的焦點與雙曲線：的右焦點的連線交于第一象限的點，若在點處的切線平行于的一條漸近線，則（ ）A. B C D【答案】B【解析】試題分析：經(jīng)過第一象限的雙曲線的漸近線為，拋物線的焦點為,雙曲線的右焦點為，設M（，），則，所

10、以曲線在M點的切線斜率為，由題知=，所以=，因為三點，共線，所以，即，故選B.考點：雙曲線的性質，拋物線的性質，導數(shù)的幾何意義，三點共線的充要條件，兩直線平行的充要條件19設是關于t的方程的兩個不等實根，則過,兩點的直線與雙曲線的公共點的個數(shù)為A3 B2 C1 D0【答案】D【解析】試題分析：關于t的方程的不同的兩根為0，不妨取=0，=，直線AB過原點，斜率為=，恰是雙曲線的一條漸近線，故與該雙曲線的公共點的個數(shù)為0，故選D.考點：直線的方程，雙曲線的漸近線，20已知拋物線（）的焦點為雙曲線（）的一個焦點，經(jīng)過兩曲線交點的直線恰過點，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. D.【答案】B【

11、解析】試題分析：拋物線（）的焦點，它也是雙曲線（）的一個焦點，所以有，由兩曲線交點的直線恰過點，可知它們在第一象限的交點為，此點也在雙曲線上，故有，由消去，得，即，即，因為，所以，選擇B，求離心率的值關鍵是尋找到關于的等式，然后轉化到的方程，從而解出.考點：圓錐曲線的性質21斜率為2的直線L經(jīng)過拋物線的焦點F，且交拋物線與A、B兩點，若AB的中點到拋物線準線的距離1，則P的值為（ ）.A.1 B. C. D.【答案】B【解析】試題分析：設斜率為2且經(jīng)過拋物線的焦點F的直線L的方程為，聯(lián)立，得，即；設，中點；則；因為AB的中點到拋物線準線的距離為1，所以，.考點：直線與拋物線的位置關系.22雙曲

12、線=1（a>0，b>0）的右焦點是拋物線y2=8x的焦點F，兩曲線的一個公共點為P，且|PF| =5，則此雙曲線的離心率為（ ）A B C2 D【答案】C【解析】試題分析：,根據(jù)拋物線的焦半徑公式知：,代入得,代入雙曲線方程,解得：,，故選C.考點：雙曲線與拋物線的性質23從橢圓1(a>b>0)上一點P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點F1，A是橢圓與x軸正半軸的交點，B是橢圓與y軸正半軸的交點，且ABOP(O是坐標原點)，則該橢圓的離心率是( )A B C D【答案】C【解析】由題意設P(c，y0)，將P(c，y0)代入1，得1，則b2b2·y0或y0 (舍去)，

13、P，kOPA(a,0)，B(0，b)， kAB又ABOP，kABkOP，bce故選C24已知雙曲線1(a0，b0)的兩條漸近線均和圓C：x2y26x50相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為( )A1 B1C1 D1【答案】A【解析】由x2y26x50知圓心C(3,0)，半徑r2又1的漸近線為bx±ay0，且與圓C相切由直線與圓相切，得2，即5b24a2，因為雙曲線右焦點為圓C的圓心，所以c3，從而9a2b2，由聯(lián)立，得a25，b24，故所求雙曲線方程為1，選A25已知拋物線:與點，過的焦點且斜率為的直線與交于,兩點，若，則（）A B C D【答案】D【解析】試題分析

14、：由題可得拋物線的焦點坐標為，則過的焦點且斜率為的直線方程為，設直線與拋物線的交點坐標分別為，則由得，則有，所以得，又，因為所以有，即，即，所以，選D考點：拋物線的概念、向量的運算第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明評卷人得分二、填空題（題型注釋）26已知在平面直角坐標系下，點分別為軸和軸上的兩個動點，滿足，點為線段的中點，已知點，則的最小值為_【答案】【解析】試題分析：試題有誤，無法給出解析和答案考點：27我們把離心率的雙曲線稱為黃金雙曲線如圖是雙曲線的圖象，給出以下幾個說法：雙曲線是黃金雙曲線；若，則該雙曲線是黃金雙曲線；若為左右焦點，為左右頂點，（0，），（0，）且，則該雙曲

