矩陣的初等變換與逆矩陣的求法

1、第2節(jié) 矩陣的初等變換與逆矩陣的求法 1.2.1 線性方程組的同解變換1.2.2 矩陣的初等變換1.2.3 初等矩陣1.2.4 用初等行變換求逆矩陣 1.2.1 線性方程組的同解變換 對(duì)于線性方程組，可以做如下的三種變換：（1）互換兩個(gè)方程的位置；（2）把某一個(gè)方程兩邊同乘以一個(gè)非零常數(shù)c；（3）將某一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍。 這三種變換都稱為初等變換初等變換。如上的變換是可逆的。也就是，如果經(jīng)過(guò)一次變換把方程組 (1.1)變成一個(gè)新方程組，那么，新方程組必可經(jīng)過(guò)一次同類型的變換變?yōu)樵匠探M(1.1)。定理定理1.11.1 設(shè)方程組(1.1)經(jīng)過(guò)某一初等變換后變?yōu)榱硪粋€(gè)方程組，則新方程組與

2、原方程組同解。 此性質(zhì)在矩陣中如何體現(xiàn)呢？此性質(zhì)在矩陣中如何體現(xiàn)呢？ 初等行變換 row初等列變換 column交換i, j兩行數(shù)乘第 i 行數(shù)乘第 i行加到第 j 行ijrrikrjirkr交換i, j兩列數(shù)乘第 i 列數(shù)乘第 i 列加到第 j 列ijccikcjickc2.1.2 矩陣的初等變換例例 用矩陣的初等變換解線性方程組用矩陣的初等變換解線性方程組123231230 2122xxxxxxxx 解解 將矩陣的增廣矩陣作將矩陣的增廣矩陣作行初等變換行初等變換11 100 21 12 112312111002110332rr 21211101101220332 r111002110332

3、12323111 022110 122370 022 r rrr323111 022110 12270 013r1323121221 0 0350 1 0370 0 13 rrrr所以，方程組的解為所以，方程組的解為123257,333xxx 323111 022110 12270 013r1.2.3 初等矩陣定義定義1.9 由單位陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣初等矩陣。初等矩陣有三種類型:10111101ijijRCijij(1)對(duì)調(diào)E中的第i,j行，得到的矩陣記為Rij ； 對(duì)調(diào)E中的第i,j列，得到的矩陣記為Cij。(2)用不為零的數(shù)乘以E中的第i行，得到的矩陣記為Ri()；

4、用不為零的數(shù)乘以E中的第i列，得到的矩陣記為Ci()。11( )( )11iiR kC kk(3)以數(shù)乘以E中的第i行加到第j行上去，得到的 矩陣記為Rij()；以數(shù)乘以E中的第j列加到第i列上去，得到的矩陣記為Cij()。11( )( )11ijijRC 初等矩陣是可逆的，并且其逆矩陣也是同一類型的初等矩陣，容易驗(yàn)證： R Rijij-1-1=R=Rijij（R Ri i( () )）-1-1=R=Ri i(1/(1/) )（R Rijij( () )）-1-1= R= Rijij( () ) 初等矩陣與初等變換有什么關(guān)系呢？例1 計(jì)算下列初等矩陣與矩陣A=aij3n, A=aij32, B

5、=bij33的乘積:11121111212122221222313233132311311232111221222122313231321 0 0000 0 11 00 1 00 0 1nnnnnnaaaaaacaaacacacaaaaaaaacaacaaacaaaaaaaa 1112111221222122313231313132323333321 0 00 0 10 1 0bbbbbbbbbbbbbbbbbb 用初等矩陣左乘某矩陣，其結(jié)果等于對(duì)該矩陣作相應(yīng)的初等行變換；用初等矩陣右乘某矩陣，其結(jié)果等于對(duì)該矩陣作相應(yīng)的初等列變換。 不難證明下面的一般結(jié)論:Ri(c)A表示A的第i行乘c;Ri

6、j(c)A表示A的第i行乘c加至第j行;RijA表示A的第i行與第j行對(duì)換位置;BCi(c)表示B的第i列乘c;BCij(c)表示B的第j列乘c加至第i列;BCij表示B的第i列與第j列對(duì)換位置.初等矩陣的行列式都不等于零, 因此初等矩陣都是可逆矩陣. 由于對(duì)初等矩陣再作一次初等變換就化為單位矩陣, 即1( ),()( ),iiijijijijRR cI Rc R cI R RIcv所以, 初等矩陣的逆矩陣是同類初等矩陣, 即1111( ),( )(),iiijijijijRcRRcRcRRc定理定理1.2 有限個(gè)初等矩陣的乘積必可逆。 矩陣A經(jīng)過(guò)有限次初等變換后得到B，就說(shuō)A與B等價(jià)等價(jià).記

