南京名校高三模擬考試數(shù)學(xué)

1、南京名校2011屆高三模擬考試(數(shù)學(xué)) (滿(mǎn)分160分，考試時(shí)間120分鐘)201105一、 填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分1. 已知全集UR，集合Ax|log2x1，則UA_.2. 已知復(fù)數(shù)z，則該復(fù)數(shù)的虛部為_(kāi)3. 已知雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)(2,1)且一條漸近線(xiàn)方程為xy0，則該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)4. 在如圖所示的流程圖中，輸出的結(jié)果是_(第4題)5. 在ABC中，三邊a、b、c所對(duì)的角分別為A、B、C，若A30°，a1，b，則B_.6. 已知向量a與b的夾角為150°，且|a|2，|b|，則(2ab)·a_.7. 已知函數(shù)f(x)若f(x)3，則x的

2、取值范圍是_8. 如圖是函數(shù)yAsin(x)圖象的一部分，則此函數(shù)的表達(dá)式為_(kāi)(第8題)9. 某人2011年初向銀行申請(qǐng)個(gè)人住房公積金貸款a(a0)元購(gòu)買(mǎi)住房，年利率為r(r0)，按復(fù)利計(jì)算，每年等額還貸一次，并從貸款后的次年初開(kāi)始還貸如果10年還清，那么每年應(yīng)還貸款_元(用a、r表示)10. 已知函數(shù)f(x)，若函數(shù)yf(x2)1為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a_.11. 已知等差數(shù)列an的公差不為零且a3、a5、a8依次成等比數(shù)列，則_.12. 已知橢圓C：1(ab0)的右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0，a)，若橢圓上的點(diǎn)M滿(mǎn)足2，則橢圓C的離心率為_(kāi)13. 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，集合M(x，

3、y)|xy1，且x0，y0，N(xy，xy)|(x，y)M，則當(dāng)(x，y)N時(shí)，zx2y的最大值為_(kāi)14. 已知函數(shù)f(x)，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1、x2、x3，均存在以f(x1)、f(x2)、f(x3)為三邊邊長(zhǎng)的三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_二、 解答題：本大題共6小題，共90分解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟15. (本小題滿(mǎn)分14分)某學(xué)科在市?？己髲娜昙?jí)抽出50名學(xué)生的學(xué)科成績(jī)作為樣本進(jìn)行分析，得到樣本頻率分布直方圖如圖所示(1) 估計(jì)該次考試該學(xué)科的平均成績(jī)；(2) 為詳細(xì)了解每題的答題情況，從樣本中成績(jī)?cè)?090之間的試卷中任選2份進(jìn)行分析，求至少有1份試卷成績(jī)?cè)?080之

4、間的概率16.(本小題滿(mǎn)分14分)在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且cosA.(1) 求2sin2sincos的值；(2) 若a，求三角形面積的最大值17. (本小題滿(mǎn)分14分)如圖，在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD為矩形，ABBP，M、N分別為AC、PD的中點(diǎn)求證：(1) MN平面ABP；(2) 平面ABP平面APC的充要條件是BPPC.18. (本小題滿(mǎn)分16分)已知直線(xiàn)l1、l2分別與拋物線(xiàn)x24y相切于點(diǎn)A、B，且A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b(a、bR)(1) 求直線(xiàn)l1、l2的方程；(2) 若l1、l2與x軸分別交于P、Q，且l1、l2交于點(diǎn)R，經(jīng)過(guò)P、Q、R

5、三點(diǎn)作C. 當(dāng)a4，b2時(shí)，求C的方程； 當(dāng)a，b變化時(shí)，C是否過(guò)定點(diǎn)？若是，求出所有定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由19. (本小題滿(mǎn)分16分)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和為Sn，且Sn2n72an.(1) 求證：an2為等比數(shù)列；(2) 是否存在實(shí)數(shù)k，使得ann3kn29n對(duì)于任意的nN*都成立？若存在，求出實(shí)數(shù)k的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由20. (本小題滿(mǎn)分16分)已知函數(shù)f(x)ax22x2lnx，aR.(1) 當(dāng)a0時(shí)，求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；(2) 若f(x)在(1，)上只有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3) 對(duì)于任意x1、x2(0,1，都有|x1x2|f(x1)f(x2)|，求