15、線是黃金雙曲線；若經(jīng)過右焦點且，則該雙曲線是黃金雙曲線其中正確命題的序號為_【答案】【解析】試題分析：對于，則，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于，整理得解得，所以雙曲線是黃金雙曲線；對于，由勾股定理得，整理得由可知所以雙曲線是黃金雙曲線；對于由于，把代入雙曲線方程得，解得，由對稱關系知為等腰直角三角形，即，由可知所以雙曲線是黃金雙曲線.考點：雙曲線的綜合應用.28已知雙曲線的右焦點為F，由F向其漸近線引垂線，垂足為P，若線段PF的中點在此雙曲線上，則此雙曲線的離心率為【答案】【解析】試題分析：F（c,0），雙曲線一條漸近線方程為，則過F與該漸近線垂直的直線方程為，聯(lián)立解得P(，),所以PF的中點（

16、，），代入雙曲線方程求得=，所以雙曲線的離心率為.考點：雙曲線的性質，兩直線的位置關系29對于曲線有以下判斷：（1）它表示圓；（2）它關于原點對稱；（3）它關于直線對稱；（4）其中正確的有_（填上相應的序號即可）.【答案】（2）、（3）.【解析】試題分析：(1) 曲線中含有項，方程不表示圓，即不正確；（2）在原方程中，同時將換成，且將換成，方程不變，就說明曲線關于原點對稱；（3）在原方程中，將，互換，方程不變，因此曲線關于直線對稱；（4）時，所以，不滿足，即（4）不正確.考點：軌跡方程評卷人得分三、解答題（題型注釋）30（本題滿分15分）已知點是拋物線的焦點（1）求拋物線方程；（2）若點為圓上

17、一動點，直線是圓在點處的切線，直線與拋物線相交于兩點（在軸的兩側），求平面圖形面積的最小值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由條件可知，則拋物線的方程為；（2）由題意可知直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去可得，設，再由，在軸兩側，可得，從而可知，再由示意圖，考慮到，即可知求四邊形面積的最大值等價于求的最大值，從而，當且僅當時等號成立， ，即平面圖形面積的最小值為 試題解析：（1）是拋物線的焦點，即拋物線方程為 2分；（2）由題意，可知直線的方程為，即，聯(lián)立直線l與拋物線方程，可得，設，由題意可得且，故， 8分而，且， 10分， 12分， 14分當且僅當時等號成立， ， 15分即平面

18、圖形面積的最小值為.考點：1拋物線的標準方程；2直線與拋物線相交31（12分）點為曲線上任一點，點，直線，點到直線的距離為，且滿足.（1）求曲線的軌跡方程；（2）點，點為直線上的一個動點，且直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）利用橢圓的第二定義等價條件求出橢圓的方程（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根

19、.第四步：寫出根與系數(shù)的關系.第五步：根據(jù)題設條件求解問題中結論.試題解析：（1）根據(jù)條件有：，化簡可得（2）設直線,直線，聯(lián)立它們和曲線的方程分別有；，根據(jù)焦半徑公式又，均過點，所以有，所以，又，所以有考點：（1）橢圓的標準方程；（2）直線與橢圓的綜合問題.32（12分）已知橢圓C:過點，且離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）過右焦點的直線與橢圓相交于兩點,且,求直線的方程.【答案】（1）（2）直線的方程為或【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點

20、不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關系.第五步：根據(jù)題設條件求解問題中結論.（3）求直線方程式一定不要忘記斜率不存在時試題解析：（1）根據(jù)題意, 故可設橢圓：. 將代入得，故橢圓的方程為. （2）當直線的斜率不存在時,其方程為,經(jīng)驗證，不符合題意；當直線的斜率存在時,設直線的方程為. 由可得 得. 設,則 因為,所以,即 , 解得,即. 故直線的方程為或.考點：求橢圓方程及求與橢圓有關的直線方程33（12分）已知為橢圓C：的左右焦點，橢圓上的點到的最近距離

