高等數(shù)學(xué)同濟(jì)第七版第一章課件

1、二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷 一、一、 函數(shù)函數(shù) 三、三、 極限極限 習(xí)題課習(xí)題課函數(shù)與極限函數(shù)與極限 第一章 )(xfy yxOD一、一、 函數(shù)函數(shù)1. 概念定義定義:Df :R)(DfDxxfyyDf, )()( 定義域 值域圖形圖形:DxxfyyxC, )(),( 一般為曲線 )設(shè),RD函數(shù)為特殊的映射:其中2. 特性有界性 , 單調(diào)性 , 奇偶性 , 周期性3. 反函數(shù))(:DfDf設(shè)函數(shù)為單射, 反函數(shù)為其逆映射DDff)(:14. 復(fù)合函數(shù)給定函數(shù)鏈)(:11DfDf1)(:DDgDg則復(fù)合函數(shù)為 )(:DgfDgf5. 初等函數(shù)有限個(gè)常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與復(fù)合而成

2、的一個(gè)表達(dá)式的函數(shù).)(1DfD)(Dgg1Dfgf 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 下列各組函數(shù)是否相同 ? 為什么? )arccos2cos()() 1 (xxf 1 , 1, 12)(2xxx與axaaxxxf,)()2(2)(21)(xaxax與0,0,0)()3(xxxxf)()(xffx 與相同相同相同相同相同相同2. 下列各種關(guān)系式表示的 y 是否為 x 的函數(shù)? 為什么?1sin1) 1 (xy, 0,cos,sinmax)2(2xxxy22,arcsin)3(xuuy不是不是40 x,cosx24 x,sin x是是不是不是提示提示: (2)y0 x0,10,1)()4(33xxx

3、xxf0, 10, 1)()2(xxxf1,41,2)()3(xxxf,2xxxyO4211, 11, 13xx1) 1(32xx,16xOxy111xRx3. 下列函數(shù)是否為初等函數(shù) ? 為什么 ?0,0,)() 1 (xxxxxf2x以上各函數(shù)都是初等函數(shù) .xy1O4. 設(shè),0)(,1)(,e)(2xxxfxfx且求)(x及其定義域 .5. 已知8,)5(8,3)(xxffxxxf, 求. )5(f6. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf由)(2exx1得,)1ln()(xx0,(x,e)(fx2xf)(x4. 解解:e)(x2 f5. 已知8,)5(8,3)

4、(xxffxxxf, 求. )5(f解解:)5(f)( f310)10(f)(7f f)12(f)( f312)(9f66. 設(shè),coscsc)sin1(sin22xxxxf求. )(xf解解:1sinsin1)sin1(sin22xxxxf3)sin1(sin2xx3)(2xxfxxxff1211)()(,2)()(1xfxfxx解解: 利用函數(shù)表示與變量字母的無關(guān)的特性 .,1xxt,11tx代入原方程得,)()(1211tttff,111uux,11ux代入上式得,)()() 1(2111uuuuuff1,0 xx設(shè)其中).(xf，求令即即令即畫線三式聯(lián)立1111)(xxxxf即xxxx

5、xff)1(2111)()(例例1.二、二、 連續(xù)與間斷連續(xù)與間斷1. 函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式)()(lim00 xfxfxx)()(,000 xfxxfyxxx0lim0yx)()()(000 xfxfxf,0,0,0時(shí)當(dāng) xx有)()(0 xfxf2. 函數(shù)間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)有界定理 ; 最值定理 ; 零點(diǎn)定理 ; 介值定理 .3. 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例例2. 設(shè)函數(shù))(xf,2)cos1 (xxa0 x,10 x, )(ln2xb0 x在 x = 0 連續(xù) , 則 a = , b = .提示提示:20)cos1 (lim)0(xxafx

6、2a221cos1xx)(lnlim)0(20 xbfxblnbaln122e) 1)(e)(xaxbxfx有無窮間斷點(diǎn)0 x及可去間斷點(diǎn), 1x解解:為無窮間斷點(diǎn),0 x) 1)(elim0 xaxbxx所以bxaxxxe) 1)(lim0ba101,0ba為可去間斷點(diǎn) ,1x) 1(elim1xxbxx極限存在0)(elim1bxxeelim1xxb例例3. 設(shè)函數(shù)試確定常數(shù) a 及 b .例例4. 設(shè) f (x) 定義在區(qū)間),(上 ,有yx,)()()(yfxfyxf, 若 f (x) 在連續(xù),0 x提示提示:)(lim0 xxfx)()(lim0 xfxfx)0()(fxf)0( x