6、實(shí)數(shù)a的取值范圍.南京市名校2011屆高三模擬考試數(shù)學(xué)附加題(滿(mǎn)分40分，考試時(shí)間30分鐘)21. 選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟A. 選修41：幾何證明選講如圖，D為ABC的BC邊上的一點(diǎn)，O1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、D，交AB于另一點(diǎn)E，O2經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，交AC于另一點(diǎn)F，O1、O2交于點(diǎn)G.求證：(1) BACEGF180°；(2) EAGEFG.B. 選修42：矩陣與變換已知M，試計(jì)算M9.C. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線(xiàn)(為參數(shù))和曲線(xiàn)(t為參數(shù))相交于兩點(diǎn)A、B，求A、B的坐標(biāo)D. 選修45：不等式選講已知x、y均

7、為正數(shù)，且x>y，求證：2x2y3.必做題第22、23題，每小題10分，共20分解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟22. 如圖，已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA14，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為直線(xiàn)CC1上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè).(1) 當(dāng)1時(shí)，求二面角FDEC的余弦值；(2) 當(dāng)為何值時(shí)，有BD1EF?23. 某養(yǎng)雞場(chǎng)對(duì)疑似有傳染病的100只雞進(jìn)行抽血化驗(yàn)，根據(jù)流行病學(xué)理論這些雞的感染率為10%，為了減少抽檢次數(shù)，首先把這些雞平均分成若干組，每組n只，并把同組的n只雞抽到的血混合在一起化驗(yàn)一次，若發(fā)現(xiàn)有問(wèn)題，再分別對(duì)該組n只雞逐只化驗(yàn)(1) 當(dāng)n4時(shí)，記某一組中病雞的數(shù)量為X，求X

8、的概率分布和數(shù)學(xué)期望；(2) 當(dāng)n為多少時(shí)，化驗(yàn)次數(shù)最少？并說(shuō)明理由南京市名校2011屆高三模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)1. (，22. 13. 14. 105. 45°或135°6. 57. 1,9(，38. y2sin9. 10. 211. 212. 13. 314. k415. 解：(1) 用每組中的平均值作為每組中的樣本數(shù)據(jù)，直接算得平均成績(jī)?yōu)?03.4.(5分)(2) 樣本中成績(jī)?cè)?080之間有2人，設(shè)其編號(hào)為，樣本中成績(jī)?cè)?090之間有4人，設(shè)其編號(hào)為，從上述6人中任取2人的所有選取可能為：，；，；，；，；.(9分)故從樣本中成績(jī)?cè)?090之間任選2人所有可能

9、結(jié)果數(shù)為15，(12分)至少有1人成績(jī)?cè)?080之間可能結(jié)果數(shù)為9，因此，所求概率為P20.6.(14分)16. 解：(1) 2sin2sincos1cossinsinA(2分)1cossinsinA1coscosAsinsinAsinsinA1coscosAsinsinAsinsinA.(6分)(2) cosA， bcb2c2a22bca2.(8分)又a， bc，當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)，bc，故bc的最大值是.(10分) cosA， sinA，SbcsinA.(12分)故三角形面積的最大值是.(14分)17. 證明：(1) 連結(jié)BD，由已知，M為AC和BD的中點(diǎn)又N為PD的中點(diǎn)， MNBP. MN面

10、ABP， MN面ABP.(6分)(2) ABBP，ABBC， AB面BPC， ABPC.(8分)充分性： BPPC， PC面ABP，平面ABP平面APC.(10分)必要性：過(guò)點(diǎn)B作BEAP于E， 平面ABP平面APC， BE面APC， BEPC. PCAB， PC面ABP， BPPC.(14分)18. 解：(1) A，B，記f(x)，f(x)，則l1的方程為y(xa)，即yx；同理得l2的方程為yx.(6分)(2) 由題意ab且a、b不為零，聯(lián)立方程組可求得P，Q，R.(8分)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F(0,1)， KPF， KPF·KPA1，故l1PF，同理l2RF.(10分) 經(jīng)過(guò)P、Q、R

11、三點(diǎn)的C就是以FR為直徑的圓， C：x(y1)(yab)0，當(dāng)a4，b2時(shí)，C：x2y2x7y80，(14分)顯然當(dāng)ab且a、b不為零時(shí)，C總過(guò)定點(diǎn)F(0,1)(16分)19. (1) 證明：n1時(shí)，a1S1272a1，解得a13.(2分)n2時(shí)，anSnSn122an2an1，即3an2an12，可得an2(an12)，所以an2是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(6分)(2) 解：由(1)可得：an2n1，所以an2n1.由2n1n3kn29n得k，(8分)只需求出p(n)的最大值即可設(shè)f(n)，g(n)，h(n)，(10分)易得f(n)單調(diào)遞減，÷21，所以g(n)g(n1)，(12

