高等數(shù)學(xué) 第二章導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課_第1頁
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文檔簡介

1、第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課導(dǎo)數(shù)與微分習(xí)題課 一、導(dǎo)數(shù)與微分的基本概念一、導(dǎo)數(shù)與微分的基本概念 1導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)數(shù)定義: 2導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義:0000000)()(lim)()(limlim)(0 xxxfxfhxfhxfxyxfxxhx )(0 xf 為曲線為曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 的切線斜率。的切線斜率。 )(xfy )(,(00 xfx3. 在在 處可導(dǎo)的充分必要條件:處可導(dǎo)的充分必要條件: )(xf0 x)(xf在在 處可導(dǎo)處可導(dǎo)0 x且且 。 )()(00 xfxf )(0 xf 與與 都存在,都存在,)(0 xf 二、極限、連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系二、極限、連續(xù)、可導(dǎo)與可微的關(guān)系

2、處可導(dǎo)在0)(xxf處可微在0)(xxf處連續(xù)在0)(xxf存存在在)(lim0 xfxx xxfxAdyxxAy )()(004. 4. 在在 處的可微定義:處的可微定義: )(xf0 x三、求導(dǎo)法則三、求導(dǎo)法則 1 1四則運(yùn)算求導(dǎo)法則四則運(yùn)算求導(dǎo)法則 2 2反函數(shù)求導(dǎo)法則反函數(shù)求導(dǎo)法則 )()( )()( xgxfxgxf (1 1))()()()( )()( xgxfxgxfxgxf (2 2))0)()()()()()()()( 2 xgxgxgxfxgxfxgxf(3 3) 函數(shù)函數(shù) 在對應(yīng)的在對應(yīng)的 內(nèi)也可導(dǎo),且內(nèi)也可導(dǎo),且 )(1xfy xI)(1 )(1yfxf dydxdxd

3、y1 或或 。 設(shè)設(shè) 在在 區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且區(qū)間內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且 ,則其反,則其反 yI)(yfx 0)( yf3復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 4隱函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則 求導(dǎo)過程中牢記求導(dǎo)過程中牢記 是是 的函數(shù)的函數(shù) ,方程中含有,方程中含有 的的yx)(xfy y項(xiàng)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)。然后由求導(dǎo)后的方程解出項(xiàng)應(yīng)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)。然后由求導(dǎo)后的方程解出 。 y 5參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程求導(dǎo) 參數(shù)方程參數(shù)方程 確定可導(dǎo)函數(shù)確定可導(dǎo)函數(shù) ,則,則 )(, )(, )( ttytx)(xfy 設(shè)設(shè) 及及 都是可導(dǎo)函數(shù),則復(fù)合函數(shù)都是可導(dǎo)函數(shù),則復(fù)合函數(shù) 也是可導(dǎo)函數(shù)且也是可導(dǎo)函數(shù)且

4、 。 )(xgfy )()()(xgxgfxy )(xgu )(ufy 由方程由方程 確定了確定了 ,方程兩端對,方程兩端對 求導(dǎo),在求導(dǎo),在 0),( yxF)(xfy x)()(ttdxdy dtdxdtttddxdtdtttddxttddxyd1.)()( .)()()()(22 四、高階導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo)四、高階導(dǎo)數(shù)定義及求導(dǎo) 若函數(shù)若函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) 仍然是可導(dǎo)函數(shù),則將仍然是可導(dǎo)函數(shù),則將 的的 )(xf)(xf )(xf 導(dǎo)函數(shù)叫做函數(shù)導(dǎo)函數(shù)叫做函數(shù) 的二階導(dǎo)數(shù)。記作的二階導(dǎo)數(shù)。記作 )(xfyxf )(22dxyd 依此類推,函數(shù)依此類推,函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)叫做的導(dǎo)函數(shù)叫做 的的

5、 階導(dǎo)數(shù)。階導(dǎo)數(shù)。 )()1(xfn )(xfn記記 。 nndxyd )()(xfn五、典型例題五、典型例題 分析分析 計(jì)算分段函數(shù)分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),要根據(jù)定義看是否有計(jì)算分段函數(shù)分界點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù),要根據(jù)定義看是否有 解:解:1sinlim)0()0(lim)0(00 xxxfxffxx1)1ln(lim)0()0(lim)0(00 xxxfxffxx. 1)0(, 1)0()0( fff左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),并且還要看左右導(dǎo)數(shù)是否相等。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù),并且還要看左右導(dǎo)數(shù)是否相等。 【例【例1】設(shè)】設(shè) ,問,問 是否存在?是否存在? 0),1ln(0,sin)(xxxxxf)0(),0(),0(fff

6、 24)2( f【例【例2】設(shè)】設(shè) ,求,求 及及 。 0,00,sin1)(2xxxxxf)2( f )0(f 及求導(dǎo)法則求出,故求及求導(dǎo)法則求出,故求 應(yīng)選用應(yīng)選用“先求先求 ,后求,后求 )2( f )(xf )(xf 因而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求。因而應(yīng)用導(dǎo)數(shù)定義求。 解:解: 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí),0 x222sin2sin)sin()(xxxxxxxf 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí),0 x10sin1lim)0()(lim)0(200 xxxxfxffxx和和 處函數(shù)值處函數(shù)值”的方法。而的方法。而 是分段函數(shù)的分段點(diǎn),是分段函數(shù)的分段點(diǎn),0 x2 x分析分析 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí), 是可導(dǎo)函數(shù),且是可導(dǎo)函數(shù),且 可利用求