21、為2，且離心率為.（1）橢圓C的方程；（2）若是橢圓C上的動點，求的最大值和最小值.【答案】（1）（2）最大值8最小值7【解析】試題分析：（1）由已知設出橢圓的標準方程，根據(jù)已知條件建立關于的方程組，解方程組求出的值；將解代入方程，即為所求；（2）求最值時可先判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性，進而求最值;二次函數(shù)一般用配方法求最值.試題解析：（1）由已知條件得 解得: 則橢圓C的方程為: （2）設E,則有: , ,所以點E在橢圓上 當時,所求最小值為7. 當時,所求最大值為8.考點：（1）求橢圓標準方程（2）求最值.34（13分）已知橢圓C：的兩焦點為，長軸兩頂點為.（1）是橢圓上一點，且，求的面

22、積；（2）過橢圓的左焦點作一條傾斜角為45°的直線與橢圓交于兩點，求弦長.【答案】（1）（2）【解析】試題分析：（1）求三角形面積時，一般角優(yōu)先，再利用橢圓的定義及性質求得需求的量；（2）求直線與橢圓相交所得得弦長的求法，一、把直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去得到關于的二次函數(shù)；二、當時，利用根與系數(shù)的關系，得到兩根之和及兩根之積；三、利用弦長公式求得弦長.試題解析：（1）聯(lián)立可得: ，（2）F（-1,0），直線，設，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，則，考點：求三角形面積及弦長.35（13分）已知拋物線：，（1）直線與拋物線有且僅有一個公共點，求實數(shù)的值；（2）定點，P為拋物線上任意一點，

23、求線段長的最小值【答案】（1）或（2）的最小值為2【解析】試題分析：（1）設拋物線方程為，直線將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得到關于的方程，當時，直線與拋物線由兩個交點；直線與拋物線有一個交點，直線與拋物線無交點，當時直線與拋物線有一個交點（2）求最值時可先判定函數(shù)在某個區(qū)間上的單調性，進而求最值;二次函數(shù)一般用配方法求最值.試題解析：（1）拋物線方程與直線方程聯(lián)立得當時，交點為，滿足題意；當時，由得， 綜上，（2）設點，則,考點：（1）直線與拋物線位置關系（2）求函數(shù)最值.36過軸上動點引拋物線的兩條切線、，、為切點,設切線、的斜率分別為和（）求證：；（）求證：直線恒過定點，并求出此定點坐

24、標； 【答案】（）見解析；（）（0，2）【解析】試題分析：（）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為，將直線方程代入拋物線的方程化簡得，由得，而都是方程的解，故；（）法1：設，由導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程并化簡變形得切線方程為，切線方程為，又由于點在AP、AQ上，所以，則直線的方程是，則直線過定點.；法2：由（1）知P、Q的橫坐標是方程的根，可設，由兩點坐標求得PQ的方程并化簡為即，由（1）知，所以直線的方程是，則直線過定點.試題解析：（）設過與拋物線的相切的直線的斜率是，則該切線的方程為：，由得，則都是方程的解，故。（）法1：設，故切線的斜率是，方程是又，

25、所以方程可化為，切線的斜率是，方程是又，所以方程可化為，又由于點在AP上，則，又由于點在AQ上，則 ，則直線的方程是，則直線過定點. 法2：設， 所以,直線：，即，由（1）知，所以，直線的方程是，則直線過定點.考點：1.導數(shù)的幾何意義；2.切線方程及其應用；3.直線與拋物線的位置關系37（本題滿分13分）設橢圓：的離心率，右焦點到直線的距離，為坐標原點（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓過原點，求到直線的距離【答案】（1），（2）【解析】試題分析：（1）求橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知

26、點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程.第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程.第三步：求解判別式：計算一元二次方程根.第四步：寫出根與系數(shù)的關系.第五步：根據(jù)題設條件求解問題中結論.試題解析：（1），右焦點到直線的距離，則，且，所以，所以橢圓的的方程是：（2）設直線：，那么：，則，又因為直線與橢圓交于兩點，以為直徑的圓過原點，化簡得，即所以到直線的距離為.考點：（1）求橢圓的標準方程;（2）直線與橢圓相交的綜合問題.38己知曲線與x袖交于A，B兩點，點P為x軸上方的一個動點，點P與A,B連線的斜率之積為-4（1）求動點P

