202X學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章變化率與導(dǎo)數(shù)2.5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則課件北師大版選修2_2

1、5簡單復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么1.理解復(fù)合函數(shù)的概念理解復(fù)合函數(shù)的概念,記住復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么記住復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么.2.會運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求一些復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)會運(yùn)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么求一些復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù).3.能把一個函數(shù)看成兩個或幾個簡單函數(shù)的和差積商或復(fù)合函能把一個函數(shù)看成兩個或幾個簡單函數(shù)的和差積商或復(fù)合函數(shù)數(shù),運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法那么或復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法那么求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).1.復(fù)合函數(shù)的概念復(fù)合函數(shù)的概念一般地一般地,對于兩個函數(shù)對于兩個函數(shù)y=f(u)和和u=(x)=ax+b,給定給定x的一個值的一個值,就就得到了得到了u的值的值,進(jìn)而

2、確定了進(jìn)而確定了y的值的值,這樣這樣y可以表示成可以表示成x的函數(shù)的函數(shù),我們稱我們稱這個函數(shù)為函數(shù)這個函數(shù)為函數(shù)y=f(u)和和u=(x)的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù),記作記作y=f(x).其中其中u為中間變量為中間變量.2.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為yx=f(x)=f(u)(x)(u=(x).3.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的根本步驟求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一般按以下三個步驟進(jìn)展一般按以下三個步驟進(jìn)展:(1)分解分解:分解復(fù)合函數(shù)為初等函數(shù)分解復(fù)合函數(shù)為初等函數(shù),注意適中選擇中間變量注意適中選擇中間變量;(2)層層求導(dǎo)層層求

3、導(dǎo):求每一層初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求每一層初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(弄清每一步求導(dǎo)是哪個弄清每一步求導(dǎo)是哪個變量對哪個變量求導(dǎo)變量對哪個變量求導(dǎo));(3)作積復(fù)原作積復(fù)原:將各層初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘將各層初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相乘,并將中間變量復(fù)原為并將中間變量復(fù)原為原來的函數(shù)原來的函數(shù).以上步驟可稱之為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三步曲以上步驟可稱之為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)三步曲.【做一做2】 求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y=(3x-2)2;(2)y=(2x+1)5.解(1)(方法一)y=(3x-2)2=(9x2-12x+4)=18x-12.(方法二)將函數(shù)y=(3x-2)2看作是函數(shù)y=u2和函數(shù)u=3x-2復(fù)合所成的函數(shù),并分別求對應(yīng)變量的導(dǎo)數(shù)

4、如下:yu=(u2)=2u,ux=(3x-2)=3.兩個導(dǎo)數(shù)相乘,得yx=yuux=2u3=2(3x-2)3=18x-12.(2)設(shè)y=u5,u=2x+1,那么yx=yuux=(u5)(2x+1)=5u42=5(2x+1)42=10(2x+1)4.題型一題型二題型三題型四反思解決復(fù)合關(guān)系問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次反思解決復(fù)合關(guān)系問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,一般一般是從最外層開場是從最外層開場,由外及里由外及里,一層一層地分析一層一層地分析,把復(fù)合函數(shù)分解成假把復(fù)合函數(shù)分解成假設(shè)干個常見的初等函數(shù)設(shè)干個常見的初等函數(shù),逐步確定復(fù)合過程逐步確定復(fù)合過程.題型一題型二題型三題型四題型

5、一題型二題型三題型四分析:選擇中間變量是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵,要善于把一局部式子暫時當(dāng)作一個整體,這個暫時的整體就是中間變量,求導(dǎo)時需要記住中間變量,注意逐層求導(dǎo),不遺漏.而其中特別要注意中間變量的系數(shù),求導(dǎo)數(shù)后,要把中間變量轉(zhuǎn)換成自變量的函數(shù).題型一題型二題型三題型四反思求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反思求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),關(guān)鍵要分清此函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)關(guān)鍵要分清此函數(shù)是由哪幾個初等函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合而成的,然后根據(jù)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的法那么進(jìn)展求導(dǎo)即可然后根據(jù)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的法那么進(jìn)展求導(dǎo)即可.題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三題型四題型一題型二題型三

6、題型四易錯點:無視復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)而致錯【例4】 函數(shù)f(x)=(x2+bx+c)e-x,其中b,cR且為常數(shù),假設(shè)b24(c-1),求證:方程f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根.錯解:f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x)=(2x+b)e-x+(x2+bx+c)e-x=e-xx2+(b+2)x+b+c.由f(x)=e-xx2+(b+2)x+b+c=0,得x2+(b+2)x+b+c=0.=(b+2)2-4(b+c)=b2-4c+4.因為b24(c-1),所以0.故方程f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根.題型一題型二題型三題型四錯因分析:錯解“歪打正著,雖然未注意到復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),但結(jié)論居然也被“證出來了,這也說明了這種錯誤的隱蔽性很好.此題要注意對e-x的求導(dǎo).正解:f(x)=(x2+bx+c)e-x+(x2+bx+c)(e-x)=(2x+b)e-x-(x2+bx+c)e-x=e-x-x2+(-b+2)x+b-c.由f(x)=e-x-x2+(-b+2)x+b-c=0,得x2+(b-2)x-b+c=0.=(b-2)2-4(-b+c)=b2-4c+4.因為b24(c-1),所以0.故方程f(x)=0有兩個不相等的實數(shù)根.1 2 3 4 51 2 3 4 52.函數(shù)函數(shù)f(x)=e