7、為AB?？梢员硎緸锽=PAQ,其中P是有限次初等行變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣的乘積，Q是有限次初等列變換所對(duì)應(yīng)的初等矩陣的乘積。定理定理1.3 可逆矩陣經(jīng)過(guò)有限次初等變換后的矩陣仍然是可逆陣。證明證明 設(shè)A可經(jīng)有限次初等變換化為矩陣B，則存在初等矩陣P1，P2，Pm，Q1，Q2，Qn，使得B=P1P2PmAQ1Q2 Qn成立由于A，Pi，Qj（i=1，2，m；j=1，2， ，n）均可逆，所以B可逆。定理定理1.4 可逆矩陣可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為單位陣。證明證明 設(shè)A為n階可逆矩陣。111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa因?yàn)锳是可逆矩陣，所以A第一列不能全為零。這樣就可以通過(guò)初

8、等變換將第一行第一列的元素變?yōu)椴坏扔诹?。再?duì)第一行第一列乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)，可以把第一行第一列的元素變?yōu)?。再用適當(dāng)?shù)谋稊?shù)加到其他行。使得第一列的其他元素都是零，得到如下形式的矩陣：1212222100nnnnnbbbbBbb有可逆性知b22,bn2中至少有一個(gè)不為零。（如果不是這樣，則將B的第一列乘以（-b12）加到第二列中，則第二列全為零，這與逆矩陣的性質(zhì)相矛盾。）。這樣就可以通過(guò)初等變換將第二行第二列的元素變?yōu)椴坏扔诹?。再?duì)第二行第二列乘以適當(dāng)?shù)南禂?shù)，可以把第二行第二列的元素變?yōu)?。再將第二行乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到下面各行。得到矩陣：類似地可以證明， C33,Cn3中至少有一個(gè)不為零。并通過(guò)適當(dāng)?shù)?/p>

9、行變換將第三行第三列的元素變?yōu)?，氣候各行的元素全部變?yōu)榱恪?重復(fù)下去，最后可以將矩陣A變?yōu)樯先蔷仃囆问剑?213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCC1*01*001將此上三角陣的第n行乘以適當(dāng)參數(shù)，加到上面各行中，可以使第n列的非角元素全變?yōu)榱悖旱趎-1行乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)，加到上面各行中，可以使第n-1列的非對(duì)角元素全變?yōu)榱悖灰来祟愅?，最后可以得到單位陣。定理定?.5 方陣P P為可逆陣的充分必要條件是P P可以表示為有限 個(gè)初等矩陣的乘積。1213123233331010000nnnnnnCCCCCCCCCC1.2.4 用初等行變換求逆矩陣 由定理1.5可知，可逆

10、矩陣A可以分解成若干初等矩陣的乘積。設(shè)A=P1P2Pt則有 Pt-1P2-1P1-1A=E 且 Pt-1P2-1P1-1 E = A-1 上面兩個(gè)式子表明，對(duì)矩陣A與E施行同樣的行變換，在把A化成單位陣時(shí)，E同時(shí)就化成A-1。 即得 Pt-1P2-1P1-1（AE） （E A-1）用初等變換求逆矩陣：把可逆矩陣A與同階單位矩陣并行擺放，得到()AE 對(duì)這個(gè)矩陣實(shí)施行的初等變換，最終使左半部分變成E，則右半部分就變成1A例例1.71.7 設(shè) A A= 解解 152131341100143010131001251103511001112000125113123 rrrr32211/( 2)1 52

11、1001 521000 1 1/2 1/2 1/2 00 1 1/21/2 1/2 00 11 53010 01/2 5/2 11/2 1rrr 求A A.3/( 1/2)1 521001 521000 1 1/21/2 1/2 10 1 1/2 1/2 1/2 00 01/2 5/2 11/2 10 015112r 132312(1/2)(1/2)51 0 1/2 3/2 5/2 01 0 0 1310 1 1/21/21/2 00 1 0 2510 0 151120 0 1 5 11 2rrrrrr 所以 A A1=2115152131注意注意 在求逆矩陣的過(guò)程中，初等行變換與初等列變換不能混用。 例例求矩陣的逆。123