27、的軌跡的方程；（2）過點B的直線與，分別交于點M ,Q（均異于點A，B），若以MQ為直徑的圓經(jīng)過點A，求AMQ的面積【答案】（1） ；（2）【解析】試題分析：（1）由題意得，設動點，由已知條件列方程得，且點P為x軸上方的一個動點，故，從而軌跡的方程為；(Il)直線和圓錐曲線的綜合問題要注意挖掘已知條件，善于利用韋達定理確定參數(shù)的值，本題可設直線的方程為，分別于的方程聯(lián)立，且必然是方程的一個根，利用韋達定理可表示得點M ,Q的坐標，利用AMAQ列方程求參數(shù)的值，從而求得M ,Q的坐標，進而求AMQ的面積QxMABOy試題解析：(1)不妨設點在點左側，則設，則整理得：所以動點的軌跡C2的方程為 5

28、分沒有y的范圍扣1分 (2)由(1)知，上半橢圓C2的方程為易知，直線l與x軸不重合也不垂直，設其方程為yk(x1)(k0)，代入C2的方程，整理得(k24)x22k2xk240(*)設點M的坐標為(xP，yP)，直線l過點B，x1是方程(*)的一個根由求根公式，得xM，從而yM，點M的坐標為 7分同理，由得點Q的坐標為(k1，k22k)由題意可知AMAQ，且，即 k4(k2)0，k0，k4(k2)0，解得k 10分所以的面積為 12分考點：1、軌跡方程；2、直線和圓錐曲線的位置關系39已知橢圓（ab0）和直線l：ybx2，橢圓的離心率e，坐標原點到直線l的距離為（1）求橢圓的方程；（2）已知

29、定點E（1，0），若直線ykx2（k0）與橢圓相交于C，D兩點，試判斷是否存在實數(shù)k，使得以CD為直徑的圓過定點E？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由【答案】（1），（2）k.【解析】試題分析：（1）利用直線l：ybx2，橢圓的離心率e，坐標原點到直線l的距離為，建立方程，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；（2）直線ykx2代入橢圓方程，利用韋達定理及CD為圓心的圓過點E，利用數(shù)量積為0，即可求得結論試題解析：（1）直線l：ybx2，坐標原點到直線l的距離為b1橢圓的離心率e，解得a23所求橢圓的方程是；（2）直線ykx2代入橢圓方程，消去y可得：（13k2）x212kx9036k2

30、360，k1或k1設C（x1，y1），D（x2，y2），則有x1x2，x1x2（x11，y1），（x21，y2），且以CD為圓心的圓過點E，ECED（x11）（x21）y1y20（1k2）x1x2（2k1）（x1x2）50（1k2）×（2k1）×（）50，解得k1，當k時，以CD為直徑的圓過定點E考點：直線與圓錐曲線的位置關系，橢圓的標準方程40設上的兩點，已知向量，,若且橢圓的離心率短軸長為2，為 坐標原點（）求橢圓的方程； （）若直線過橢圓的焦點（0，c），（c為半焦距），求直線的斜率的值；（）試問：的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由【答案】（1

31、）；（2）；（3）三角形的面積是定值 【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意可求得，進而根據(jù)離心率求得和，則橢圓的方程可得（2）設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，表示出和，利用建立方程求得（3）先看當直線的斜率不存在時，可推斷出，根據(jù)求得和的關系式，代入橢圓的方程求得和求得三角形的面積；再看當直線斜率存在時，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理表示出和，利用求得，最后利用弦長公式和三角形面積公式求得答案 試題解析：（） 橢圓的方程為 （）由題意，設的方程為所以所以， 由已知得： （）（1）當直線AB斜率不存在時，即,由又 在橢圓上，所以所以三角形的面積為定值（2）當直線AB斜率存在時：設A

32、B的方程為y=kx+b 所以三角形的面積為定值 考點：直線與圓錐曲線的綜合問題 41已知橢圓的一條準線方程是，其左、右頂點分別是A、B；雙曲線的一條漸近線方程為（1）求橢圓的方程及雙曲線的離心率；（2）在第二象限內取雙曲線上一點P，連結BP交橢圓于點M，連結PA并延長交橢圓于點N，若求證：【答案】（1），；（2）見解析【解析】試題分析：（1）由已知，解即可；（2）由（1），設，利用與的面積相等，可得為的中點于是得到點坐標為，把坐標代入方程即可解得；當P為時，利用點斜式得到，與橢圓方程聯(lián)立即可解得點的坐標，只要與點的橫坐標線段即可試題解析：（1）由已知，解之得：橢圓的方程為，雙曲線的方程 又雙曲

