向量代數(shù)與空間解析幾何04922

1、第六章.向量代數(shù)與空間解析幾何本章內(nèi)容在本課程當(dāng)中是單獨(dú)的一個(gè)部分，應(yīng)該說(shuō)是屬于幾何的內(nèi)容，之所以需要在微積分的課程里進(jìn)行單獨(dú)的討論，是因?yàn)槲覀冊(cè)诤竺鎸W(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分時(shí)，必須和這些幾何知識(shí)發(fā)生關(guān)系，所謂多元的函數(shù)，從幾何意義方面來(lái)理解，就是定義域在平面乃至更高維度的空間區(qū)域上，這樣如果要想得到對(duì)于多元函數(shù)的直觀幾何理解，就必須對(duì)于平面乃至更高維度的空間中的幾何現(xiàn)象具有一定的知識(shí)。 向量。向量可以說(shuō)是幾何的最為基本的概念。因?yàn)閹缀螌?duì)象的兩個(gè)基本要素：方向和長(zhǎng)度，用一個(gè)向量就可以完全表達(dá)，從向量的概念出發(fā)，可以構(gòu)造出整個(gè)的幾何世界。由于本課程的限制，我們不從一般的觀念出發(fā)來(lái)展開向量的

2、理論，而是基于直觀的，運(yùn)用向量來(lái)表示的幾何當(dāng)中的有向直線段，來(lái)說(shuō)明我們需要涉及的有限的向量知識(shí)。我們完全可以把一個(gè)向量理解為一根有向直線段，而不會(huì)出現(xiàn)任何理論上的錯(cuò)誤?；谙蛄康倪@種直觀圖象，可以定義向量的基本屬性。首先，我們定義兩個(gè)向量相等的意思，就是兩個(gè)向量的大小與方向都相同，對(duì)于這里的具體的一種向量有向直線段，就是必須長(zhǎng)度相等，而方向相同，所謂方向相同，按照幾何的意義，就是兩根直線段相互平行，而且指向相同。注意，這里初學(xué)者常常產(chǎn)生誤解的地方，就是認(rèn)為要求兩個(gè)有向直線段方向一樣，就一定是要求它們?cè)谕粋€(gè)直線上，或者是相互重合，這是因?yàn)檫€不習(xí)慣在一般的空間當(dāng)中考慮問(wèn)題，特別是要養(yǎng)成在三維空間

3、當(dāng)中考慮幾何對(duì)象的習(xí)慣，記住方向相同，是與這兩個(gè)向量的空間位置無(wú)關(guān)的，只要它們所在的直線相互平行，而指向一致即可。在兩個(gè)向量之間定義加法與減法，就是我們?cè)诹W(xué)當(dāng)中以及很熟悉的力的合成的平行四邊形法則，當(dāng)然這是一種直接的基于幾何圖象的定義方式，下面我們通過(guò)在空間引入坐標(biāo)，來(lái)得到更一般的定義。 空間直角坐標(biāo)系以及向量代數(shù)。在空間當(dāng)中引入坐標(biāo)的目的，和物理學(xué)當(dāng)中引入單位制一樣，是提供一個(gè)度量幾何對(duì)象的方法，首先一個(gè)坐標(biāo)系必須能夠提供方向的定義，使得任意的方向都能夠由于坐標(biāo)系而得到確定與唯一的描述；然后必須能夠提供長(zhǎng)度的單位，基于這個(gè)單位能夠度量空間長(zhǎng)度。能夠滿足上面這兩個(gè)基本要求的坐標(biāo)系可