7、f)(xf閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)且對任意實(shí)數(shù)證明 f (x) 對一切 x 都連續(xù) .P65 題 1 , 3(2) ; P74 題 *6證證:P74 題題*6. 證明: 若 令,)(limAxfx則給定,0,0X當(dāng)Xx 時(shí), 有AxfA)(又, ,)(XXCxf根據(jù)有界性定理,01M, 使,)(1XXxMxf取1,maxMAAM則),(,)(xMxf)(xf在),(內(nèi)連續(xù),)(limxfx存在, 則)(xf必在),(內(nèi)有界.)(xfXXA1MOyx0)()()(212xfxff上連續(xù) , 且恒為正 ,例例5. 設(shè))(xf在,ba對任意的, ),(,2121xxbaxx必存在一點(diǎn)證證:, ,21xx

8、使. )()()(21xfxff令)()()()(212xfxfxfxF, 則,)(baCxF)()(21xFxF)()()(2112xfxfxf)()()(2122xfxfxf)()(21xfxf221)()(xfxf0使,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,0)(xf,0)()(21xFxF故由零點(diǎn)定理知 , 存在, ),(21xx,0)(F即. )()()(21xfxff,)()(21時(shí)當(dāng)xfxf,21xx或取)()()(21xfxff證明:, 0)(F則有即 上連續(xù), 且 a c d b ,例例6. 設(shè))(xf在,ba必有一點(diǎn)證證:, ,ba使)()()()(fnmdfncfm, ,)(baCx

9、fMbaxf上有最大值在,)()()(dfncfm)()()(fnmdfncfm即由介值定理,使存在, ,ba證明:Mnmdfncfmm)()()()()()(fnmdfncfm,m及最小值故 即 mnm)(Mnm)(三、三、 極限極限1. 極限定義的等價(jià)形式 (以 為例 )0 xx Axfxx)(lim00)(lim0Axfxx(即 為無窮小)Axf)(, )(0 xxxnnn有Axfnn)(limnx,0 xAxfxf)()(002. 極限存在準(zhǔn)則及極限運(yùn)算法則3. 無窮小無窮小的性質(zhì) ; 無窮小的比較 ;常用等價(jià)無窮小: 4. 兩個(gè)重要極限 6. 判斷極限不存在的方法 sin xxtan

10、xxcos1x221xarctanxxarcsinxx)1ln(xx1e xx1xaaxln1)1 (xx5. 求極限的基本方法 1sinlim) 1 (01)11 (lim)2(0或10lim(1)e注注: 代表相同的表達(dá)式例例7. 求下列極限：)sin1(sinlim) 1 (xxxxxxsin112lim)2(xxxxcot110lim)3(提示提示: xxsin1sin) 1 (21cos21sin2xxxx21cos)1(21sin2xxxx無窮小有界令1lim)2(x1 xt0limt) 1(sin)2(ttt0limttttsin)2( 0limtttt)2( 2xxsin120

11、lim)3(xxxxcot110limxxxxcot)121(exxxx1212)1(ln2e則有)()(1lim0 xvxxxu復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 若,0)(lim0 xuxx,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx)(lim12sincos0 xxxxx1Oxy331xy例例8. 確定常數(shù) a , b , 使0)1(lim33bxaxx解解: 原式可變形為0)1(lim313xbxxax0)1(lim313xbxxa故,01a于是,1a而)1(lim33xxbx2333231)1 (1limxxxxx0 xy例例9. 當(dāng)0 x時(shí),32xx 是x

12、的幾階無窮小?解解: 設(shè)其為 x 的 k 階無窮小,則kxxxx320lim0C因kxxxx320lim3320limkxxxx 330)1 (lim2321xxkx故61k閱讀與練習(xí)閱讀與練習(xí)1. 求的間斷點(diǎn), 并判別其類型.解解:) 1)(1(sin)1 ()(xxxxxxf) 1)(1(sin)1 (lim1xxxxxx1sin21 x = 1 為第一類可去間斷點(diǎn))(lim1xfx x = 1 為第二類無窮間斷點(diǎn), 1)(lim0 xfx1)(lim0 xfx x = 0 為第一類跳躍間斷點(diǎn) 2. 求.sine1e2lim410 xxxxx解解:xxxxxsine1e2lim410 xxxxxxsin1ee2lim4340e1xxxxxsine1e2lim410