33、線的離心率（2）由（1）設則由得M為BP的中點 P點坐標為 將M、P坐標代入方程得： 消去得： 解之得：或（舍）由此可得：當時，即： 代入，得：或（舍） MNx軸，即考點：圓錐曲線的綜合問題 42在平面直角坐標系中，點到點的距離的倍與它到直線的距離的倍之和記為當點運動時，恒等于點的橫坐標與之和， 求點的軌跡；【答案】見解析【解析】試題分析：設點的坐標為，要求動點的軌跡方程，由于已經(jīng)告訴了動點所滿足的約束條件所以利用直接法求其軌跡即，當時，化簡得；當時，化簡可得：；綜上可得曲線的方程試題解析：（）設點的坐標為，則 由題設，即 當時，由得 ， 化簡得 當時，由得， 化簡得 故點的軌跡是由橢圓：在直

34、線的右側部分與拋物線：在直線的左側部分（包括它與直線的交點）所組成的曲線，參見下圖考點：求曲線方程的問題43在直角坐標系中，點到兩點的距離之和為4，設點的軌跡為,直線與軌跡交于兩點.（1）求出軌跡的方程; （2）若，求弦長的值.【答案】（1）； （2）【解析】試題分析：（）設，由橢圓定義可知，點的軌跡是以為焦點，長半軸為2的橢圓，由此能求出曲線的方程（），其坐標滿足，整理得，由此利用韋達定理、弦長公式能求出弦長的值 試題解析：（）設P（x，y），由橢圓定義可知，點P的軌跡C是以為焦點，長半軸為2的橢圓它的短半軸，故曲線C的方程為（）設，其坐標滿足 消去y整理得，設，則若，即而，于是，化簡得，所

35、以考點：直線與圓錐曲線的綜合問題.44已知雙曲線C的離心率為，實軸長為2；（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知直線與雙曲線C交于不同的兩點A,B，且線段AB的中點在圓上，求實數(shù)m的值.【答案】（1）；（2）.【解析】試題分析：（1）依題意得，由此能求出雙曲線方程（2）設點，的中點，由，得，由此能求出實數(shù)的值 試題解析：（1）依題意得， ，所以雙曲線方程為：（2）設點AB的中點，由得，因為點M在圓上，所以，考點：圓錐曲線的綜合問題45已知雙曲線過點（3，2）且與橢圓有相同的焦點.（1）求雙曲線的標準方程；（2）若點M在雙曲線上，為左、右焦點，且，試求的面積.【答案】（1）； （2）； 【解析】

36、試題分析：（1）設雙曲線方程為，由已知得，由此能求出雙曲線的標準方程（2）由點在雙曲線上，又，得，從而，又，由此能求出的面積 試題解析：（1）橢圓方程可化為，焦點在軸上，且，故設雙曲線方程為，則有解得，所以雙曲線的標準方程為.（2）因為點 點在雙曲線上，又，所以點在雙曲線的右支上，則有，故解得，又， 因此在中，,所以.考點：圓錐曲線的綜合問題 46在平面直線坐標系XOY中，給定兩點A（1，0），B（0，-2），點C滿足，其中，且.（1）求點C的軌跡方程.（2）設點C的軌跡與雙曲線（）相交于M，N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：是定值.（3）在（2）條件下，若雙曲線的離心率不大于，求該雙

37、曲線實軸的取值范圍.【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【解析】試題分析：（1）由向量等式運算，得點的坐標，消去參數(shù)即得點的軌跡方程；（2）將直線方程與雙曲線方程組成方程組，利用方程思想，求出，再結合向量的垂直關系得到關于的關系，化簡即可證明是定值；（3）由（2）得，整理得，又，得，解得雙曲線實軸長的取值范圍.試題解析：（1）設，由則 （2），設M（）N（）則， 即韋達定理代入化簡得 （定值）（3） 又 代入得 該雙曲線實軸的取值范圍為考點：軌跡方程；雙曲線的簡單性質；直線與圓錐曲線的綜合問題.47設橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，在軸負半軸上有一點，滿足，且（1）求橢圓的離心率；（2