4、以有很多的形式，我們經(jīng)常使用的坐標(biāo)系就是直角坐標(biāo)系。我們已經(jīng)強(qiáng)調(diào)了一個(gè)向量的大小與方向是與它所處的空間位置沒(méi)有關(guān)系的，換一個(gè)說(shuō)法，就是一個(gè)向量在空間進(jìn)行平移時(shí)，不影響它的大小與方向。那么在空間中，對(duì)任意一個(gè)向量的度量，都可以通過(guò)把這個(gè)向量平移到以坐標(biāo)系的原點(diǎn)為起點(diǎn)的位置，再用它的終點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表征這個(gè)向量的大小與方向。顯然，任意的一個(gè)向量，只要是通過(guò)平移而處于這種方式，就只會(huì)唯一的，而空間中的任意一點(diǎn)在一個(gè)這樣的直角坐標(biāo)系里的標(biāo)度也是唯一的。因此這樣決定的一個(gè)向量的坐標(biāo)也就是唯一的。本課程我們主要只考慮三維的情況，因此一個(gè)向量可以用一個(gè)唯一的坐標(biāo)來(lái)表示，在直角坐標(biāo)系里，也就是由三個(gè)實(shí)數(shù)組成的三元

5、組：（a，b，c）。基于上面對(duì)于唯一性的分析，可以得到坐標(biāo)表示的向量的相等的含義，就是坐標(biāo)三元組的分別相等。進(jìn)一步，為了更為方便地度量一般的向量，我們引入單位向量的概念，就是在坐標(biāo)軸方向上具有單位長(zhǎng)度的向量，在直角坐標(biāo)系當(dāng)中，習(xí)慣的寫法，就是，分別表示在X，Y，Z軸上的單位向量。按照坐標(biāo)三元組的寫法，就是=（1，0，0）；=（0，1，0）；=（0，0，1）。然后在直角坐標(biāo)系當(dāng)中，就可以應(yīng)用代數(shù)形式來(lái)表示向量的運(yùn)算了。首先代數(shù)加法，就是三個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行代數(shù)加法，得到的值，就分別是和向量是三個(gè)坐標(biāo)。運(yùn)用這個(gè)定義，就可以很方便地把一般向量寫成三個(gè)單位向量的線性組合的形式：，運(yùn)用這種形式，就可以很方便

6、地給出向量的運(yùn)算法則，最基本的運(yùn)算法則，就是線性運(yùn)算法則：設(shè)，那么對(duì)于任意實(shí)數(shù)m，n，我們有+ =。既然向量含有方向這個(gè)要素，那么如何通過(guò)它的坐標(biāo)來(lái)得到直接表達(dá)方向的角度度量呢？這里的關(guān)鍵是引入內(nèi)積的概念。一般地我們定義兩個(gè)向量的內(nèi)積為它們的三個(gè)坐標(biāo)分別相乘，再相加而得到的一個(gè)實(shí)數(shù)。寫成公式，就是。注意，這里使用的是點(diǎn)乘號(hào)，而不能使用叉乘號(hào)×，因?yàn)樵谙蛄窟\(yùn)算當(dāng)中，×具有別的定義。根據(jù)這個(gè)定義，不難驗(yàn)證內(nèi)積滿足交換律，結(jié)合律以及分配律。按照這個(gè)定義以及單位向量的坐標(biāo)表示，可以得到單位向量之間的內(nèi)積如下：；。運(yùn)用內(nèi)積還可以表達(dá)向量的絕對(duì)長(zhǎng)度，稱為向量的模：內(nèi)積的幾何意義，就是這

7、兩個(gè)向量的模的乘積乘以這兩個(gè)向量的夾角：。注意這個(gè)等式的左右邊的點(diǎn)乘號(hào)的含義是不同的，左邊的表示內(nèi)積，而右邊的表示一般的實(shí)數(shù)之間的乘法。從內(nèi)積的幾何意義可以看到，我們可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用內(nèi)積來(lái)表達(dá)向量的方向，也就是向量的方向余弦與方向角。所謂向量的方向余弦就是它的所謂規(guī)范化向量的三個(gè)坐標(biāo)：=，而這三個(gè)坐標(biāo)所代表的正是規(guī)范化向量分別與三個(gè)單位向量之間的夾角的余弦，或者說(shuō)，正是向量與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角的余弦，因此通過(guò)這三個(gè)方向余弦，就得到了相應(yīng)的方向角，也就是向量與三個(gè)坐標(biāo)軸之間的夾角。不難驗(yàn)證任何向量的三個(gè)方向余弦值滿足一個(gè)關(guān)系，就是它們的的平方和為1，反過(guò)來(lái)，也就是說(shuō)只有平方和為1的三個(gè)實(shí)數(shù)，才能