7、導(dǎo)公式可利用求導(dǎo)公式)(xf)(xf0 x【例【例3】設(shè)】設(shè) ,已知,已知 在在 處可導(dǎo),處可導(dǎo), 1,1,12)(2xbaxxxxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng))(xf1 x試確定試確定 的值。的值。ba,為未知量的方程。由已知條件為未知量的方程。由已知條件 在分段點(diǎn)在分段點(diǎn) 處可導(dǎo),處可導(dǎo), )(xf1 x得一個(gè)方程得一個(gè)方程 ;又由函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必要條件;又由函數(shù)在一點(diǎn)可導(dǎo)必要條件: )1()1( ff在在 處連續(xù),得第二個(gè)方程處連續(xù),得第二個(gè)方程 。 )(xf1 x)01()01( ff解此聯(lián)立方程組,可求出解此聯(lián)立方程組,可求出 。 ba,分析分析 此題要求兩個(gè)待定常數(shù)。通常需要尋找兩個(gè)只以此題要求兩個(gè)

8、待定常數(shù)。通常需要尋找兩個(gè)只以 ba, 解:因?yàn)榻猓阂驗(yàn)?在在 處可導(dǎo),所以處可導(dǎo),所以 在在 處連續(xù);處連續(xù); )(xf1 x)(xf1 x11)1/()1(lim11)1/(2lim1)1()(lim)1(221211 xxxxxxfxffxxxaxaaxxbaxxfxffxxx 1lim11lim1)1()(lim)1(1112;1 ba)1()(lim)(lim11fxfxfxx .1ab babaxxxx 121lim112lim即即)1()1( ff【例【例 4】已知】已知 ,求,求 。 ,0,0,sin)(xxxxxf)(xf 解:解: 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí), ;0 xxxxfcos)(

9、sin)( 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí), ; 0 x1)()( xxf當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí), 0 x1lim)0()(lim)0(00 xxxfxffxx1sinlim)0()(lim)0(00 xxxfxffxx綜上,綜上, ,0,1,0,cos)(xxxxf所以所以 1)0( f【例【例5】設(shè)】設(shè) ,求,求 。 xeyarctan y 解:解: xxeyx21)(112arctan )1(21arctanxxex 解:解:)11(11 xxeyxx)11(112111 xxxxexx211)1()1()1(1121xxxxxexx xxexx 113)1)(1(1【例【例6】設(shè)】設(shè) ,求,求 。 xxey 11

10、y 解:解:223|sincos3|43243attadtdxtt 223|cossin3|43243attadtdytt 【例【例7】求星形線】求星形線 在在 處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù) 。 taytax33sincos43 t43| tdxdy1|cossin3sincos3|43224343 tttttattadtdxdtdydxdy故故06cos33322 yxyyx解:方程兩邊對解:方程兩邊對 求導(dǎo)得求導(dǎo)得x【例【例8】設(shè)】設(shè) 是由方程是由方程 所確定,所確定, )(xyy 063sin33 yxyx求求 。 )0(y 將將 代入上方程,得代入上方程,得 (1)0 x0)0(63)0()0(3

11、2 yyy將將 代入原方程,代入原方程,0 x得得 (2) 0)0( y將(將(2)代入()代入(1)中得)中得 。 21)0( y【例【例9】求函數(shù)求函數(shù) 的微分。的微分。xxy 11arctan 2221111121xxxxx 211x xxxxy1111112解:解:所以所以 dxxdxydy211 分析分析 因?yàn)楹谐朔e與冪指函數(shù),故應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法。因?yàn)楹谐朔e與冪指函數(shù),故應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法。 解:應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法。函數(shù)兩邊取對數(shù)得解:應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法。函數(shù)兩邊取對數(shù)得 xxxysinlncoslnln xxxxxxyysincoscossinlnsin1 所以所以 )cotcossinln

12、sin1()(sincosxxxxxxxyx 方程兩邊對方程兩邊對 求導(dǎo)得求導(dǎo)得x【例【例10】設(shè)】設(shè) ,求,求 。xxxycos)(sin y 13)5(21212 xxxxyy【例【例11】設(shè)】設(shè) ,求,求 。 32)1()5( xxxyy 方程兩邊對方程兩邊對 求導(dǎo)得求導(dǎo)得x分析分析 是由三個(gè)或三個(gè)以上的有限個(gè)函數(shù)的乘、除、開方、是由三個(gè)或三個(gè)以上的有限個(gè)函數(shù)的乘、除、開方、乘方形成的,應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法。乘方形成的,應(yīng)用對數(shù)求導(dǎo)法。y解:函數(shù)兩邊取對數(shù)得方程解:函數(shù)兩邊取對數(shù)得方程 )1ln(23)5ln(21ln21ln2 xxxy 13)5(2121)1()5(233xxxxxxy所以所以 0 y【例【例12】設(shè)曲線方程設(shè)曲線方程 , 求此曲線上縱坐標(biāo)求此曲線上縱坐標(biāo)32 yxexy處的切線方程處的切線方程. 02 yyxyexy 01, 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為所以切點(diǎn)坐標(biāo)為 1 xy則所求切線方程為則所求切線方程為 1 x解:先求切點(diǎn)坐標(biāo)解:先求切點(diǎn)坐標(biāo). 將將 代入曲線方程得代入曲線方程得0 y 11 y將將 代入上式代入上式, 得得0,1 yx再求曲線在切點(diǎn)處的切線斜率再求曲線在切點(diǎn)處的切線斜率. .方程兩端對方程兩端對 求導(dǎo),得求導(dǎo),得x【例【例13】 已知已知 , 設(shè)設(shè) 存在且不為零存在且不為零, 求求

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