12、分)故g(n)單調(diào)遞減，h(n)h(n1)，當(dāng)n3時(shí)，h(n)h(n1)，故n3時(shí)，h(n)單調(diào)遞減，所以n3時(shí)，p(n)隨著n的增大而減小，(14分)而p(1)7，p(2)，p(3)，所以p(n)的最大值為p(3)，故k.(16分)20. 解：(1) 當(dāng)a0時(shí)，f(x)2x2lnx，令f(x)20，解出：0x，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為或.(3分)(2) 令f(x)axx0，f(x)在(1，)上只有一個(gè)極值點(diǎn)f(x)0在(1，)上只有一個(gè)根且不是重根(5分)令g(x)ax22x1，x(1，)， 當(dāng)a0時(shí)，g(x)2x1，不在(1，)上有一個(gè)根，舍去； 當(dāng)a0時(shí)，g(x)ax22x1，在(1，

13、)上只有一個(gè)根且不是重根g(1)00a1； 當(dāng)a0時(shí)，g(x)ax22x1，在(1，)上只有一個(gè)根且不是重根g(1)0a1；矛盾綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是0a1.(8分)注：可以合并為：ag(1)00a1.(3) 當(dāng)x1x2，顯然滿(mǎn)足，以下討論x1x2的情況 當(dāng)a1時(shí)，f(x)， x(0,1，(0,1， a2110，得到f(x)0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增(10分)對(duì)于任意x1、x2(0,1，不妨設(shè)x1x2，則有f(x1)f(x2)，且x2x1代入不等式|x1x2|f(x1)f(x2)|f(x2)f(x1)x2x1f(x2)x2f(x1)x1，引入新函數(shù)：h(x)f(x)xax23x2

14、lnx，h(x)ax3，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為h(x)0，x(0,1上恒成立ax23x10aamax.令l(x)，通過(guò)求導(dǎo)或不等式判斷都可以：l(x)，當(dāng)0x，l(x)0；x1，l(x)0，所以當(dāng)x，l(x)maxl，所以a；(13分) 當(dāng)a1且a0時(shí)，f(x)，令k(x)ax22x10，方程判別式44a0，且k(1)a10；所以f(x)在(0,1)上只有一個(gè)極大值不妨設(shè)極大值點(diǎn)為x1，記A(x1，f(x1)，在A點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率為0；過(guò)A點(diǎn)作一條割線(xiàn)AB，肯定存在點(diǎn)B(x2，f(x2)使得|kAB|1.因?yàn)閨kAB|慢慢變成0.這樣存在x1、x2，使得1與|x1x2|f(x1)f(x2)|矛盾當(dāng)a0

15、時(shí)，f(x)在(0,1)上只有一個(gè)極大值，同樣得出矛盾綜上所述，求實(shí)數(shù)a的取值范圍為a.(16分)南京市高三數(shù)學(xué)附加題參考答案第頁(yè)(共2頁(yè))南京市名校2011屆高三模擬考試數(shù)學(xué)附加題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)21. A. 證明：(1)連結(jié)GD，由B、D、E、G四點(diǎn)共圓，可得EGAB，同理FGAC，故BACEGFBACBC180°.(5分)(2) 由題知E、G、F、A四點(diǎn)共圓，故EAGEFG.(10分)B. 解：由(3)(2)4220，得12，21.(4分)當(dāng)12時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為1；當(dāng)11時(shí)，對(duì)應(yīng)的特征向量為2，122，(8分)所以M929(1)92.(10分)C. (2,0)和(10分)

16、D. 證明： 因?yàn)閤0，y0，xy0，所以2x2y2(xy)(4分)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(10分)22. (1) 解：建立空間直角坐標(biāo)系，則E(1,0,0)，F(xiàn)(0,0,1)，(1,0,1)設(shè)平面ABCD的法向量為n，則n(0,0,1)D(0，2,0)，F(xiàn)(0,0,2)， (1,0,2)，(0,2,2)設(shè)平面FDE的法向量為m，則m·0，m·0，m(2，1,1)(4分) cosm，n. 二面角FDEC的余弦值為.(6分)(2) 顯然D1(0，2,4)，B(2,0,0)，設(shè)F(0,0，t)，則(1,0，t)，BD1(2，2,4)要使EFBD1，只要·0,24t0，t. 9.(10分)23. 解：(1) 由題意X服從B(4,0.9)，概率分布略，E(X)4×0.90.36.(4分)(2) 由題意n1,2,4,5,10,20,25,50,100.當(dāng)n1或100時(shí)，就是逐只檢驗(yàn)，檢驗(yàn)次數(shù)為100.(5分)當(dāng)n2,4,5,10,20,25,50，將100只雞平均分成組，