分式的基本性質(zhì)應(yīng)用：約分、通分

1、分式的基本性質(zhì)典型例題例1 下列分式的變形是否正確，為什么？（1） （2）例2 寫(xiě)出下列等式中的未知分子或未知分母。（1） （2）例3 不改變分式的值，將下列各分式中的分子和分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù).（1） （2）例4 不改變分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù).（1） （2）例5 已知不論取什么數(shù)時(shí)，分式（）都是一個(gè)定值，求、應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式，并求出這個(gè)定值.例6 已知一個(gè)圓臺(tái)的下底面是上底面的4倍，將圓臺(tái)放在桌面上，桌面承受壓強(qiáng)為P牛頓/，若將圓臺(tái)倒放，則桌面受到的壓強(qiáng)為多少？例7 不改變分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”號(hào)：例8 不改變分式的值，使分式的分子

2、、分母中的多項(xiàng)式的系數(shù)都是整數(shù)例9 判定下列分式的變形是不是約分變形，變形的結(jié)果是否正確，并說(shuō)明理由：（1）； （2）；（3）； （4）例10 化簡(jiǎn)下列各式：（1）； （2）； （3）參考答案例1 分析 分式恒等變形的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，應(yīng)該嚴(yán)格地用基本性質(zhì)去衡量，是基本性質(zhì)的生果組成部分，應(yīng)特別注意.解 （1）已知分式中已隱含了，用分別乘以分式的分子、分母，分式的值不變，故（1）是正確的.（2）因?yàn)橐阎质街?，沒(méi)限制，可以取任意數(shù)，當(dāng)然也包括了，當(dāng)分式的分子、分母都乘以時(shí)，分式?jīng)]意義，故（2）是錯(cuò)誤的.例2 分析 （1）式中等號(hào)兩邊的分母都是已知的，所以從觀(guān)察分母入手，顯然，是由乘以得到的

3、，由分式的基本性質(zhì)，也要乘以，所以括號(hào)內(nèi)應(yīng)填（2）式中等號(hào)兩邊分子都已知，所以先觀(guān)察分子，除以得到右邊分子，按照分式的基本性質(zhì)，故括號(hào)內(nèi)應(yīng)填解：（1）（2）例3 分析 要把分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，可根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子、分母都乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)牟粸榱愕臄?shù)，怎樣確定這個(gè)數(shù)呢？（1）中分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)是小數(shù)，這個(gè)數(shù)應(yīng)是各項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù).（2）中分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)()是分?jǐn)?shù)，這個(gè)數(shù)應(yīng)該是各項(xiàng)系數(shù)的分母的最小公倍數(shù)，即5，2，4，3的最小公倍數(shù)60.解：（1）法1：原式 法2：原式 （2）原式說(shuō)明 在將分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)時(shí)，要遍乘分子分母的每一

4、項(xiàng)，防止漏乘.例4 分析 （1）式中分子要變號(hào)，分母也要變號(hào)，所以應(yīng)該同時(shí)改變分子、分母的符號(hào).（2）式中分母需要變號(hào)，分子不需要變號(hào)，所以需要同時(shí)改變分母和分式本身的符號(hào).解：（1）（2）例5 分析 在研究某些有關(guān)特值的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，我們可以不考慮一般值，而是直接利用取符合條件特殊值代入研究解決，這就是所謂的特殊值法.解：當(dāng)時(shí)，時(shí)，不論取什么實(shí)數(shù)，是一個(gè)定值， 把代入原式，得、的關(guān)系為；定值為例6 解：設(shè)圓臺(tái)的壓力為G牛頓，下底面積為，上底面積為. 則,當(dāng)圓臺(tái)倒放時(shí)，桌面受到的壓強(qiáng)為：(牛頓/)答：桌面受到的壓強(qiáng)為牛/. 說(shuō)明 運(yùn)用分式知識(shí)，有助于解決物理中問(wèn)題（1）； （2）； （3）； （

5、4）例7 分析 根據(jù)“分式的變號(hào)法則：分子、分母、分式的符號(hào)中，同時(shí)改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變”解：（1）同時(shí)改變分子和分式的符號(hào)，得 ；（2）同時(shí)改變分母和分式的符號(hào)，得 ；（3）先確定是分母的符號(hào)，再變號(hào)，得 ；（4）先確定是分子的符號(hào)，然后變號(hào)，得 說(shuō)明 1分式中的分?jǐn)?shù)線(xiàn)實(shí)際上起到了括號(hào)的作用如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，要把它看成是一個(gè)整體，考慮這個(gè)整體的符號(hào)，如（3），（4）題，千萬(wàn)不可誤解成或；2對(duì)于（4）題，也可處理成的形式例8 分析 此分式分子中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是6，分母中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是10，而10和6的小公倍數(shù)是30于是可利用分式的基本性質(zhì)：分子、分母同時(shí)乘以30

6、解：說(shuō)明 1利用分式基本性質(zhì)將分式的分子、分母化成整系數(shù)形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化繁為簡(jiǎn)的策略，并為分式作進(jìn)一步處理，提供了便利條件2操作過(guò)程中，用數(shù)30的確定是問(wèn)題的關(guān)鍵所在因此不僅要考慮到分子、分母，還要考慮分式，使化成整系數(shù)一次到位例9 分析 約分變形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（2）、（3）題的變形都不是約分，結(jié)果都是錯(cuò)誤的（1）分式的分子和分母分別是一個(gè)整式，利用分式的基本性質(zhì)，“除以一個(gè)整式”是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)行的而只對(duì)分子和分母中的某一項(xiàng)進(jìn)行，就違背了分式基本性質(zhì)的使用前提，所以是錯(cuò)誤的（2）分式的分母是個(gè)平方和的形式，不能分解因此分子、分母沒(méi)有公因式，它是最簡(jiǎn)分式故此題的

7、變形是毫無(wú)根據(jù)的（3）當(dāng)分子、分母都是乘積的形式，才有約分的可能，而這里與是和的形式，因此不能進(jìn)行約分正確的結(jié)果解法是：（4）此題是約分變形因此分母化成的形式，與分子約去公因式可得說(shuō)明 1對(duì)于代數(shù)式的恒等變形形式多樣，但每一種變形卻是運(yùn)用定義、定理，并根據(jù)法則規(guī)范操作，而絕不能隨心所欲；2對(duì)（1）、（2）、（3）題的變形錯(cuò)誤，實(shí)際上也可以舉反例說(shuō)明如（1）題：當(dāng)，時(shí)，（2）、（3）題同理例10 分析 化簡(jiǎn)就是把分式的分子、分母中的公因式約去使其成為最簡(jiǎn)公式因此對(duì)分子、分母是單項(xiàng)式時(shí)候，先分別化成與公因式的乘積形式；對(duì)于多項(xiàng)式仍然要先分解因式解： （1）；（2）；（3）說(shuō)明 1當(dāng)分式中分子或分母的系數(shù)為負(fù)時(shí)，處理負(fù)號(hào)是首先要進(jìn)行的2約分是實(shí)現(xiàn)化簡(jiǎn)分式的一種手段通過(guò)