半偏法誤差分析

1、半偏法測(cè)電流表和電壓表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差分析湖北省監(jiān)利縣朱河中學(xué)黃尚鵬摘要：本文從理論上運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法對(duì)半偏法測(cè)電流表和電壓表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差進(jìn)行了分析，從而給出半偏法測(cè)電流表和電壓表內(nèi)阻的實(shí)驗(yàn)條件，以供大家參考。 關(guān)鍵詞：半偏法 系統(tǒng)誤差 相對(duì)誤差 閉合電路歐姆定律 并聯(lián)分流 串聯(lián)分壓  一、半偏法測(cè)電流表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差分析 半偏法測(cè)電流表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)電路原理圖如圖1所示，實(shí)驗(yàn)操作步驟如下： 圖1 第一步：開(kāi)關(guān)、閉合前，將滑動(dòng)變阻器的阻值調(diào)到最大。 第二步：閉合開(kāi)

2、關(guān)，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器，使電流表滿偏。 第三步：保持開(kāi)關(guān)閉合，滑動(dòng)變阻器不動(dòng)，閉合開(kāi)關(guān)，調(diào)節(jié)電阻箱的阻值，使電流表半偏。 第四步：記下此時(shí)電阻箱的阻值，則電流表的內(nèi)阻。 本實(shí)驗(yàn)要求滑動(dòng)變阻器的阻值遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻，即，這樣就可近似認(rèn)為開(kāi)關(guān)閉合前后干路中的總電流是不變的。但事實(shí)上，當(dāng)開(kāi)關(guān)閉合后，干路中的總電流是變大的，當(dāng)電流表半偏時(shí)，通過(guò)電阻箱的電流比通過(guò)電流表的電流要大，根據(jù)并聯(lián)分流規(guī)律可知，半偏法測(cè)出的電流表的內(nèi)阻要比電流表的實(shí)際內(nèi)阻小。下面筆者從理論上運(yùn)用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法對(duì)該實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析。 假定電源的電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)阻為，電流表的滿偏電流為。

3、60;閉合開(kāi)關(guān)，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器，使電流表滿偏時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律得                                     （1） 閉合開(kāi)關(guān)，調(diào)節(jié)電阻箱的阻值，使電流表半偏時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律及并聯(lián)分流公式

4、得                   （2） 聯(lián)立（1）和（2），消除和得                （3） 由（1）解得，將其代入（3）得    （4） 由（3）可知，且當(dāng)，即時(shí)，近似成立。 

5、由（4）可知與的相對(duì)誤差                （5） 由（5）可知，電源的電動(dòng)勢(shì)越大，相對(duì)誤差越小。 結(jié)論：用半偏法測(cè)電流表的內(nèi)阻時(shí)，測(cè)量值比真實(shí)值小，為減小實(shí)驗(yàn)誤差，應(yīng)使滑動(dòng)變阻器的阻值遠(yuǎn)大于電流表的內(nèi)阻，即，而要做到這一點(diǎn)，必須使用電動(dòng)勢(shì)較大的電源，且為防止電流表過(guò)載，必須用大阻值的滑動(dòng)變阻器與之匹配，可見(jiàn)電源的電動(dòng)勢(shì)的大小對(duì)誤差起主導(dǎo)作用。 二、半偏法測(cè)電壓表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)誤差分析 半偏法測(cè)

6、電壓表的內(nèi)阻實(shí)驗(yàn)電路原理圖如圖2所示，實(shí)驗(yàn)操作步驟如下： 圖2 第一步：開(kāi)關(guān)閉合前，將電阻箱的阻值調(diào)到零，滑動(dòng)變阻器的滑片調(diào)到最左端。 第二步：閉合開(kāi)關(guān)，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器的滑片的位置，使電壓表滿偏。 第三步：保持滑動(dòng)變阻器的滑片的位置不變，調(diào)節(jié)電阻箱的阻值，使電壓表半偏。 第四步：記下此時(shí)電阻箱的阻值，則電壓表的內(nèi)阻。 本實(shí)驗(yàn)要求滑動(dòng)變阻器的阻值遠(yuǎn)小于電壓表的內(nèi)阻，即，這樣就可近似認(rèn)為調(diào)節(jié)電阻箱的阻值后，滑動(dòng)變阻器的左端電阻分得的電壓仍然為滿偏電壓。但事實(shí)上調(diào)節(jié)的阻值后，分得的電壓增大，當(dāng)電壓表半偏時(shí)，電阻箱兩端電壓比電壓表兩端電壓要大

7、，根據(jù)串聯(lián)分壓規(guī)律可知，半偏法測(cè)出的電壓表的內(nèi)阻要比電壓表的實(shí)際內(nèi)阻大。下面筆者從兩個(gè)不同的角度運(yùn)用兩種方法對(duì)該實(shí)驗(yàn)的系統(tǒng)誤差進(jìn)行分析。 假定電源的電動(dòng)勢(shì)為，內(nèi)阻為，電壓表的滿偏電壓為。 當(dāng)，開(kāi)關(guān)閉合，調(diào)節(jié)滑動(dòng)變阻器的滑片，使電壓表滿偏時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律得,其中       （1） 調(diào)節(jié)電阻箱的阻值，使電壓表半偏時(shí)，根據(jù)閉合電路歐姆定律及串聯(lián)分壓公式得            

8、60;  （2） 方法一： 聯(lián)立（1）和（2），消除和得             （3） 顯然，且與的相對(duì)誤差 根據(jù)平均值不等式，故 又根據(jù)分式不等式及 則由（1）可知（最后一步用到） 于是有，故                  

9、;    （4） 由（4）可知，當(dāng)時(shí)，近似成立，且選擇電動(dòng)勢(shì)較小的電源也可以減小相對(duì)誤差，當(dāng)然為使電壓表指針能達(dá)到滿偏，必須滿足，故要選擇電動(dòng)勢(shì)略大于電壓表的滿偏電壓的電源。 方法二： 將（1）式整理成關(guān)于的一元二次方程得                         

10、0; （5） 將（2）式整理成關(guān)于的一元二次方程得                    （6） 方程（5）和（6）有公共根，記為，即為的阻值。設(shè)方程（5）的另一根為，方程（6）的另一根為，根據(jù)韋達(dá)定理即一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得    （7）          &

11、#160;      （8）   （9）          （10）   （11）                 （12） 聯(lián)立（11）和（12）解得  （13）   （14） 將（13）代入（7）

12、解得                  （15） 將（13）代入（8）解得                           （16） 根據(jù)及（15）和（16）得與的相對(duì)誤差的取值范圍         （17） 注意：由于，可知（17）式的右邊 由（17）式的左邊可知，由（17）式的右邊可知，為減小相對(duì)誤差，應(yīng)選擇小阻值的滑動(dòng)變阻器，且電源的電動(dòng)勢(shì)要適當(dāng)小一些，也可以減小相對(duì)誤差，當(dāng)然為使電壓表指針能達(dá)到滿偏，必須滿足，故要選擇電動(dòng)勢(shì)略大于電壓表的滿偏電壓的電源。 結(jié)論：顯