8、構(gòu)成某個(gè)向量的方向余弦。進(jìn)一步，我們可以通過(guò)下面的定理證明，體會(huì)到內(nèi)積在描述幾何對(duì)象的有關(guān)方向的性質(zhì)時(shí)，具有重要的作用。兩個(gè)非零向量相互平行的充要條件是；兩個(gè)非零向量相互垂直的充要條件是 兩個(gè)向量之間還可以定義一種乘法，記成×，即所謂外積，也稱為叉積。外積同樣具有鮮明的幾何意義，即兩個(gè)互不平行的向量的外積的大小等于分別以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形的面積，寫成公式，就是，其中為兩個(gè)向量之間的夾角。而同時(shí)這個(gè)外積還具有方向，就是說(shuō)，兩個(gè)向量的外積同樣是一個(gè)向量，外積同時(shí)與兩個(gè)向量相互垂直，并且按，的順序構(gòu)成右手系。如果這兩個(gè)向量相互平行，或者至少有一個(gè)向量為零向量，則定義它們

9、的外積為零向量。根據(jù)對(duì)于，可以容易地驗(yàn)證外積不滿足交換律和結(jié)合律，但滿足所謂反交換律，即交換位置后，符號(hào)相反。在不進(jìn)行交換的情況下，也滿足分配律。對(duì)于單位向量之間的外積，非常有用，希望同學(xué)們不僅是記住，還應(yīng)該從幾何的角度加以掌握：；。如果應(yīng)用坐標(biāo)分量來(lái)表示外積，則直接利用上面的外積運(yùn)算律與單位向量外積運(yùn)算結(jié)果，就可以得到如下：。如果交換兩個(gè)向量的相乘順序，就自然地得到： 。 直線與平面的方程以及圖形。下面我們把向量作為幾何對(duì)象的基本元素，用來(lái)構(gòu)造基本的幾何對(duì)象，即平面與直線。對(duì)于平面，有如下幾種構(gòu)造方程的方式：（1）我們可以利用一個(gè)幾何意義的描述，即與一個(gè)給定直線垂直的平面上的所有直

10、線都與這根直線垂直，而得到平面的所謂點(diǎn)法式方程： 已知平面通過(guò)點(diǎn)（a，b，c），與平面垂直的一條直線的方向數(shù)為A，B，C，則這個(gè)平面的方程為，顯然其中A，B，C不能同時(shí)為0。 （2）如果已知平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距為a，b，c，則可以得到平面的截距式方程為，顯然其中的a，b，c不能有一個(gè)為0。 （3）如果已知平面通過(guò)三點(diǎn)（a，b，c），（d，e，f），（g，h，i），那么可以得到平面的三點(diǎn)式方程為，顯然這里的三點(diǎn)必須是不同的三點(diǎn)。（4）已知平面的法線的方向角與原點(diǎn)到平面的距離p，可以得到法線式方程：（5）由點(diǎn)法式方程，我們可以得到平面的一般式方程： ，這里A，B，C仍然可以看成是平面的某個(gè)法線

11、的方向數(shù)。之所以稱為一般式，是因?yàn)檫@個(gè)方程是三元一次方程的一般形式，可以證明任何平面都可以用三元一次方程來(lái)表示，而任何三元一次方程都可以表示為一個(gè)平面。這個(gè)方程的四個(gè)系數(shù)可以表達(dá)平面的一些位置特征：D=0時(shí)，平面通過(guò)原點(diǎn)；A=0（B=0，C=0）時(shí)，平面與X（Y，Z）軸平行；A=B=0（B=C=0，C=A=0）時(shí)，平面與OXY（OYZ，OXZ）平面平行。使用一般式方程，給出如下的幾何構(gòu)造：對(duì)于兩個(gè)平面之間的相對(duì)位置，也就是相對(duì)方向，可以完全由它們各自的某個(gè)法線向量之間的相對(duì)方向來(lái)決定，因此我們可以得到如下有關(guān)兩個(gè)平面相對(duì)位置的解析條件。（1） （1）   

