分式的基本性質(zhì)應(yīng)用：約分、通分

1、分式的基本性質(zhì)典型例題例1 下列分式的變形是否正確，為什么？（1） （2）例2 寫出下列等式中的未知分子或未知分母。（1） （2）例3 不改變分式的值，將下列各分式中的分子和分母中的各項系數(shù)都化為整數(shù).（1） （2）例4 不改變分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次項系數(shù)為正數(shù).（1） （2）例5 已知不論取什么數(shù)時，分式（）都是一個定值，求、應(yīng)滿足的關(guān)系式，并求出這個定值.例6 已知一個圓臺的下底面是上底面的4倍，將圓臺放在桌面上，桌面承受壓強(qiáng)為P牛頓/，若將圓臺倒放，則桌面受到的壓強(qiáng)為多少？例7 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”號：例8 不改變分式的值，使分式的分子

2、、分母中的多項式的系數(shù)都是整數(shù)例9 判定下列分式的變形是不是約分變形，變形的結(jié)果是否正確，并說明理由：（1）； （2）；（3）； （4）例10 化簡下列各式：（1）； （2）； （3）參考答案例1 分析 分式恒等變形的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，應(yīng)該嚴(yán)格地用基本性質(zhì)去衡量，是基本性質(zhì)的生果組成部分，應(yīng)特別注意.解 （1）已知分式中已隱含了，用分別乘以分式的分子、分母，分式的值不變，故（1）是正確的.（2）因為已知分式中，沒限制，可以取任意數(shù)，當(dāng)然也包括了，當(dāng)分式的分子、分母都乘以時，分式?jīng)]意義，故（2）是錯誤的.例2 分析 （1）式中等號兩邊的分母都是已知的，所以從觀察分母入手，顯然，是由乘以得到的

3、，由分式的基本性質(zhì)，也要乘以，所以括號內(nèi)應(yīng)填（2）式中等號兩邊分子都已知，所以先觀察分子，除以得到右邊分子，按照分式的基本性質(zhì)，故括號內(nèi)應(yīng)填解：（1）（2）例3 分析 要把分式的分子、分母中各項系數(shù)都化為整數(shù)，可根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子、分母都乘以一個恰當(dāng)?shù)牟粸榱愕臄?shù)，怎樣確定這個數(shù)呢？（1）中分子、分母中的各項系數(shù)是小數(shù)，這個數(shù)應(yīng)是各項系數(shù)的最小公倍數(shù).（2）中分子、分母中各項系數(shù)()是分?jǐn)?shù)，這個數(shù)應(yīng)該是各項系數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，即5，2，4，3的最小公倍數(shù)60.解：（1）法1：原式 法2：原式 （2）原式說明 在將分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個不為零的數(shù)時，要遍乘分子分母的每一

4、項，防止漏乘.例4 分析 （1）式中分子要變號，分母也要變號，所以應(yīng)該同時改變分子、分母的符號.（2）式中分母需要變號，分子不需要變號，所以需要同時改變分母和分式本身的符號.解：（1）（2）例5 分析 在研究某些有關(guān)特值的數(shù)學(xué)問題時，我們可以不考慮一般值，而是直接利用取符合條件特殊值代入研究解決，這就是所謂的特殊值法.解：當(dāng)時，時，不論取什么實數(shù)，是一個定值， 把代入原式，得、的關(guān)系為；定值為例6 解：設(shè)圓臺的壓力為G牛頓，下底面積為，上底面積為. 則,當(dāng)圓臺倒放時，桌面受到的壓強(qiáng)為：(牛頓/)答：桌面受到的壓強(qiáng)為牛/. 說明 運(yùn)用分式知識，有助于解決物理中問題（1）； （2）； （3）； （

5、4）例7 分析 根據(jù)“分式的變號法則：分子、分母、分式的符號中，同時改變其中任意兩個，分式的值不變”解：（1）同時改變分子和分式的符號，得 ；（2）同時改變分母和分式的符號，得 ；（3）先確定是分母的符號，再變號，得 ；（4）先確定是分子的符號，然后變號，得 說明 1分式中的分?jǐn)?shù)線實際上起到了括號的作用如果分式的分子或分母是多項式，要把它看成是一個整體，考慮這個整體的符號，如（3），（4）題，千萬不可誤解成或；2對于（4）題，也可處理成的形式例8 分析 此分式分子中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是6，分母中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是10，而10和6的小公倍數(shù)是30于是可利用分式的基本性質(zhì)：分子、分母同時乘以30

6、解：說明 1利用分式基本性質(zhì)將分式的分子、分母化成整系數(shù)形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化繁為簡的策略，并為分式作進(jìn)一步處理，提供了便利條件2操作過程中，用數(shù)30的確定是問題的關(guān)鍵所在因此不僅要考慮到分子、分母，還要考慮分式，使化成整系數(shù)一次到位例9 分析 約分變形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（2）、（3）題的變形都不是約分，結(jié)果都是錯誤的（1）分式的分子和分母分別是一個整式，利用分式的基本性質(zhì)，“除以一個整式”是對分子、分母的整體進(jìn)行的而只對分子和分母中的某一項進(jìn)行，就違背了分式基本性質(zhì)的使用前提，所以是錯誤的（2）分式的分母是個平方和的形式，不能分解因此分子、分母沒有公因式，它是最簡分式故此題的

7、變形是毫無根據(jù)的（3）當(dāng)分子、分母都是乘積的形式，才有約分的可能，而這里與是和的形式，因此不能進(jìn)行約分正確的結(jié)果解法是：（4）此題是約分變形因此分母化成的形式，與分子約去公因式可得說明 1對于代數(shù)式的恒等變形形式多樣，但每一種變形卻是運(yùn)用定義、定理，并根據(jù)法則規(guī)范操作，而絕不能隨心所欲；2對（1）、（2）、（3）題的變形錯誤，實際上也可以舉反例說明如（1）題：當(dāng)，時，（2）、（3）題同理例10 分析 化簡就是把分式的分子、分母中的公因式約去使其成為最簡公式因此對分子、分母是單項式時候，先分別化成與公因式的乘積形式；對于多項式仍然要先分解因式解： （1）；（2）；（3）說明 1當(dāng)分式中分子或分母的系數(shù)為負(fù)時，處理負(fù)號是首先要進(jìn)行的2約分是實現(xiàn)化簡分式的一種手段通過