38、）若過三點的圓與直線相切，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，過右焦點作斜率為的直線與橢圓交于兩點，線段的中垂線與軸相交于，求實數(shù)的取值范圍【答案】（1） ；（2）；（3）【解析】試題分析：（1）連接，由，得到,即,確定得到橢圓的離心率為； （2）由，得，的外接圓圓心為，半徑，因為過三點的圓與直線相切，解得，即得所求（3）由（2）知，設直線的方程為代入橢圓方程整理得：由已知得 恒成立設，由韋達定理得，得到故中點為討論當時，當時的不同情況求解試題解析：（1）連接，因為，所以,即,故橢圓的離心率為； 3分（2）由（1）知，得，的外接圓圓心為，半徑，因為過三點的圓與直線相切， ，解得：，所以所求橢

39、圓方程為： 7分（3）由（2）知，設直線的方程為：由 得：因為直線過點，所以 恒成立設，由韋達定理得： ，所以故中點為 10分當時，為長軸，中點為原點，則； 11分當時，中垂線方程為令，得因為所以 13分綜上可得實數(shù)的取值范圍是 14分考點：1橢圓的標準方程及其幾何性質；2直線與橢圓的位置關系；3直線與圓的位置關系48設橢圓的左右焦點分別為、，是橢圓上的一點，坐標原點到直線的距離為（1）求橢圓的方程； （2）設是橢圓上的一點，,連接QN的直線交軸于點，若，求直線的斜率【答案】（1）；（2）或【解析】試題分析：（1）橢圓方程中只有一個參數(shù)，故只需列一個方程，由已知得，由此設出點的坐標，從而表示直

40、線方程，利用點到直線距離公式列方程求；（2）解析幾何利用向量尋求共線三點坐標間的關系式很重要的解題方法，本題由已知得，設點，帶入向量式中，將點坐標用表示，帶入橢圓方程可求的值，進而利用斜率公式求解試題解析：（1）由題設知由于，則有， 1分所以點的坐標為 2分故所在直線方程為 3分所以坐標原點到直線的距離為 4分又，所以 解得： 5分所求橢圓的方程為 6分（2）由題意可知直線的斜率存在，設直線斜率為直線的方程為，則有 設，由于、N、三點共線，且 8分根據(jù)題意得, 9分解得或 11分又在橢圓上，故或 12分解得,綜上，直線的斜率為或 13分考點：1、橢圓的標準方程；2、向量垂直；3、向量共線49已

41、知拋物線的焦點為，點為拋物線上的一個動點，過點且與拋物線相切的直線記為（1）求的坐標；（2）當點在何處時，點到直線的距離最?。俊敬鸢浮浚?）；（2）在時，點到直線的距離最小【解析】試題分析：（1）求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程；（2）利用導數(shù)的幾何意義求曲線在點處的切線方程，注意這個點的切點，利用導數(shù)的幾何意義求切線的斜率；（3）在解決與拋物線性質有關的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此試題解析：解：（

42、1）拋物線方程為故焦點的坐標為 2分（2）設 則， 在處切線的斜率為切線的方程為：即，焦點到切線的距離為當且僅當時上式取等號，此時點的坐標為考點：1、拋物線的定義；2、直線與拋物線的綜合問題50如圖，設橢圓的左右焦點為，上頂點為，點關于對稱，且（1）求橢圓的離心率；（2）已知是過三點的圓上的點，若的面積為，求點到直線距離的最大值【答案】（1）；（2）4【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓

43、的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程第三步：求解判別式：計算一元二次方程根第四步：寫出根與系數(shù)的關系第五步：根據(jù)題設條件求解問題中結論；(3)判斷直線與圓的位置關系時，若兩方程已知或圓心到直線的距離易表達，用幾何法；若方程中含參數(shù)，或圓心到直線的距離的表達較繁瑣，則用代數(shù)法試題解析：解：（1） 2分由及勾股定理可知，即 4分因為，所以，解得 6分（2）由（1）可知是邊長為的正三角形，所以解得 8分由可知直角三角形的外接圓以為圓心，半徑即點在圓上， 10分因為圓心到直線的距離為 12分故該圓與直線相切，所以點到直線的最大距離為 13分考點：1、橢圓的離心率；2、直線與圓的應用51設拋物線