12、0; 兩個(gè)平面平行的充要條件是。如果則兩個(gè)平面重合。（2）兩個(gè)平面垂直的充要條件為。（3）一般地，如果兩個(gè)平面的夾角為，則夾角的余弦為。（4）一點(diǎn)（a，b，c）到平面的距離為 對(duì)于直線，可以給出如下幾種構(gòu)造方程的方式。（1）把直線理解為兩個(gè)平面的相交部分，得到一般式方程。（2）如果已知直線通過(guò)點(diǎn)（a，b，c），它的方向數(shù)為p，q，r，則得到參數(shù)式方程。（3）如果已知直線通過(guò)兩點(diǎn)（a，b，c），（d，e，f），則得到兩點(diǎn)式方程。（4）已知直線與一個(gè)向量平行，并且直線通過(guò)一個(gè)矢徑的端點(diǎn)，則得到向量式方程 。運(yùn)用上面的方程，可以解析地給出如下的幾何構(gòu)造。（1）兩條直線之間的距離，可以利用直

13、線的向量式方程得到。（2） （2）     對(duì)于一條參數(shù)式方程的直線和一個(gè)一般式方程的平面，可以得到它們之間的夾角的正弦為。 旋轉(zhuǎn)曲面的方程。平面上任意曲線繞平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)，就產(chǎn)生所謂的旋轉(zhuǎn)曲面。設(shè)YZ坐標(biāo)面上的一條曲線y=f（z）繞Z軸旋轉(zhuǎn)而產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)曲面，這樣曲線上面的每一個(gè)點(diǎn)的軌跡都是一個(gè)圓，因此可以直接用來(lái)代替曲線方程中的y，就得到了曲面的方程，即=。這樣我們就一般得解決了旋轉(zhuǎn)曲面的問(wèn)題，如下就是幾種典型的旋轉(zhuǎn)曲面：（1）拋物線繞Z軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面，稱為旋轉(zhuǎn)拋物面，方程為；（2）橢圓繞Z軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面，稱為旋轉(zhuǎn)橢球面，方程為；

14、（3）雙曲線繞Z軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面，稱為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面，方程為；（4）雙曲線繞Y軸所產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)曲面，稱為旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面，方程為；注意對(duì)于上面的這種規(guī)范形式的方程，還是比較容易辨認(rèn)的，如果出現(xiàn)經(jīng)過(guò)變形的方程，要想分別它的類型，就比較麻煩一些，這就要求我們多加練習(xí)，不怕麻煩，才能真正掌握它們。 柱面的方程。柱面就是一條直線沿著給定的曲線運(yùn)動(dòng)，而直線在運(yùn)動(dòng)過(guò)程當(dāng)中保持固定不變的方向，這樣直線所產(chǎn)生的曲面，稱為柱面，而這條直線稱為柱面的母線，曲線稱為柱面的準(zhǔn)線。柱面方程的一個(gè)關(guān)鍵特征就是如果母線與Z軸平行，則方程當(dāng)中不出現(xiàn)變量z，如果母線與其他軸平行，同樣在方程當(dāng)中就不會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的變量。反過(guò)

15、來(lái)說(shuō)，也是成立的，一個(gè)退化的特例，就是屬于1次方程的平面方程，就具備這個(gè)特征。 錐面的方程。聯(lián)結(jié)一點(diǎn)和一條不通過(guò)這點(diǎn)的曲線上面任意一點(diǎn)的所有連線，構(gòu)成一個(gè)曲面，稱為錐面。那點(diǎn)稱為錐面的頂點(diǎn)，曲線稱為錐面的準(zhǔn)線。一般得，可以利用參數(shù)方程建立錐面的方程。設(shè)原點(diǎn)為頂點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，那么錐面方程為。 二次曲面方程。上面對(duì)于曲面的對(duì)于總是從構(gòu)造曲面的幾何特征入手，而如果從方程的代數(shù)特征來(lái)對(duì)于曲面進(jìn)行分類的話，可以看到曲面之間更為深刻的關(guān)系。我們把三元二次方程所描述的幾何對(duì)象稱為二次曲面。正是由于我們是從代數(shù)的角度出發(fā)討論幾何曲面，因此就不可避免出現(xiàn)對(duì)于代數(shù)方程有意義，而從幾何的角度來(lái)看

16、，意義不大的情況，比方說(shuō)二次方程出現(xiàn)虛根，這樣得到的曲面，我們定義為虛曲面，而對(duì)于方程的退化情況，則對(duì)應(yīng)于幾何的退化情況。對(duì)此，我們應(yīng)該仔細(xì)分析，以免在討論問(wèn)題時(shí)，出現(xiàn)遺漏的情況。（一）橢球面。標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中a，b，c都大于0，稱為橢球的半軸，由于方程只是含有各個(gè)變量的平方項(xiàng)，因此曲面關(guān)于各個(gè)坐標(biāo)軸都是對(duì)稱的。 顯然球面是橢球面的一種退化情形，這時(shí)三個(gè)半軸相等。而如果只有其中兩個(gè)半軸相等，則退化成為旋轉(zhuǎn)橢球面。如果使用一個(gè)平行于坐標(biāo)面的平面作截面法，就是使得一個(gè)變量取常數(shù)，直接代入，就可以很容易得看到，得到的是一個(gè)橢圓方程。（二）單葉雙曲面。標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中a，b，c都大于0，由于方程只是含

17、有各個(gè)變量的平方項(xiàng)，因此曲面關(guān)于各個(gè)坐標(biāo)軸都是對(duì)稱的。如果取a=b，則退化為旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面。從方程形式就可以看出，它的截面與橢球面有相同的地方，也有不同的地方。用垂直于Z軸的平面作截面，得到的是橢圓，用垂直于X，Y軸的平面作為截面，得到的是雙曲線。而單葉雙曲面還具有一個(gè)和橢球面本質(zhì)上不同的特征，就是它屬于所謂的直紋面，即可以完全通過(guò)直線的運(yùn)動(dòng)構(gòu)造出來(lái)的曲面。前面所討論的柱面和錐面都是屬于直紋面。通過(guò)方程的代數(shù)變形，可以得到兩個(gè)與標(biāo)準(zhǔn)單葉雙曲面方程等價(jià)的直線系方程組，分別由兩個(gè)直線方程組成，同時(shí)含有一個(gè)可以取任意實(shí)數(shù)的參數(shù)k和l，如下：；和。（三）雙葉雙曲面。標(biāo)準(zhǔn)方程為，其中a，b，c都大于0，

18、由于方程只是含有各個(gè)變量的平方項(xiàng)，因此曲面關(guān)于各個(gè)坐標(biāo)軸都是對(duì)稱的。用垂直于X軸的平面作截面，得到的是橢圓，用垂直于Z，Y軸的平面作為截面，得到的是雙曲線。（四）橢圓拋物面。標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于方程只是含有各個(gè)變量的平方項(xiàng)，因此曲面關(guān)于相應(yīng)的各個(gè)坐標(biāo)軸都是對(duì)稱的。而p和q同號(hào)，則曲面只存在于半空間內(nèi)。 如果取p=q，則曲面退化為旋轉(zhuǎn)拋物面。用垂直于Z軸的平面作截面，得到的是橢圓，用垂直于X，Y軸的平面作為截面，得到的是拋物線。（五）雙曲拋物面。標(biāo)準(zhǔn)方程為，由于方程只是含有各個(gè)變量的平方項(xiàng)，因此曲面關(guān)于各個(gè)坐標(biāo)軸都是對(duì)稱的。用垂直于Z軸的平面作截面，得到的是雙曲線，用垂直于X，Y軸的平面作為截面，得到的是拋物線。雙曲拋物面同樣屬于直紋面，通過(guò)代數(shù)變形同樣可以得到等價(jià)的直線系方程組如下：；和，其中k和l為兩個(gè)取任意實(shí)數(shù)的參數(shù)。以上是最為典型的二次曲面，其他的屬于二次方程的曲面，在前面實(shí)際上葉已經(jīng)個(gè)別討論過(guò)，同學(xué)們不