44、的焦點為，其準線與軸的交點為，過點的直線交拋物線于兩點（1）若直線的斜率為，求證：；（2）設直線的斜率分別為，求的值【答案】（1）祥見解析；（2）【解析】試題分析：（1）由點斜式寫出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立后化為關于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關系求出A，B兩點的橫坐標的和與積，寫出向量的坐標，展開數(shù)量積后代入根與系數(shù)關系得答案；（2）設直線l的方程為l：xky，和拋物線方程聯(lián)立后化為關于y的一元二次方程，寫出根與系數(shù)關系，由兩點式求出斜率后作和化簡，代入根與系數(shù)關系即可得到答案試題解析：（1） 與拋物線方程聯(lián)立得 設；（2）設直線 與拋物線聯(lián)立得考點：直線與圓錐曲線的關系；拋物線的簡

45、單幾何性質52已知定點，滿足的斜率乘積為定值的動點的軌跡為曲線（1）求曲線的方程;（2）過點的動直線與曲線的交點為，與過點垂直于軸的直線交于點，又已知點,試判斷以為直徑的圓與直線的位置關系，并證明【答案】（1）；（2）相切【解析】試題分析：（1）設橢圓的方程，用待定系數(shù)法求出的值；（2）解決直線和橢圓的綜合問題時注意：第一步：根據(jù)題意設直線方程，有的題設條件已知點，而斜率未知；有的題設條件已知斜率，點不定，可由點斜式設直線方程第二步：聯(lián)立方程：把所設直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去一個元，得到一個一元二次方程第三步：求解判別式：計算一元二次方程根第四步：寫出根與系數(shù)的關系第五步：根據(jù)題設條件求解

46、問題中結論試題解析：解：（1）設，得 4分（2）設代入得 得 6分當時, 8分又得,的中點，圓的半徑圓心到時直線距離， 11分當 綜上，直線與為直徑的圓相切 12分考點：1、求曲線方程；2、直線與曲線的位置關系53已知橢圓C：的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形，直線與以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓相切（1）求橢圓的方程（2）若過橢圓的右焦點作直線交橢圓于兩點，交y軸于點，且求證：為定值【答案】（1）；（2）【解析】試題分析：（1）由題意可得圓的方程為,圓心到直線的距離；根據(jù)橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c, 代入*式得，即可得到所求橢圓方程（2

47、）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,將直線方程代入橢圓方程得：,設，應用韋達定理，由得到即，得到試題解析：（1）由題意：以橢圓C的右焦點為圓心，以為半徑的圓的方程為,圓心到直線的距離 *橢圓的兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形， b=c,代入*式得b=1 故所求橢圓方程為 4分 （2）由題意：直線的斜率存在，所以設直線方程為,則將直線方程代入橢圓方程得： 6分設，則 8分由即：， 10分=-4 12分考點：1橢圓的方程及其幾何性質；2直線與橢圓的位置關系；3直線與圓的位置關系54已知橢圓，離心率為 ，兩焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點，且的周長為.（1）求橢圓的方程；（2

48、）過點作圓的切線交橢圓于兩點，求弦長的最大值.【答案】（1）；（2）2.【解析】試題分析：（1）確定橢圓標準方程需要兩個獨立條件，由離心率為得的關系，由橢圓定義得的周長為，從而可求得，進而可確定橢圓方程；（2）解析幾何中的最值問題，通常是選定變量，將目標函數(shù)用一個變量表示，進而轉化為求函數(shù)的最值問題本題中當斜率不存在時，則切線為，此時直接計算弦長；當切線斜率存在時，可設直線方程利用直線和圓相切的條件，得變量的關系，利用斜長公式結合韋達定理，將用變量表示，進而求函數(shù)的最大值即可試題解析：（1）由題得：，所以，。 3分又，所以即橢圓的方程為. 4分（2）由題意知，.當時，切線l的方程，點A、B的坐標分別為此時 ; 當m=1時，同理可得 5分當時，設切線的方程為由設A、B兩點的坐標分別為，則 又由l與圓 得所